Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 10
Текст из файла (страница 10)
21) расход, определяемый по гидравлической теории, совпадает с точным значением, причем при любых (даже немалых) наклонах поверхности депрессии. Этот результат, полученный в 1951 г. И. А. Чарным, легко получается с помощью интегральных соотношений.
В самом деле, постоянный расход жидкости с помощью закона Дарси выражается через давление ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл. и то его производная явно вычисляется и оказывается равной кон- станте: рд62 у(~) ~' (~ ) ~ 2 0 61 рд~ 2 3~(0) = ~рд(61 — ~) ~Ь = 0 откуда получается выражение, совпадающее с (9.5): С 6, — 62 2 Л Отметим, что если в этой задаче использовать гидравлическую теорию, то поверхность депрессии 6(х) должна выходить на правом конце пласта на значение 62 (если мы хотим, чтобы в этой теории напор был непрерывен), тогда как в действительности выше поверхности воды имеется промежуток высачивания и 6(Л) = — 62 + 60.
~ 10. Аналоговое моделирование фильтрации несжимаемой жидкости До появления вычислительных машин точный расчет фильтрационных течений несжимаемой жидкости в сложных областях вызывал некоторые затруднения, что иногда заставляло прибегать к использованию аналогового моделирования, основанного на совпадении математических моделей для процессов, различных с физической точки зрения.
Хотя в инженерной практике в настоящее время эти методы практически не применяются, они представляют познавательный и методический интерес, а один из них -- моделирование с помощью щелевого лотка -- не потерял своего значения до сих пор и с успехом используется для 58 (зачеркнутое слагаемое пропадает из-за равенства давления на свободной поверхности атмосферному давлению, которое мы полагаем нулевым). Поэтому функция ~~(х) является линейной, а ее значения на границах пласта вычисляются через известные параметры: АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ моделирования фильтрационных процессов, в частности задач со свободной поверхностью. Этот метод моделирования заключает- Течение в лотке Хил- ся в изучении медленного течения вязШоу кой жидкости в тонком зазоре между двумя параллельными пластинами (рис.
22); экспериментальную установку, в которой осуществляется такое течение, называют и~елевым лотком или лотком (ячейкой) Хил-Шоу (Н.Я.Не1е-ЯЬач, 1898). Предположим, что пластины расположены вертикально на расстоянии 26, а оси координат выбраны так, как показано на рис. 22. Если скорости о и од движения жидкости имеют порядок Г, от из уравнения неразрывности (5~)~ + (о„)р + (Ю.-), = 0 следует, что поперечная компонента скоро- Рис. 22. сти и, мала и имеет порядок и, 6Г/Л (( (( Г, где Л )) 6 характерный размер пластин.
Наличие малого параметра 6/Л позволяет существенно упростить стационарные уравнения Навье — Стокса, которые выписаны ниже с указанием отброшенных членов: РЬ ~ Ю~: »-' » '»'. »- ь~ ~Ю = — р'. »- » Ъ К: »- В*~К»; »- ( *'».".», р(~ кФ»-ь~ кФ»-з-» в *) = — п'»-иЬъК'*»-М~'»-(")".) — ю р( ( —.Ф+М();+т (.Й) = — ~'. +нЬЖ+~М";+( .)".) Зачеркнутые слагаемые в правой части по порядку величины в (6/Л) раз меньше соответствующего оставленного вязкого члена, а всеми слагаемыми в левой части можно пренебречь, как несложно проверить, при условии 6 6 рГЕ рГ6 йе~ — = Вел — << 1, Ке~ =, йе~, =, (10.1) и где Кег, и Кеь — — числа Рейнольдса, вычисленные по характерным размерам соответственно пластин и зазора.
Далее, из упрощенных уравнений вытекает, что поперечный градиент давления р', 59 ~Гл. и ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ мал по сравнению с продольными градиентами: / / — — (( 1 Р'. Р'„+ РУ Р Р(~х) Р + РУ Р(~у) интегрирование которой с учетом условия прилипания о (, „=О, ~д), „=0 дает Р Х~д) 2 2 Р (10.2) ( ) РУ( 'У) ~ Д()2 2р Если ввести средние значения скоростей по лениям продольным направ- 6 6 (о )(х, д) ~ о (х, д, ~) сЬ, (юд)(х, у) / о, (х, д, ~) сЬ, удовлетворяющие уравнению неразрывности (о ) + (юц)„= О, то решению (10.2) можно придать вид (о) = ((ю ); (о„)) = — Сдгас1Н, Н(х д)= ' +д, С=, й= Р(х у) ~рд ~2 РУ Р который совпадает с уравнениями плоскопараллельной фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости в среде с проницаемостью Й.
60 и его можно положить равным нулю, поэтому из последнего уравнения (в рассматриваемом приближении) и условия прилипания получается ю. = О. Таким образом, для ползущего течения между пластинами давление зависит только от продольных координат: р = р(х,д), а уравнения Навье -- Стокса сводятся к системе АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В этом совпадении, в сущности, нет ничего удивительного., т.к. лоток Хил-Шоу можно рассматривать как пористую среду очень частного вида. Рис.
