Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2) Сравните это с теми известными фактами [8~, что при ползущем течении вязкой жидкости вокруг сферы одна треть стоксовской силы сопротивления складывается из воздействия нормальных напряжений, а при обтекании тонкой пластинки, расположенной поперек потока, вообще вся сила сопротивления обязана своим происхождением нормальным напряжениям. 29 1Гл.
1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ и уравнения энергии для скелета р Г+ + ~7~ рг Г+ (рР~и~) + ~~ (р'~т;) — ~~ (д~) — — ~ чапа ~Ь + р Я) МŠ— (р Г ) = — С7~ (д~) + — / д~~п~ йт+ р Я ) Еж-с при сложении которых интегральные члены сокращаются (в силу условия (д — О,) и, = 0 сохранения потока энергии на контактном разрыве -- границе жидкости и скелета), в результате чего получается требуемое уравнение энергии — р Г+ — + (р С~) + ~7~ ро~ У+в ( Р ~)+~7 7 'й ),7 (( й)+( ~)1+ (~)+ Этому уравнению можно придать боуравнения лее простой вид, если сделать следующие дополнительные предположения, выполняющиеся во многих практических приложениях.
а) Кинетической энергией жидкости при движении внутри пор можно пренебречь по сравнению со внутренней энергией (в промысловых условиях Г 104 — 10в м%2 )) о2/2). б) Объемные притоки энергии отсутствуют: Я = Я, = О. в) Температуры жидкости и скелета можно считать одинаковыми, так как характерное время выравнивания их температур 1„рею /ж, где с и ж коэффициенты теплоемкости и теплопроводности, мало по сравнению с характерным временем фильтрационных процессов (величина Й„для песка с д 10 2 см порядка 10 1 с).
Упрощение энергии где Г и Я массовые плотности соответственно внутренней энергии и объемного притока энергии, О вектор потока тепла, а индекс «с» обозначает величины, относящиеся к скелету, дает, с учетом условия прилипания, уравнения ~ 6~ ОСРЕДНЕНИЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ г) Давление и температура являются медленно меняющимися функциями пространственных координат, в то время как скорость жидкости внутри пор является быстро меняющейся функцией.
Это позволяет приближенно выполнять осреднение произведений: (ри") = р(и ) = ри, (р~1и ) = рГ(и ) = рй1и (в правых частях равенств стоят средние значения р., Г по жидкой фазе). д) В слагаемом, содержащем компоненты тензора напряжений, при осреднении можно пренебречь тензором вязких напряжений т~: 7~ (р' и;) = — 7~ (ри ) + Ч~ (т' и,) = — Ч~ (р(и )) = — йч(ри). В самом деле, т'~ ри/д, а порядок изменения давления ор (в масштабах задачи Ь) оценивается с помощью закона Дарси: ор(1 ри(д~, откуда т'~(6р д(1 << 1.
С физической точки зрения это означает, что мощность сил давления много больше мощности вязких сил при деформации жидкости. е) Для суммарного вектора потока тепла справедлив закон теплопроводности Фурье с некоторым эффективным коэффициентом теплопроводности ж,ф. цс „= (ц) + (цс), = — ж,ф дгас1 Т. (5.7) Обратим внимание, что ж,ф в общем случае не выражается только через пористость т и коэффициенты теплопроводности жидкости ж и скелета м„а зависит от внутренней структуры пористой среды ~4]. После упрощений, проведенных с применением перечисленных предположений, уравнение энергии (5.6) приобретает вид д — (рот+ р,1Ц1 — т)) + йч(рГи) = д1 (5.8) = рГ и — йч(ри) — йъ.д, „, 31 Отметим, что учет сжимаемости среды принципиально не изме- нит проводившихся при выводе (5.8) рассуждений, поэтому это уравнение может использоваться и для описания тепловых явле- ний при фильтрации газа.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ ~Гл. т ~ 6. Соотношения на разрывах и типичные граничные условия д — тртыГ = — три иг, 0 = — ттрииа + тт, (рà — — и) ИГ, / р, иг т е т: д — ~ (рот+ р,Й1,(1 — т)) тЛ~ = — ~((рй1+ р) и„+ (6 1) тй, т: + тт, „и) Йт+ ~ (рГ и+ рот+ рЯ,(1 — т)) тЛ' для любого неподвиэтсного относительно пористой среды ) объ- ема Ъ' с границей Е. Все интегральные соотношения иметот общуто структуру — ~АУЛ' = — /В исЬ+ /СтЛ; И иг т- Ъ' которой соответствует условие на разрыве вида (6.2) ~А0 — В и~ = Х, где, как обычно, квадратными скобками обозначается скачок ве- личины в скобках при переходе через разрыв,  — - скорость дви- жения поверхности разрыва по нормали к ней, 1 -- поверхностный приток, соответствующий величине А.
