Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В соответствии с этим к системе, состоящей из уравнения неразрывности и закона Дарси: й (тр), + йч(ри) = О, и = — — дгас1р, Р добавляются линейные соотношения, определяющие изотермические зависимости плотности р, пористости т,, проницаемости Й и вязкости р от возмущения давления жидкости в порах по сравнению с некотоРым начальным состоЯнием Ро ): 1 хи(р) = то 1+ и(Р) =Но' 1+ - > (12.1) где величины ро, то> Йо>,ио относятся к невозмущенному состоянию а константы Л р Л >>> Л ~ Л >, являются упругими модулями ), которые характеризуют изменение свойств пористой среды 70 1) Тем самым мы предполагаем деформации жидкости и пористого скелета обратимыми (упругими), в связи с чем о процессах, при которых эта теория справедлива, говорят как об упругом реэки>ие фильтрации.
2) Например, при 10оС для воды Кр 2. 10 атм, К;„— 2 10 атм; отрицательное значение К„соответствует падению вязкости воды при не очень большом повышении давления. УПРУГИЙ РЕЖИМ ФИЛЬТРАЦИИ и жидкости при всестороннем сжатии и по порядку величины много больше характерных возмущений давления: (р — ро)/К (( (( 1. Как и в случае фильтрации газа (~ 11), мы подставим закон Дарси в уравнение неразрывности: д(т(р) р(р)) . / р(р) Й(р) = с(1~ ( ) ~гас1р что после преобразований дает т„' р„', рй р„' Й' ( /,„)„' 2 рт — + — р', = — — + — + ~ ятас1 р~ + ~ р т р,и р Й '/„ и, поскольку мы хотим получить уравнения для малых возмущений, упростим коэффициенты при производных от давления: вместо значений Й, р, р и т возьмем их невозмущенные значения Йо~,цо~ ро и то~ а при вычислении производных воспользуемся линейными уравнениями состояния (12.1), например: В результате получится уравнение с постоянными коэффициен- тами, в котором дополнительно можно отбросить нелинейное сла- гаемое ): что в итоге дает уравнение пьезопроводности ), полученное ря- дом исследователей в 1930 — 40-х гг.
(11, 171: ~о 1 1 р, =жЬр, ж= + = сопМ, тоРо Х~р Л (12.2) 1) Зачеркнутый член имеет порядок (р — ро)~/(.КА~), где А характерный размер задачи, а оператор Лапласа порядка (р — ро)/Ь, так что отношение этих членов порядка (р — ро)/Л (( 1. ~) Название (от греч. ты~ы «давлю») дано по аналогии с названием уравнения теплопроводности, совпадающего по форме с (12.2). 71 ТЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ ~гл. Ш где ж — коэффициент пьезопроводности. Граничные условия для уравнения (12.2) ставятся аналогично условиям при изотермической фильтрации газа (стр.
67). Коэффициент пьезопроводности одновременно учитывает сжимаемость жидкости и пористого скелета. Отметим, что в промысловых условиях встречаются ситуации, когда фильтрующаяся жидкость содержит пузырьки газа (например, газ, растворенный в жидкости, может выделяться при понижении давления). Это приводит к увеличению средней сжимаемости флюида и, как следствие, к резкому снижению эффективного коэффициента пьезопроводности х. Рассмотрим одномерную задачу двиРаспространение волны жении плоской волны давления в полу- давления в пласте бесконечном пористом пласте. Предположим, что начальное давление флюида в пласте постоянно, а в нулевой момент времени давление на границе пласта скачком повышается на постоянную величину Бр и далее все время поддерживается на этом уровне. Считая для простоты начальное давление нулевым: ро = 0 ) и направляя ось Ох вдоль пласта, получим 1 задачу р', = жр", р(х,О) = О, р(0,8) = др, 1пп р(х,~) = 0 (12.3) (начало координат выбрано на границе пласта).
Решение задачи автомодельно и, в соответствии с л-теоремой, имеет вид р = р(х,1,ж,ор) = ор ~®, ~/ж~ что сводит (12.3) к краевой задаче для обыкновенного дифферен- циального уравнения 2~"®+(7'(~) = О, ~(0) = 1, ~(оо) = О, решение которой выражается через функцию ошибок (рис. 27 а): ~® = 1 — его'(~/2), его'х = 2 / ехр( — а~) Иа. о В размерных переменных распределение давления дается выра- жением р(х, ~) = ор 1 — его 1) В уравнение пьезопроводности входят только производные от давления.
72 УПРУГИЙ РЕЖИМ ФИЛЬТРАЦИИ качественный вид пространственного распределения давления для трех моментов времени 11 ( 12 ( 1з показан на рис. 27 б. ~х Ов х О О Рис. 27. Скорость фильтрации, которая находится с помощью закона Дарси: и (х,1) = — Р (х,1) = — — Р (х,8) = ~(Р(х~ ~)) г ~0 РР~ г Ро Йо~Р 1 ехр Ро ~/тм~ 4. с~ в каждой фиксированной внутренней точке пласта с течением времени сначала возрастает от нулевого значения до некоторого максимального, а затем постепенно падает до нуля при 1 — + оо (рис.
