Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 7
Текст из файла (страница 7)
На поверхности высачивания ставятся условия непрерывности давления (в пренебрежении капиллярными эффектами давление жидкости в пористой среде на границе совпадает с атмосферным) и положительности проекции скорости фильтрации на внешнюю нормаль и и ) 0 (жидкость может только вытекать из пористой среды). Сама же величина скорости фильтрации на границе до решения задачи неизвестна. Примерами подобных границ являют- Граница двух пористых ся поверхности раздела между распосред ложенными рядом природными пластами с разными проницаемостями или, скажем, граница между фильтром и внешней пористой осадочной коркой, откладываю- щейся на его внешней поверхности при его загрязнении.
При фильтрации несжимаемой жид'.т (;" '. т. ~„~ кости на такой границе ставятся усло- и2 вия непрерывности нормальной компонен.и'1 „и е~~ и2, ты скорости фильтрации ~и„~ = 0 и, как а1 и2„п уже говорилось, непрерывности давления и1, .и. ' и ~р~ = О. Отметим, что касательные состав- ляютцие скорости фильтрации и„по разРис.
10. ные стороны от разрыва в общем случае отличаются (рис. 10). В самом деле, в силу условия непрерывности давления величина напора Н непрерывна на разрыве, поэтому проектирование закона Дарси (3.6), записанного по обе стороны поверхности, на касательную плоскость к поверхности дает условие )и1 ) )и2„( С1 С2 т.е. касательные составляющие скорости фильтрации относятся как коэффициенты фильтрации. Отсюда, с учетом условия ~и„] = ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ = О, получается соотношение на углы а1 и о2, которые образуют векторы скорости фильтрации с вектором нормали: ~К О1 ~К с~2 С1 С2 Подчеркнем, что в общем случае (например, при фильтрации газа через границу двух сред с разными пористостями, когда внутрипоровые скорости движения частиц газа велики) скачок давления на границе может быть отличен от нуля и должен определяться из дополнительных соотношений ).
1) Аналогичная ситуация встречается, например, при течении газа в трубе с внезапным расширением или при протекании газа через перфорированные перегородки. Глава 11. Фильтрация несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде ~ 7. Замкнутая система уравнений и простейшие задачи йчи = О О = — растр+ рР— — и. Р й (7.1) Это система четырех скалярных уравнений относительно четырех неизвестных (давления р и трех компонент скорости фильтрации и). Если рассматривается фильтрация в однородном поле тяжести, то закон Дарси удобно использовать в форме (3.6), инвариантная запись которой имеет вид и = — Сдгас1Н, С =, Н = — т. —.
(7.2) Йрд р д Р Рд д После подстановки (7.2) в уравнение неразрывности получается уравнение Лапласа относительно напора Н ): д2Н д2Н д2Н ~Н вЂ” + + — О, (7.3) к решению которого при заданных граничных условиях и сводится задача. После нахождения Н(х, д, ~) поле скоростей находится с помощью закона Дарси (7.2). Система (7.1) годится и для описания нестационарной фильтрации. При этом зависимость от времени может учитываться как через параметры, входящие в закон фильтрации (скажем, внешние массовые силы могут зависеть от времени, например при исследовании пористого образца на центрифуге), так и через граничные условия (примеры: повышение давления на дне при поднятии уровня воды в реке во время половодья; растекание «бугра» грунтовых вод, образовавшегося после дождя, когда нестационарность проявляется в изменении формы свободной поверхности).
1) В частном случае отсутствия тяжести — к уравнению Лапласа относительно давления. Полная система уравнений, описывающих стаЗамкнутая си„ционарную фильтрацию однородной несжимаестема уравнений мой жидкости в однородной изотропной пористой среде, состоит из уравнения неразрывности и закона фильтрации: ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ Фильтрация в анизотропной среде с постоянным тензором проницаемости в ряде случаев также может быть сведена к решению уравнения (7.3) за счет выбора прямоугольной системы координат, в которой матрица (Й,.) диагонализируется, и изменения линейных масштабов по осям координат. При этом граничные условия также преобразуются соответствующим образом.
Приведем несколько простейших задач, решающихся с помощью приведенной модели. Для экспериментального определения проницаемоОпыт Дарси сти пористой среды можно использовать установку (рис. 11), в которой жидкость под действием силы тяжести просачивается через находящийся в вертикальном канале слой пористого материала ). Пористый образец удерживается снизу сеткой, которая не мешает жидкости высачиваться на нижней поверхности образца и стекать в емкость под установкой.
Для простоты будем считать величину внешнего атмосферного давления равной нулю, посколь- ~Ь= ку добавление произвольной константы к напору 3 не меняет поля скорости фильтрации. Пусть высота пористого образца равна И, а свободный уровень жидкости в верхней части установки поддерживается на постоянной высоте 6 относительно нижней поверхности образца (жидкость все время доливается из крана, находящегося над установкой, а в боковой стенке установки имеется слив, не позволяющий уровню жидкости подняться выше 6).
Выбрав начало координат в плоскости нижнего основания образца и направив ось ~ вертикально вверх, получим задачу о нахождении решения уравнения Лапласа (7.3) в области, занятой пористым образцом, со следующими граничными условиями: условие непротекания на непроницаемых боковых стенках дН дгас1Н и = = О, дп постоянство напора на нижней поверхности (поверхности выса- 1) Классические опыты Дарси проводились на установке именно с такой схемой.