23. Граничные условия при течении в щелевом лотке также аналогичны условиям в теории фильтрации. На боковой поверхности непроницаемого твердого цилиндрического тела с образующими высотой 26, которое находится в зазоре и прижимается основаниями к пластинам (аналог непроницаемого тела в фильтрационном потоке), выполняется условие прилипания, однако вне тонкого пограничного слоя можно считать, что для средней скорости (о) выполнено условие непротекания. В месте выхода жидкости на край пластин (аналог промеэкутка высачивания) и на границе жидкости и воздуха во внутренней области (аналог поверхности депрессии) давление в жидкости, в пренебрежении капиллярными явлениями, равно атмосферному (во втором случае для стационарного течения, очевидно, выполняется и условие непротекания -- отсутствие потока массы через свободную границу жидкости).
Наконец, границу пористой среды с водоемом можно моделировать как границу узкой щели с широким сосудом, в котором жидкость практически покоится (из-за его больших размеров) и давление распределено по гидростатическому закону. Приведем для примера задачу о безнапорной фильтрации через проницаемую плотину на непроницаемом основании, показанную слева на рис. 23, аналоговое решение которой можно осуществить на установке, изображенной на том же рисунке справа. В этом случае свободная поверхность образуется автоматически и без внешнего воздействия принимает такую же форму, что и в фильтрационном процессе. Для наблюдения за формой свободной поверхности стенки лотка делают прозрачными, а для визуализа- ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~гл. и ции линий тока в жидкость вводят красящее вещество.
Расстояние между пластинами выбирается с учетом требования (10.1), из которого, если принять, что Г С рд6~/,а, получается 1 оценка 6 ( (,и~Х/(др )) 14 (при Х 10 см для лотка с водой 6 10 ' см). В лотке Хил-Шоу можно моделировать и течение через границу двух пористых сред с различными проницаемостями. Для этого удобно работать не со средней скоростью (и), а с «вектором расхода» Я(х,у) = / и(х,у,~) сЬ = — С дгас1Н, С = 2рд6З вЂ” 6 Р который удовлетворяет не только тем же уравнениям, что и (и), но и граничному условию ~ф п~ = 0 на стыке двух щелей с разными зазорами (и — - нормаль к границе щелей, .расположенная в плоскости Оку).
Метод электрогидродинамической ана- ~~~~~~~~~~~~ логии (со ращенно ЭГДА) ос о а на динамической аналосовпадении уравнений фильтрации негии сжимаемой жидкости с уравнениями, описывающими стационарное течение электрического тока в проводнике. Напомним, что в ньютоновской механике силовое воздействие электромагнитного поля на частицу с зарядом д, движущуюся со скоростью и, характеризуется векторами электрической напряэкенности Ж и магнитной индукции .В и сводится к силе Лоренца К=д Х:+-ихВ где с -- скорость света (эта и последующие формулы написаны в так называемой симметричной гауссовой системе единиц). При описании электромагнитных явлений в веществе вводятся вектор электрического смещения Х) и вектор напряэкенности магнитного поля Н, в простейшем случае связанные с .Е и .В соотноше- ниями В = рН, ХЭ = я.Е, где и и я — магнитная и диэлектрическая проницаемости веще- ства, которые далее считаются постоянными ).
1) В этом разделе не будет использоваться вязкость жидкости, обозначаемая в остальном тексте той же буквой и. 3 10~ АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Электромагнитное поле описывается четырьмя дифференциальными уравнениями Максвелла, выражающими закон Кулона (10.3) сап Р = 47гр,, закон электромагнитной индукции Фарадея 1 д.В го1Е = —— с дг (10.4) условие отсутствия магнитных зарядов (10.5) йъ.В = 0 и возникновение магнитного поля вокруг проводника с током: 4т .
1дР го1Н = ~+— с с дг (10.6) дРе д1 +с1и у=0, который после подстановки закона Ома д = ~тЖ, где г — электрическая проводимость среды,и учета (10.3) дает уравнение др, 4~гст + Ре= > д1 откуда получается, что в каждой точке среды р, экспоненциально падает: р,ф = р,(0) ехр( — 1/т), т = Для хороших проводников характерное время растекания заряда очень мало (например, для речной воды т ° 10 7 с), поэтому любой искус- ственно созданный внутри проводника заряд практически мгновенно распределяется по его поверхности. 1) Естественно, магнитное поле в проводнике тоже существует при наличии тока.
где р, — объемная плотность свободных электрических зарядов, ~ †-плотность тока проводимости. Эти уравнения существенно упрощаются, если мы интересуемся только электрической частью стационарного электромагнитного поля ) в неподвижных хороших проводниках, для которых плотность свободных зарядов р, практически равна нулю. Последнее утверждение обосновывается следующим образом. Из уравнений (10.3) и (10.6) получается закон сохранения заряда ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [Гл.
и Подчеркнем, что нулевое значение плотности свободных зарядов р, никак не противоречит возможности протекания через среду электрического тока. В приведенном примере воды, представляющей собой электролит, в каждом обьеме среды имеются как положительные, так и отрицательные ионы, которые при наложении электрического поля начинают двигаться в противоположных направлениях, что приводит к возникновению тока, однако суммарная плотность зарядов остается равной нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
