Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 9
Текст из файла (страница 9)
и что жидкие частицы при своем движении вокруг выступов в подземной части плотины преодолевают больший путь, в то время как перепад напоров между начальной и конечной точками движения частиц остается неизменным (рис. 16). Приведем пример задачи с неизвестПриток к дренажной ще- пой свободной поверхностью. Рассмотли рим безнапорный приток воды к полому горизонтальному каналу — дрене ), который сделан в непроницаемом основании пористого пласта (часть поперечного сечения канала показана на рис.
17). Рис. 17. Будем предполагать для простоты, что поток жидкости приходит из бесконечности, где высота поверхности депрессии стремится к бесконечности, а скорость фильтрации стремится к нулю, так что суммарный расход жидкости, фильтрующейся в пористой среде слева направо и собирающейся в полости дренажного канала, известен и равен конечной величине Я. Форма свободной поверхности на плоскости ~ (и, в частности, длина Ь промежутка высачивания Д 7) заранее неизвестны, но образы области течения на плоскостях ш и ф легко находятся (рис. 17; значения ф> на непроницаемом основании оД и д на промежутке высачивания Д у положены равными нулю, значение ф на свободной поверхности равно расходу ®.
Отображение одной области на другую, построенное с соответствием точек о = о, Д и 7, дает дифференциальное 1) Дрена (англ. с1га1п -- «осушать») -- подземный искусственный водоток (труба, полость) для сбора и отвода почвенно-грунтовых вод. Дренажные системы, известные со времен Вавилона и Древнего Рима, применяются для осушения земель и борьбы с их засолением, для перехвата подземных вод и т.д. Пример простейшей дренажной системы, встречающейся в быту, отверстие на дне горшка для выращивания комнатных растений.
50 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТФКП уравнение относительно ы(~): Йп СЯ ~Ь решение которого ы~(~) = — 2ЯС~+ сопМ. (8.3) Константа интегрирования равна нулю, т.к. точке Д на физической плоскости (~ = 0) соответствует точка и~ = 0 на плоскости комплексного гютенциала. Теперь легко найти поле скоростей: Ип СЯ СЯ и — гг= — =— ~Ь и 2~ ' и(х) = х<0, а на промежутке высачивания п(х) = — ~/, 0<х<Л ГСЯ 7 2х' (в начале координат ~и~ обращается в бесконечность). Уравнения линий тока и свободной поверхности получаются разделением действительной и мнимой частей в решении (8.3) и исключением потенциала скорости фильтрации у, что дает уравнение параболы Са 2 2ф2 2С~ (линиям тока соответствуют значения 0 < ф < ф поверхности депрессии — - ~ = Я, откуда при д = 0 находится Л = Я/(2С)).
где нужно выбрать ветвь квадратного корня, дающую положи- тельную скорость и вдоль непроницаемого основания. Отсюда, в частности, для скорости фильтрации на непроницаемом основа- нии получается зависимость ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл. и Аналогичным образом методы теории анаТечения в плосколитических функций применяются при рассти пласта смотрении плоскопараллельных горизонтальных течений в плоскости тонкого пласта. В этом случае координатная плоскость Охд располагается горизонтально, течение описывается уравнениями Ьр(х,д) = О, ~р = — СН(х,д), С = сопв$, и = дгас1у, где напор Н(х, д) = р(х, д, ~)/(ру)+ь, в силу закона Дарси и предположения о плоскопараллельности течения, не меняется поперек пласта (при этом внутрипластовое давление вдоль любой вертикальной прямой х = сопМ, д = сонэк распределено по гидростатическому закону) .
Простейшие течения, встречающиеся на практике, поступательное течение в пласте со скоростью фильтрации Г = (Г~; Гд) и течение вокруг работающей совершенной скважины, которое рассматривалось в конце ~ 7, описываются соответственно комплексными потенциалами ы(~) = Г~ и и~(~) = ~/(2л) 1п ~, где Г = = Г + гС'„, а черта над числом обозначает комплексное сопряжение. В силу линейности уравнений можно рассматривать линейные комбинации этих и других решений, что позволяет изучать, например, задачи о гидродинамическом взаимодействии группы скважин. Рассмотрим в качестве примера работу скваСкважина в постужины, откачивающей часть жидкости из нательном потоке фильтрационного потока с постоянной скоростью фильтрации Г = У на бесконечности. Картина течения в этом случае строится с помощью комплексного потенциала ю(~) = У~ — — 1п~ Ю 2т и имеет вид, показанный слева па рис.