Условие (6.2) несложно получить с использованием равенств И вЂ” ~ АЛ'= ~ — сЛ' — ~ Ат.ОсЬ, дА ~~т'М ж д~ в (т) С~ — / .4 (Л~' = ~ — (Л~' + ~ .42 О С~0, дА ~~ т2т т т2т т д~ н„ттт где Ъ'т ® и Ъ2® -- обьемы, на которые движущаяся поверхность раз- рыва Ер(1) делит неподвижный объем Г, а индексы «1» и «2» у ве- личины А обозначают ее предельные значения на соответствующих сторонах разрыва (рис. 8). т) Пористая среда предполагается неподвижной относительно некоторой инерциальной системы отсчета.
Связь параметров при переходе через поверхность разрыва получается, как всегда, из интегральных законов сохранения, которые при крупномасштабном описании имеют вид ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Применение (6.2) к законам (6.1) дает условия сохранения массы, импульса и энергии [р(тпрр — и„) ~ = М, [ — шр п~ = И, [(рЮтп+ р,Г,(1 — ш))Б — (рЮ + р)и„— д, „, п~ = Е, (6.3) 1) Природу этой силы легко понять на примере модельного течения через стык двух капилляров с разными диаметрами. 33 где М, Ю и .Š— дополнительные поверхностные притоки массы, импульса и энергии на разрыве, которые, вообще говоря, отличны от нуля. Напри- ® Д) мер, при фильтрации воды через границу двух р~ пористых сред с разными пористостями возникает дополнительная поверхностная сила, действую- 12(Й) ~'1(й) щая со стороны скелета на жидкость ), равная по модулю ~р[т] (при изотермической фильтрации Рис.
8. из условия сохранения энергии в этой задаче следует непрерывность давления). Другим примером поверхностной силы может служить возникающая на границе двух жидкостей, находящихся в пористой среде, капиллярная разность давлений, величина которой имеет порядок и', шо/И, где о — коэффициент поверхностного натяжения.
Далее мы перечислим некоторые типы граничных условий, встречающихся при решении практических задач. На границе пористой среды с непроНепроницаемая граница ницаемой стенкой или с другой пористой средой, проницаемостью которой можно пренебречь, ставится условие непротекания и и = О. Примерами таких границ служат поверхности бетонных оснований гидротехнических сооружений (рис.
1) или границы песка и глины (проницаемость глины на несколько порядков меньше проницаемости песка, поэтому в гидрологических расчетах ее часто рассматривают как непроницаемый материал) . Обратим внимание, что при микроскопическом описании движения жидкости на поверхности пор ставится условие прилипания, т.е. требуется обращение в ноль как нормальной, так и касательной составляющей скорости.
При осредненном описании на границе можно поставить условие только на объемный поток ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ 1Гл. 1 жидкости через границу -- он должен быть равен нулю, т.к. стенка непроницаема. Касательная же составляющая скорости фильтрации и может быть отлична от нуля — — жидкость может мигрировать в пристеночном слое вдоль границы. С математической точки зрения эта разница в граничных условиях связана с тем, что микроскопическое уравнение движения (уравнение Навье Стокса) содержит вторые производные от скорости по координатам, а макроскопическое уравнение движения (закон Дарси) зависит от скорости алгебраически.
