Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ ~гл. 1 д — ~рт Л' = — ~ри псЬ. (Й „- Здесь и — вектор внешней нормали к поверхности Е (из-за такого выбора нормали интеграл в правой части стоит со знаком минус), а объем 1' неподвижен относительно пористой среды. Если входящие в это уравнение функции являются достаточно гладкими, то в левой части можно занести производную под знак интеграла, а правую часть преобразовать с помощью теоремы Гаусса Остроградского: ей~ = — ~ Йч(ри) ИГ д(рт) откуда в силу произвольности объема Г получается дифференциальная запись закона сохранения массы уравнение неразрывности: д(рт) д1 +й (ри) =О. (3.1) Если плотность жидкости постоянна, а пористая среда не дефор- мируется (т.е.
пористость зависит только от координат), то первое слагаемое обращается в ноль и уравнение неразрывности приоб- ретает вид (3.2) йчи = О. Исторически уравнение баланса имУравнение баланса импульса было экспериментально полу- пульса — закон Дарси чено французским гидравликом Анрй 14 стей для конкретных изучаемых явлений (например, уравнений состояния или законов электродинамики). В простейших случаях для получения замкнутой системы дифференциальных уравнений оказывается достаточным использовать только два закона сохранения уравнения баланса массы и импульса, к феноменологическому описанию которых мы переходим.
Интегральная формулировка закона соЗакон сохранения массы хранения массы жидкости получается из утверждения о том, что изменение массы жидкости в произвольном объеме Г внутри пористой среды происходит за счет притока жидкости через границу объема Е: ~ 3~ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ И ИМПУЛЬСА О = — дгас1 р+ рд — — и Р й (3.3) где д -- ускорение свободного падения, и — коэффициент динамической вязкости жидкости, Й вЂ” — коэффициент, называемый проницаемостью пористой среды, который зависит от типа пористой среды.
По структуре уравнение (3.3) похоже на уравнение Навье— Стокса для вязкой несжимаемой жидкости при р = сопвФ: дп р = — дгас1р+ рд+ рЬо Ю (3 4) и это не удивительно: макроскопический закон движения при фильтрации в пористой среде (закон Дарси) может быть получен с помощью некоторой процедуры осреднения из уравнения движения, описывающего внутрипоровое движение жидкости на микроуровне, то есть уравнения Навье — Стокса (см. ~ 5). При медленных (ползущих) течениях внутри пористой среды, для которых и справедлив закон Дарси, инерционные силы много меньше вязких сил, поэтому стоящим в левой части (3.4) ускорением можно пренебречь, что даст при осреднении ноль в левой части (3.3).
Наличие же последнего слагаемого в (3.4), описывающего действие вязкости, приводит при переходе к макроскопическому описанию к появлению объемной силы вязкого сопротивления, действующей на жидкость со стороны пористого скелета. В рассматриваемом случае медленных течений ) в изотропной среде сила сопротивления направлена противоположно скорости фильтрации, а ее величина прямо пропорциональна вязкости и модулю скорости фильтрации. При д = О закон Дарси приобретает вид й и = — — р.акр; Р (3.5) знак минус в правой части (3.5) имеет ясный физический смысл: в отсутствие массовых сил жидкость движется в пористой среде из 1) Более точно при числах Рейнольдса Ке = род/р « 1.
Дарсй (Н.г)агсу, 1856) для случая медленного стационарного движения несжимаемой жидкости в неподвижной изотропной пористой среде. В современных обозначениях это соотношение, называемое законом Дарсн, для фильтрации в поле тяжести имеет вид ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ 1Гл. 1 областей с ббльшим давлением в области с меньшим давлением. Если жидкость в порах покоится (и = О), то закон Дарси превращается, как и следует, в обычное уравнение равновесия жидкости 0 = — дгас1р+ рд. Коэффициент проницаемости Й зависит толь- Коэффициент ко от свойств пористой среды (но не от свойств проницаемости жидкости), и определяется, в основном, геометрией порового пространства.
Он имеет размерность площади, а его величина имеет порядок квадрата характерного размера пор и' ). Для примера укажем, что типичные значения прони- 1 цаемости для песчаников имеют порядок 10 в — 10 м, для почв — — 10 1з — 10 11 м22).
В практических приложениях часто в качестве единицы измерения й выбирают такую проницаемость, чтобы в отсутствие тяжести (см. (3.5)) при градиенте давления ) 1 кгс/см — 1 атм/см жидкость с вязкостью 0,01 г/(см с) (вязкость воды при 20'С) имела скорость фильтрации 1 см/с. Эта единица проницаемости называется дарси (обозначение «Д»); 1 Д = 1,02 10 12 м -1мкм . Для неоднородных пористых сред коэффициент проницаемости является функцией пространственных координат и может меняться с течением времени (например, при деформациях пористого скелета или за счет его засорения или растворения). В гидротехнической практике закон ДарКоэффициент фильси обычно используется в виде уравнения, трации разрешенного относительно скорости фильтрации, причем вместо давления используется пьазометрический 1) Для зависимости проницаемости от геометрических характеристик пористой среды предлагалось большое число приближенных формул, которые основаны на различных простых моделях внутрипорового пространства ~16, 18~.