27 в). С помощью этого решения несложно оценить характерное время т переходного процесса в упругом режиме: т Л~/ж. При характерных параметрах Л 10 атм, й 10 ~ см, и 10 2 г/(см с), т 1 получим ж 1 м /с, и если Л 10 м, то т 1мин,априЛ 10~ м т 10сут. В качестве второго примера испольПуск скважины с постозования уравнения пьезопроводности янным дебитом рассмотрим автомодельную задачу о пуске скважины с постоянным дебитом ).
Пусть в тонкий однородный пласт, в котором первоначально находилась покоящаяся жидкость с постоянным давлением, в некоторый момент времени начинается закачка жидкости с постоянньтм об ьемным расходом Я (на единицу толщины пласта) через тонкую скважину. Полагая, как и раньше, начальное давление нулевым и пренебрегая толщиной скважины, получим систему для 1) Дебйт (франц. йеЫФ вЂ” «расход» от лат.
йеЬЫшп — «долг») — объемный расход (колодца, скважины). Это название не следует путать с бухгалтерским термином дебет, восходящим к тому же латинскому корню, что и слово дебит. ТЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ [Гл. Ш нахождения распределения давления р(г, 8), где г — расстояние до скважины: р, = — (тр„)„, р(г,О) = О, (12.4) Йо дР 1пп р(г,~) = О, Я = 1пп — 2тт —— т — +ос г — +О Ро дT С учетом того, что параметры ф рв и йв входят в постановку задачи (12.4) только в комбинации Яро/йв, вид зависимости давления от параметров задачи легко находится с помощью ~т-теоремы: р= р(т.,с, Аяо(~о) = ~~ ~(~), ~о ' ~/х7' так что (12.4) сводится к краевой задаче — ~'®(1+ ~~/2) = ~~"®, ~(оо) = О, 1пп©'®) =— решение которой имеет вид ~®=-~ Е' -4 (12.5) где Е1 — интегральная показательная функция (рис.
28 а): Е1Х = ехр ~ д~, х (О. Отсюда находятся распределения давления и скорости фильтра- ции: р(т,~) = — Е1 —, и„(т,~) = ехр — . (12.6) ЮРо . г' О г~ 4тйв 4ж~ ' " ' 27гт 4ж~ Качественный вид пространственного распределения давления р(т) при Я ) О (закачка в пласт) и при Я < О (откачка из пласта или остановка работающей скважины) показан на рис. 28 б. УПРУГИЙ РЕЖИМ ФИЛЬТРАЦИИ Рис. 28. В фиксированной точке пласта г = тв с течением времени давление возрастает от нулевого значения до бесконечности (рис. 29 а), а скорость фильтрации за время порядка т то~/ж становится практически постоянной, увеличиваясь от нуля до конечного асимптотического значения Я/(2лто). При го 10 м, что соответствует радиусу реальных скважин, расход через поверхность г = гв практически мгновенно становится постоянным (т 10 2 с), поэтому это решение, несмотря на формальное обращение в бесконечность скорости фильтрации и давления при г — + — + О, часто используется в гидрогеологических и нефтепромысловых расчетах.
Полученное решение (12.6) имеет важОб экспериментальном ное значение потому, что оно позвоопределении параметров ляет определять неизвестные параметпласта ры пласта по экспериментальным временным зависимостям р(г), измеряемым в самой скважине или в соседних измерительных скважинах ). Например, при больших временах (или вблизи скважины), что соответствует ~ << 1, формулу (12.5) можно упростить, воспользовавшись первыми двумя членами разложения интегральной показательной функции ) ОО ( )~. 2 Е1( — х) = С+1пх+ ~~ = С+ 1пх — х+ — —..., х ) О, Ий 1=1 1) График функции р(1) называют кривоб восстпановления давления (КВД).
2) Доказательство см., например, в книге: Ф их те иго л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 11. М.: Наука, 1969. ТЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ [Гл. Ш где С' = 0,577... постоянная Эйлера Маскерони, что приводит к асимптотической формуле (? рв 2,25ж~ РЬо ~) = 4~1~ На плоскости (1п(Ы/т~е); Р(тв, 1)) этой зависимости соответствУет прямая (пунктирная линия на рис. 29 б), к которой стремится действительная зависимость Р(1) при 1 — ~ оо.
Поэтому построив в полулогарифмических координатах экспериментальную зависимость Р(1) при известных го и Яро и определив касательную к прямолинейной части графика ), можно найти значения ж и Йе. О Рис. 29. С физической точки зрения три урав- О связи уравнений Лей- нения — Лейбензона, пьезопроводнобензона, пьезопроводно- сти и уравнение Лапласа для фильтрасти и Лапласа ции несжимаемой жидкости — являются уравнениями фильтрации упругой среды в трех характерных случаях, когда сжимаемость является соответственно сильной, слабой и бесконечно малой (отсутствует).
Правая часть уравнения Лейбензона может быть преобразо- вана к виду ~(Р2) ~ (2Р ~гР) 2(~~гаДР~2 + Р лР) и при малых возмущениях давления дР (по сравнению с фоновым значением рв) квадратом градиента давления можно пренебречь: ~2 (ц (~)2 Р ~Р Ро 6Р(~ Ро 1) При достаточно больших временах на виде р(1) может сказываться влияние границ пласта. ~ 13~ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА что дает уравнение г йРО Р~ = ~Ю Тир, ~ 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
