Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В самом деле, в прямоугольной декартовой системе координат зависимость компонент вектора дгайр от компонент вектора скорости фильтрации и и других определяющих параметров имеет вид Ч~р = ~р~ (и,, р,,и, а, т, а ), причем вид функций р~ не зависит от выбора системы координат. Предположим, что векторы дгас1 р и и не параллельны. Направим ось Ох вдоль вектора и, так чтобы он имел только одну отличную от нуля компоненту. Тогда при повороте системы координат относительно оси Ох все аргументы функций р~ останутся неизменными, в то время как компоненты вектора вегас) р будут изменяться, что приводит к противоречию.
Отметим, что это рассуждение неявно опирается на предположение об изотропности пористой среды. Для анизотпропных сред (в которых, конечно, векторы и и дгайр могут быть не параллельны) в число аргументов функций р~ нужно дополнительно включать компоненты тензоров, характеризующих анизотропию ). Итак, общий вид закона фильтрации несжимаемой жидкости в изотропной пористой среде можно записать так: ( ) Зависимость Ф(Ке) в двух предельных случаях — при малых и больших числах Рейнольдса можно установить из общих соображений.
В случае очень медленных (ползущих) внутрипоровых течений, в которых доминируют вязкие эффекты, зависимость (4.1) 1) Например, для слоистой среды — компоненты вектора нормали и, к плоскости напластования (см. с. 17). ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ ~Гл. 1 не должна содержать плотность жидкости, выпадающую из уравнений вязкой жидкости в приближении Стокса. Поэтому при Ке « « 1 функция Ф не должна зависеть от числа Рейнольдса, и закон фильтрации (4.1) можно записать в виде д Й Ф(О,т, а„) где величина Й, имеющая размерность квадрата длины и зависящая только от свойств пористой среды, должна, в силу закона Дарси (3.5), совпадать с коэффициентом проницаемости.
202/Й ДКе) 4 Ю 2 4 6 610 2 4 ВВЮ~ 2 4 6670 2 4 ВВЕЛО~ 2 4Ке Рис. 5. В противоположном случае быстпрьт внутрипоровых течений (при Ке )) 1) преобладающими должны быть инерционные эффекты, поэтому зависимость градиента давления от скорости фильтрации не должна содержать в главных членах коэффициент вязкости р. Это дает при больших Ке линейную зависимость Ф(йе) и квадратичную зависимость ~дгас1р~ от и.
Ксли нормировать функцию Ф(йе), вводя обозначение ~(йе) = Ф(йе)/Ф(0), ~(0) = 1, ~(йе) = 0(йе) при Ке — + ос, (4.2) то закон фильтрации в принимает окончательный вид р риа 0 = — дгас10+ рд — — и ~(йе), Ке = й ' р Пример зависимости ~(Ке), полученной экспериментально для нескольких пористых сред [5], показан на рис. 5 (величина ~ умно- 20 ~ 4~ ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ ЗАКОНА ДАРСИ ~(йе) = 1+ Ке, ,в % где Д безразмерный параметр, зависящий от структуры пористой среды (порядка единицы). Это дает двучленный закон фильтрации, называемый также законом фильтрации Форхгеймера (РХогс11Ье1шег, 1901): /х ри и 0 = — дгас1 р+ рд — — и — Д Й .Я и ( .3) Как видно из рис. 5, отклонения от закона Дарси, которому соответствует горизонтальный участок графика, начинаются при Ке порядка единиц (числа Рейнольдса вычисляются по характерному размеру пор).
При дальнейшем повышении скорости фильграции инерцией жидкости при ее движении в извилистом внутрипоровом пространстве уже нельзя пренебрегать и нужно пользоваться, например, квадратичной зависимостью (4.3). Этот закон по своей структуре (квадратичная зависимость от скорости) похож на известную связь сопротивления и скорости при развитом турбулентном движении жидкости в каналах или при обтекании тел потоком. Основываясь на этой формальной аналогии, иногда режим фильтрации в области применимости закона (4.3) называют «турбулентной фильтрацией». В действительности же, как показывают эксперименты, при переходе через границу применимости закона Дарси движение жидкости в порах остается ламинарным, а переход к турбулентности происходит при достаточно больших числах Рейнольдса (около 100 — 300).