39 ~Гл. и ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ чивания) Н!.=о = — '+. гюстоянство напора на верхней поверхности (границе жидкости и пористой среды) и = — Сдгас1Н = (О;О; — С6(ф., р(ь) = р~(6 — ~) Таким образом, в этой задаче скорость фильтрации постоянна во всех точках пористого образца и направлена вертикально вниз, а давление жидкости изменяется вдоль образца по линейному закону.
При 6 — + д из этого решения следует физический смысл коэффициента фильтрации: если толщина слоя жидкости мала по сравнению с высотой образца и фильтрация происходит в основном за счет действия силы тяжести, то величина скорости фильтрации приближенно равна С ). Предположим, что в некоторую точку Точечный источник в пористого пласта, находящуюся вдали от пористой среде границ пласта, пробурена скважина, через конец которой закачивается (или выкачивается) несжимаемая жидкость с объемным расходом ~ (рис.
12). На расстояниях, много больших толщины скважины, возникающее течение можно рассматривать как сферически симметричное течение от точечного источника. Распределение напора Н(т), где г расстояние 1) Пример из повседневной жизни: при просачивании в сухой грунт воды из лужи под ней расширяется область смоченной пористой среды, ниже которой находится сухой грунт с атмосферным давлением в порах.
Через некоторое время вертикальные размеры смоченной области становятся много больше глубины лужи и скорость фильтрации из нее, если воспользоваться приведенным решением для грубых прикидочных оценок, будет порядка коэффициента фильтрации грунта. 40 Решением этой краевой задачи является линейная функция Н(г) = = 6я/И, а распределения скорости фильтрации и давления имеют вид ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ и имеет вид Н(т) = А/г+ сопМ, где постоянная А определяется расходом Я, одинаковым для любой сферы радиуса В: Я = 4тВ и „и = 4т — С 2 2 (6 = 4тА, г=н что дает Н(т) = — + сопв$.
1 4тС т (7.4) Значение Я ) О соответствует источнику (закачке жидкости в пласт), значение Я ( О стоку (выкачиванию жидкости из пласта). При приближении к источнику (при г -+ 0) скорость фильтрации стремится к бесконечности, поэтому при практическом применении эту формулу нужно использовать начиная с расстояний, соизмеримых с реальным размером источника (например, толщиной скважины). С помощью (7.4) легко найти выражение расхода Я через значения напора Н(г1) и Н(г2) в двух точках пласта на расстояниях г1 и г2 от источника: Н(г2) — Н(г1) Я =4гС г2 г1 которое удобно использовать на практике. Обратим внимание, что в окрестности скважины значения скорости фильтрации могут быть настолько большйми, что вместо закона Дарси нужно использовать, например, двучленный закон фильтрации (4.3), который в терминах напора в сферически симметричном случае имеет вид ан д%, =и+ и.
дг до источника, определяется из уравнения Лапласа в сферических координатах ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл. и Зависимость Н(т) в этом случае легко находится после подстанов- ки в последнее уравнение распределения скорости фильтрации и(т) = 1д ИН Рис. 13. с условием дН Я = 2т.п,и~, Р = — 2т.п,С и',т при любом т = Л, что дает т Н(т) = — 1п —, тв = сонями.
2тС тв ' Как и в случае точечного источника, расход выражается через значения напора в двух точках на разных расстояниях от сква- жины: Н(т2) — Н(т1) 1п(т2/т1) (7.5) 42 Находящиеся в недрах земли жидкие и гаСкважина, вскрыва- зообразные полезные ископаемые как прающая тонкий пласт вило сосредоточены в тонких пластах, окруженных сверху и снизу менее проницаемыми породами. Например, толщины нефтяных пластов, залегающих на разных глубинах, имеют обычно порядок метров или десятков метров, в то время как их горизонтальная протяженность может составлять километры.
Поэтому течение вокруг работающей скважины, целиком вскрывающей тонкий однородный продуктивный пласт (рис. 13), можно приближенно рассматривать как одномерное осесимметричное (при условии, конечно, что скважина находится на большом расстоянии от других скважин и контура пласта). В случае работы скважины с постоянным погонным (на единицу толщины пласта) расходом Д распределение напора находится из уравнения Лапласа в цилиндрических координатах ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТФКП Это соотношение называется формулой Дюпюй Л.Бпрп11, 1863 для напорного притока к совершенной скважине ). Поясним название этой формулы.
Безнапорной фильтрацией называется фильтрация с образованием свободной поверхности (поверхности депрессии), в противном случае говорят о напорной фильтрации. Скважина называется совершенной, если она целиком вскрывает пласт и флюид может перетекать в скважину (из скважины) через всю ее боковую поверхность, находящуюся в пласте. Если же скважина проникает в пласт не полностью либо не вся ее боковая поверхность, находящаяся в пласте, является проницаемой, то она называется несовершенной. Несовершенство скважины обычно делает течение в непосредственной близости от нее неодномерным. Обратим внимание на то, что в приведенном решении напор (а следовательно, давление) обращается в бесконечность не только в окрестности скважины, как это было в задаче о точечном источнике, но и на бесконечности, что, однако, не мешает практическому применению решения к реальным геологическим объектам с конечными размерами.
~ 8. Применение методов теории функций комплексного переменного для решения плоских фильтрационных задач Во многих практически важных случаях фильтрационные течения можно приближенно рассматривать как плоскопараллельные, что дает возможность перейти от трехмерной задачи к двумерной и позволяет, как и в случае плоских течений идеальной несжимаемой жидкости, эффективно использовать аппарат теории функций комплексного переменного. Типичный пример таких явлений -- движение жидкости в поперечных сечениях протяженных об ьектов: фильтрация под плотинами гидроэлектростанций и другими гидротехническими сооружениями (рис. 1), просачивание жидкости через земляные плотины (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