В качестве примера приведем часто используемую формулу Козени -- Кармана (Л.Кохепу, Р.С.Саппап): к д т /(1 — т), где характерный размер пор д вычисляется как от- 2 3 2 ношение объема образца к площади поверхности пор. 2) Для сигареты Й 10 м з) Килограмм-сила единица силы в технической системе единиц, приближенно равная весу эталона килограмма у поверхности земли: 1 кгс = 9,80665 Н 9,81 Н. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ И ИМПУЛЬСА напор (или просто напор) ) где ~ вертикальная координата рассматриваемой точки (ось О~ направлена вверх, противоположно д).
Выразив скорость фильтрации из (3.3), получим и = — СрайН, С = Йрд Р (3.6) Например, в слоистой среде, у которой направление, перпенди- кулярное плоскости напластования, задается единичным векто- ром и,, тензор проницаемости в декартовой системе координат имеет вид 1су' = (Й г Й~!)пап~ + ~(~ ~ау ~ где Й ~ и Й~~ суть проницаемости при фильтрации соответственно поперек и вдоль напластования. 1) Напор имеет размерность длины и с точностью до постоянного слагаемого равен вертикальной координате свободной поверхности жидкости в измерительной скважине, пробуренной в пористый пласт, чем и обьясняется удобство его использования. 2) В англоязычной литературе величину С обычно называют «гидравлической проводимостью» (Ьуйтаи1гс сопдисйоИу).
где С вЂ” — коэффициент фильтрации, зависящий, очевидно, как от свойств пористой среды, так и от свойств жидкости ). Типичные значения С при фильтрации воды в песке имеют порядок 10 10 2 м/с, в почве — 10 6 -- 10 4 м/с, в глине — 10 7 — 10 ~ м/с. При фильтрации в анизотропных потропных сред слоистых пластах или в средах с трещинами, направленными в выделенном направлении) линейная зависимость скорости фильтрации и градиента давления сохраняется (для медленных течений), однако эти векторы в случае общего положения уже не будут параллельны. Проницаемость таких сред будет характеризоваться не одним числом (коэффициентом проницаемости Й), а симметричным положительно-определенным тпензором проницаемости й,~, входящим в закон Дарси ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ [Гл. 1 ~ 4. Законы фильтрации, отличные от закона Дарси В некоторых практически важных сиПределы применимости туациях при фильтрации жидкостей —- закона Дарси речь идет об однородных жидкостях, целиком заполняющих недеформируемые изотропные пористые среды наблюдаются отступления от классического закона Дарси (3.3).
Эти отклонения связаны с двумя причинами. Первая это немалость скоростей движения жидкости внутри пор, т.е. невозможность пренебречь инерционными членами в микроскопических уравнениях (3.4). Такие условия, в которых неприменимо приближение Стокса, возникают, например, в прискважинных областях или при фильтрации в крупнозернистых пористых средах (фильтрация через гравий и гальку, а также через гранулированные среды в промышленных технологических установках). Вторая причина состоит в отличии реологических ) соотношений фильтрующейся жидкости от закона Навье -- Стокса, причем неньютоновское поведение жидкостей при течении внутри порового пространства может проявляться как в узкой пристеночной области (за счет физико-химического взаимодействия жидкости со стенкой поры), так и во всем объеме жидкости (например, при фильтрации некоторых нефтей).
Предполагая для простоты, что масВид закона фильтрации совые силы отсутствуют ), установим при немалых скоростях общий вид зависимости градиента давфильтрации ления от скорости фильтрации с использованием теории размерностей. Модуль градиента давления ~дгайр при стационарной фильтрации зависит, кроме модуля скорости фильтрации и, от свойств жидкости (плотности р и вязкости р) и пористой среды (характерного размера пор д, пористости т и, возможно, других скалярных безразмерных параметров а~, определяющих геометрию 1) Реология наука, изучающая связи между напряжениями и дефор мационными характеристиками материалов.
Название науки, предложенное американским исследователем Ю.Бингамом (Е.ВшдЬагп, 1920), происходит от греческого рею --- «теку», «струюсь». 2) Влияние потенциальных сил можно учесть путем переопределения давления (например, в случае фильтрации несжимаемой однородной жидкости в поле силы тяжести — с помощью введения новой переменной р = р — рт* д, где т -- радиус-вектор). 18 ~ 4) ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ ЗАКОНА ДАРСИ порового пространства): ~огай р = г'(и, р,,и, И, т, а,„), и применение тг-теоремы ~6, 15] дает зависимость ~дгас1 р~ = Ф(йе, т, а ), Ке = ри рид Что касается направления вектора пгас1р, то, как нетрудно видеть, он должен быть параллелен вектору и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