Во многих задачах встречаются грани- Граница пористой среды цы пористой среды, насыщенной жидс чистым флюидом костью, со внешним объемом той же самой жидкости либо границы пористой среды, в которой фильтруется газ, с тем же газом в свободном состоянии. Такой границей, например, является дно водоема, через которое жидкость (вода) может просачиваться из водоема в грунт (в верхнем бьефе ) на рис.
1) или, наоборот, через которое грунтовые воды могут проникать в водоем (в нижнем бьефе на рис. 1). Для движения газа такими границами являются, например, внутренняя поверхность скважины, пробуренной в газоносный пласт, через которую газ выходит из пористой среды в ствол скважины, или, скажем, тлеющий кончик сигареты, через который табачный дым выходит в атмосферу (в последнем примере на границе осуществляется поверхностный энергоподвод). Как правило, на таких границах ставятся условия сохранения массы [ри„~ = О и непрерывности давления ~р1 = О (в задачах изотермического движения несжимаемой жидкости последнее условие следует из закона сохранения энергии).
В водоемах распределение давления с глубиной практически не зависит от наличия течений., поэтому в гидротехнических задачах внешнее давление, как правило, определяется по гидростатическому закону р = р „, + рд6, где 6 — вертикальное расстояние от рассматриваемой точки на дне до поверхности жидкости. В задачах фильтрации газа обычно можно считать внешние давление и плотность газа заданными постоянными величинами или функциями времени. 1) Бьеф (франц.
Ые1) часть водоема, реки или канала, примыкающая к водоподпорному сооружению (плотине, шлюзу). 34 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Если разные части пористой среды наГраница раздела фаз . сыщены двумя разными жидкостями внутри пористой среды или жидкостью и газом, то граница между этими областями является поверхностью разрыва ). Например, часто при фильтрации грунтовых вод область, в которой поры целиком заполнены водой, и область, в которой поры заполнены воздухом, отделены друг от друга поверхностью, называемой поверхностпью депрессии или фреатической поверхпостпъю ) (рис. 9).
В реальности эта граница представляет собой переходную зону некоторой толщины, но при рассмотрении крупномасштабных явлений, встречающихся в гидротехнической практике, эту зону можно моделировать как поверхность. Эта поверхность является свободной до решения задачи ее форма (кроме тривиального случая горизонтальной поверхности) неизвестна, а в нестационарных задачах поверхность депрессии может менять свою форму с течением времени. Другим примером границы двух фаз является фронт вытеснения одной жидкостью другой, движущийся внутри пористой среды (при горизонтальном вытеснении такая граница будет устойчивой, если вытесняющая жидкость более вязкая, чем вытесняемая). и грунт ый гру хность ивания Рис. 9. При изотермической фильтрации на подвижной границе ставятся обычно общее условие сохранения массы ~р(т.Π— и„)] = О и (в пренебрежении капиллярными силами) условие непрерывности давления [р~ = О.
1) Подчеркнем, что здесь не рассматривается многофазная фильтрация (течения смесей, эмульсий, жидкостей с пузырьками газа и тль в пористой среде),когда характерные размеры связных областей одной фазы меньше или порядка характерного размера пор. 2) Депрессия (франц. йергевяоп) понижение уровня (грунтовых вод); фреатический (греч. уркар, род.пад. рркито( «колодец», «источник») относящийся к грунтовым водам. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ 1Гл. 1 В ряде гидротехнических задач на чаПромежуток высачива- сти границы пористой среды с атмония сферой жидкость может вытекать из пористой среды и, скажем, стекать вдоль границы или испаряться. Такие участки называются поверхностями высачивания и встречаются, например, на стенках земляных плотин, через которые фильтруется вода, или на стенках колодцев, вырытых в водонасыщенном грунте (рис. 9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