О «турбулентном» жиме фильтрации Отклонения от закона Дарси, связанные Фильтрация неньюс неньютоновскими свойствами жидкости, то но вских жидко- могут иметь различный характер в зависистей мости от реологического поведения чистой жидкости. жена на безразмерный коэффициент 2И й; шкалы на обеих осях логарифмические) . При практических расчетах закон ~(йе) чаДвучленный закон сто аппроксимируют линейной зависимостью, фильтрации удовлетворяющей требованиям (4.2): ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ 1Гл.
1 Ряд веществ, например растворы полимеров, при простом сдвиге течении с полем скорости о = (и (у); О; О) имеет степенную зависимость касательных напряжений от скорости сдвига: т~,„(е „)", где п -- некоторая константа ); значение и = 1 соответствует обычной ньютоновской жидкости. При течении таких сред в цилиндрическом капилляре радиуса В зависимость скорости от радиальной координаты задается степенной функцией, а связь расхода и градиента давления вдоль капилляра описывается соотно- шением д д(зп+1)/и ~ ~ ~1/и переходящим при п = 1 в закон Пуазейля. Если в качестве простейшей модели пористой среды рассмотреть пучок параллельных капилляров с некоторым распределением радиусов (рис. 4), то из предыдущей формулы получается степенной закон фильтрации 1 1 и = — А ~~гас1р~н 1 ягас1р, А = сопв1. При фильтрации некоторых высокомолекулярных соединений становятся существенными релаксационные эффекты, проявляющиеся, например, в запаздывании изменения скорости фильтрации при изменении градиента давления и т.п.
Для описания таких фильтрационных процессов часто используются различные эвристические модели, в которых между скоростью фильтрации и градиентом давления имеется не алгебраическая, а дифференциальная связь. Примером такой модели служит закон фильтрации драс!р р ди дгайр+ тр — — и+ т„— д~ к дс где константы тр и т„имеют смысл времен релаксации давления и скорости фильтрации. В ряде природных процессов, например при просачивании воды в мелкопористых средах или при фильтрации некоторых нефтей, течение жидкости начинается при превышении модулем градиента давления ~дгайр~ некоторого фиксированного порогового 1) Например, для зубной пасты «Колгейт» п 0,2, для шоколада в жидком состоянии п 0,6.
22 ~ 4~ ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ ЗАКОНА ДАРСИ значения С «предельного градиента», а при меньших градиентах жидкость в порах покоится ). В качестве примеров таких законов фильтрации на рис. 6 показаны экспериментальные зависимости скорости фильтрации от градиента давления для воды в глинизированном песчанике (а) и нефти в песке (б), заимствованные из ~2]. Изучение особенностей подобных законов важно при разработке нефтяных месторождений, т.к. большая часть пласта приходится как раз на области малых градиентов. и, си/ин Б,Б а. Сю/СЕн-Д~ ' Р,Я аС!, 6 п,г 04 П ООХ Р,П~ ЮУГ Рис. 6.
Для моделирования таких явлений часто используется закон фильтрации с предельным (начальным) градиентом й дгас1 р — — (~растр — С) при ~дгас1р ) С, и =,и ~вегас~ р~ О при ~дгас1р ( С. Особенностью этой модели является возможность существования застойных зон (с нулевой скоростью фильтрации), в которых давление не определено однозначно и зависит от предыстории тече- ния. Наличие предельного градиента легко объяснить, если предположить, что фильтрующаяся жидкость проявляет вязкопластические свойства (т.е. начинает течь лишь тогда, когда интенсивность касательных напряжений — функция от второго инварианта девиатора тензора напряжений --- достигает фиксированного ненулевого значения).
Например, жидкость Бингама — Шведова, 1) Отметим для сравнения, что при выполнении закона Дарси фильтрационное течение начинается при любых сколь угодно малых градиентах давления. 1Гл. т ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ которая при простом сдвиге описывается соотношениями 1 т~у — ((т д! — то) при ~т ~~ > то, 2р ~ ~т д~ О при ~т „~ (то, е д —— начинает движение в цилиндрическом капилляре радиуса В при превышении градиентом давления значения ~~гад р~ = 2то(В (то пороговое касательное напряжение) ). При моделировании пори- стой среды набором параллельных каналов с различными радиу- сами отсюда получается закон фильтрации, качественно схожий с (4.4), причем предельный градиент определяется радиусом наи- большего капилляра. ~ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