18. Скважина забирает жидкость, движущуюся на бесконечности внутри полосы шириной Я/Г, которую называют областью питания схваокины. Остальная жидкость огибает скважину и уходит в бесконечность. Распределение напора на оси х дается зависимостью Н(х) = — — Гх+ 1п ~х~ 1 С 27Г ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТФКП качественный вид которой показан справа на рис. 18; локальный максимум на графике соответствует точке торможения потока. Обратим внимание, что в этом решении при уходе в бесконечность в направлении оси х давление в пласте рано или поздно станет равным нулю и, строго говоря, решение не будет справедливым во всей плоскости.
Это связано с тем, что для поддержания потока в пористой среде нужно каким-либо образом создавать перепад давления, а для течения во всей плоскости, с формальной точки зрения, нужно было бы создать бесконечный перепад давления. Ситуация здесь совершенно аналогична движению вязкой жидкости в трубопровбде, где для поддержания течения на достаточно протяженном участке нужно поднимать давление с помощью насосов, расположенных на определенных расстояниях друг от друга. Рис.
18. Во избежание недоразумений подчерк- О сходстве и различии нем, что несмотря на формальное совфильтрационных тече- падение кинематических уравнений для ний и потенциальных м . описания полей скорости в теории филь- течении идеальнои трации и в гидродинамике идеальной несжимаемой жидкости (в обоих случаях это уравнение Лапласа), распределение давления, которое в отсутствие массовых сил является основной причиной движения, в этих моделях разное. Такое различие связано с тем, что эти модели отражают совершенно разные физические механизмы: в ф и л ь т р а ц и о ни ы х течениях (в области применимости закона Дарси) доминируют, как об этом уже говорилось, в я з к и е силы, что связано с очень большой площадью поверхности пор, тогда как модель и д е а л ь н о й ж и д к о с т и учитывает явление другой природы и н е р ц и ю жидкости.
Это различие проявляется уже в ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл. и простейшем стационарном течении в горизонтальном цилиндри- ческом канале: в пористой среде давление падает вдоль канала, в то время как при течении идеальной жидкости градиенты дав- ления вдоль канала отсутствуют. ~ 9. Гидравлическая теория безнапорной фильтрации ди, ди, д р р' + =О, и = — С вЂ” — +~ = — С вЂ”, дх д2 дх рд рд и, = — С вЂ” — +~ = — С вЂ” '+1 (9.1) Основное предположение гидравлической теории заключается в том, что при малых углах наклона свободной поверхности к горизонту (6' « 1) в любом вертикальном сечении пласта х = сопя| давление в фильтрующейся жидкости распределено по гидростатическому закону (что эквивалентно постоянству напора по сечению). Если эта гипотеза выполняется, то из закона Дарси следует, 1) Как уже говорилось на стр.
43, безнапорными называются течения со свободной поверхностью. 2) Для сокращения записи мы будем иногда обозначать частные или обыкновенные производные штрихом, указывая переменную, по которой производится дифференцирование, с помощью нижнего индекса, дв ! например: а~, = р . Строгое математическое описание безПредположения гидрав- напорных течений ), часто встречалической теории ющихся в гидрологической практике, достаточно сложно из-за неизвестности формы поверхности депрессии. Для приближенного описания течений со свободной границей французским гидравликом и экономистом Жюлем Дюпюи (1863) были предложены упрощающие предположения, которые выполняются для течений с п о л о г о й поверхностью депрессии.
Рассмотрим (для простоты плоское) нестационарное безнапорное течение несжимаемой жидкости в пористом слое, ограниченном снизу горизонтальной непроницаемой поверхностью (рис. 19). Движение жидкости описывается уравнением неразрывности 1 Х и законом Дарси, которые в показанной на Рис. 19.
рисунке системе координат имеют вид ) ГИДРАВЛИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ что скорость фильтрации в любой точке направлена горизонтально (ее вертикальная компонента равна нулю), а ее величина определяется только формой свободной поверхности и не зависит от высоты: и (х,1) = — сЬ', и =О. К указанной гипотезе можно прийти с помощью оценки членов в основных уравнениях. Поскольку мы хотим показать, что давление мало отличается от гидростатического, представим его в виде р(х, ~, 8) = рд(6(х, 1) — ~) + р(х, ~, 1), (9.2) где р отклонение от гидростатического закона. Обозначим характерные горизонтальные и вертикальные размеры смоченной части пласта через Л и 6, характерное изменение высоты свободной поверхности— через д6 (в силу предположения о пологости поверхности депрессии о6/Х (( 1) и характерные проекции скорости фильтрации через Г и Г,.
Тогда из уравнений (9.1), в которые подставлено (9.2), получаются оценки Г„~, С ( Ь6 ЬР.~ С ~Р, с' — рд — +— ~/ 6 ' рд ~, . ~ ~ ,l' ' рд 6 где ор и ор, — характерные изменения р вдоль соответствующих осей. Эти соотношения представляют собой оценки по порядку, и с ними можно обращаться как с обычными равенствами (возможно, если это потребуется, меняя коэффициенты при одночленах в конечное число раз) ).
Отсюда получается оценка ~2 2 из которой, в предположении, что ор, по крайней мере не меньше др, (поскольку на свободной поверхности р = 0), а также Ь > 6, следует искомое соотношение 6 б6 др, рд6 — « рд6. 1) Скажем, от сравнения типа а ~ ~/4 р — 2у можно перейти к сравнению о,З+ у. С использованием предположений гид~равнение Буссинеска равлической теории легко получить уравнение для высоты свободной поверхности 6(х, й), записав закон ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл.
и сохранения массы для части пористой среды между двумя про- извольными сечениями х1 = сопМ и х2 = сопв1 (рис. 19): у Х2 — ~ ртййш = (рй сй',)~*,' = рс Я = ср (~) нх, Х1 откуда получается нелинейное уравнение Буссинесма (Л. Вопвв1- певс~, 1904) д6 С д2(62) (9.3) д1 2т дх2 д6 С ~(~ 2) д1 2т В частном случае стационарных течений форма поверхности де- прессии находится из уравнения Лапласа В случае стационарного плоскопаралФормулы Дюпюи для лельного течения уравнение Буссинебезнапорных течений ска дает для формы свободной поверх- ности зависимость 6~(х) = Ах + В, А, В = сопв1 (9.4) (для течения слева направо, показанного на рис.
19, А ( О), для которой постоянный объ- емный расход жидкости (на единицу длины в поперечном направлении) Я = — С6'(х) 6(х) = — С(6~(х)/2)' = — СА/2. Рис. 20. Записав (9.4) для двух сечений х1 и х2., несложно получить выражение расхода через высоты свободной поверхности в этих точках: С 6~(ж1) — 6~(х2) 2 х2 — х1 (9.5) В общем случае зависимости высоты свободной поверхности от двух пространственных координат в горизонтальной плоскости уравнение для 6 = 6(х, у, г) выглядит аналогично: ГИДРАВЛИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Аналогичным образом для стационарного осесимметричного безнапорного течения получим решение 6 (г) = А 1п — ~, А, г0 = сопв$ 2 т гО с расходом Я = — С6'(т) 27гг6(т) = — 2ггтС(6~(т)/2)', = — 7гСА (для притока к скважине, показанного на рис. 20, А ) О и рас- ход (~ отрицательный).
Аналогично плоскому случаю, для расхо- да можно записать выражение (~ 2) 6 (г1) 1п(г2/г1) (9.6) Рис. 21. поэтому если ввести интеграл от давления по высоте 6(х) М(х) = ~ р(х,~) гЬ, 1) Сравните с формулой Дюпюи (7.5) на стр. 42. Соотношения (9.5) и (9.6) называются формулами Дюпюи для пологой безнапорной фильтрации ). Формулы Дюпюи являются приблиСтрогое доказатель- женными, т.к. при их выводе использоство формулы Дюпюи валась приближенная теория. Однако, для фильтрации через прямоугольную плотину что любопытно, в случае стационарной фильтрации через прямоугольную перемычку (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
