Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Итак, в стационарном случае уравнения (10.3) и (10.4) принимают вид йч.Е = О, го$ Е = О, откуда следует существование потенциала у напряженности элек- трического поля, удовлетворяющего уравнению Лапласа: .Е = — дгас1 ~р, ~ыр = О, (и п~ = [-д' т~ ~= 4тр„„, ~е,1 = [ Ч =О, где р„о, — поверхностная плотность электрического заряда на границе [14]. Эти равенства означают, что нормальная составляющая вектора ~ непрерывна на разрыве, а касательные составляющие относятся как проводимости сред по разные стороны от разрыва ), что полностью аналогично условиям на границе двух пористых сред, обсуждавшимся на стр. 36 (проводимости ст играют роль коэффициентов фильтрации С). 1) Отметим, что на границе двух различных проводников при ~„ф О в общем случае образуется ненулевой поверхностный заряд с абсолютной величиной [р„, [ = [[я/а~~„[/(4г).
а закон Ома принимает вид ~ = — сг дгас1 р. Эти соотношения полностью аналогичны уравнениям теории фильтрации, причем потенциал у играет роль напора Н, а плотность тока ~ — роль скорости фильтрации и. Обсудим теперь условия для вектора Е на границе двух сред с различными характеристиками. В рассматриваемом стационарном случае закон сохранения заряда дает (в отсутствие поверхностных токов) условие на разрыве [~ . п,~ = О, а из интегральной формулировки уравнений Максвелла получаются соотношения АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Рис.
24. В частном случае непроводящей границы ) получается условие ~„ = О, аналогичное условию непротекания на непроницаемой границе, а в случае границы с очень хорошо проводящим материалом ) его поверхность можно считать эквипотенциальной, т.к. в нем проводимость настолько велика (по сравнению с проводимостью рассматриваемой среды), что для создания в хорошем проводнике тока (конечной величины) достаточно крайне малого перепада потенциала, который по сравнению с перепадом потенциала в основной среде можно считать нулевым.
Это доказывается с помощью общего соотношения г1/1да1 = с2/~~о2, где а1, а2 — углы между нормалью к границе и векторами ~ (ср. рис. 10 на стр. 36), из которого при о1/о2 — + ос получается о2 — ~ 0 и, следовательно, ~2 — — — г2В~ — + О,т.е.постоянство потенциала а~, вдоль границы раздела.
Обсуждавшиеся только что границы — непроницаемая и эквипотенциальная являются единственными типами границ, встречающихся при напорной фильтрации под гидротехнически- ми сооружениями, поэтому эти задачи можно изучать с помощью метода ЭГДА. Для этого (в случае плоской задачи) берется проводник в форме сечения пласта (из металла, проводящей бумаги) ), у которого границы, соответствующие непроницаемым стенкам, примыкают к изолирующей среде (например, находятся в воздухе), а эквипотенциальные границы контактируют с электродами из хорошо проводящего материала (рис. 24). При подключении электродов к батарее в проводнике возникает стационарный электрический ток, а значение потенциала в любой точке измеряется вольтметром.
1) Скажем, граница воды с пластмассовой водонепроницаемой стенкой. 2) Например, граница речной воды и стальной стенки (проводимость последней на девять порядков больше). з) Или слой жидкого электролита (воды, раствора соли) в ванне, имеющий в плане такую же форму. Глава Ш. Фильтрационные течения с учетом сжимаемости флюида и пористой среды ~ 11. Изотермическая фильтрация газа в недеформируемой пористой среде При фильтрации газа в промысловых Уравнение Лейбензона условиях становятся существенными эффекты, связанные с сжимаемостью флюида. В первом приближении можно пренебречь сжимаемостью пористого скелета по сравнению с сжимаемостью газа ), считая пористость и проница- 1 емость известными функциями только от пространственных координат: т = т(х,д,~), Й = Ых,д,Ц, а движение газа (в отсутствие дополнительных источников теп- ловой энергии) считать изотпермическим: Т(х, у, в, 1) = То — — сопй.
В этом случае замкнутая система уравнений состоит из уравнения неразрывности и закона Дарси ) йр т + йч(ри) = О, и = — — игас1р, д1 Р к которым добавляются известные уравнения состояния для газа: р = р(Р,То) = р(Р),,и = Р(Р,То) = Р(Р). Из этих уравнений можно получить одно уравнение относительно давления. Действительно, подставляя закон Дарси в уравнение неразрывности и для простоты полагая пористость и проницаемость постоянными величинами, получим уравнение т =ЫЫ Ар(р) Ф . Р(р) др д~ р(р) 1) Обычно упругие модули материала скелета (например, модуль Юнга Е) на много порядков больше давления газа, поэтому относительное изменение удельного объема газа Я'/Ъ' ор/Р много больше относительных деформаций материала скелета е, ор/Е, вызванных изменениями давления газа.
2) Действием массовых сил при фильтрации газа можно пренебречь. ТЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ ~Гл. П? условие —" = О, на границе со свободным газом (например, при выходе в атмосферу газа из пласта) ставится условие постоянства давления р = сопз$. При выходе газа в ствол скважины, которая моделируется отрезком прямой, могут задаваться интегральные характеристики, например объемный расход газа, выражаемый поверхностным интегралом от Еще одним примером границы являетр 2 ся тонкая низкопроницаемая прослойка между двумя высокопроницаемыми пластами.
ОбР1; щее условие постоянства массового расхода ~р(р) к/,и(р) з" 1 = 0 в силу непрерывности давления на разрыве приводит к соотноше- П др нию [к — ~ = О. Если проницаемость промежуточного пласта Йв много меньше проницаемостей й1 и й2 соседних пластов, то прослойка будет играть роль сопротивления, при фильтрации через которое образуется большой перепад давления (рис. 25). Пользуясь малой толщиной 6 прослойки, можно 11риближенно заменить поперечный градиент давления ф конечной разностью (р2 — р1)/6, где р1 и р2 — (неизвестные) давления газа с обеих сторон от прослойки, и записать два условия Ор Р2 — Р1 Ор Р2 — Р1 Отсюда, в частности, получается условие при истечении газа через граничную малопроницаемую прослойку в атмосферу с постоянным заданным давлением р2.
~ОР2 = сопМ. 116 В качестве примера использования уравАвтомодельная задача пения Лейбензона рассмотрим одномеро закачке газа в пласт ную задачу о закачке газа в полубесконечный пласт (Г.И.Баренблатт, 1952). Г?редположим, что в начальный момент давление газа в пласте пренебрежимо мало: р(х, 0) = О, а во входном сечении пласта х = 0 давление поднимается по линейному закону: р(0, 1) = сИ, о = сопМ (рис. 26 а). После начала закачки по пласту будет распространяться волна ~1Ц ИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА повышения давления, описываемая уравнением р', = К(р )", К = = сопв$, 2тр (11.2) причем на бесконечности возмущение давления должно стремиться к нулю: р(х, ~) — ~ О при х — ~ оо.
Общий вид зависимости давления от времени и координаты устанавливается с помощью т-теоремы и имеет вид р = р(х,~,К,о) = сИ ~Я), ~~/Хо после чего нахождение решения (11.2) с учетом начальных и гра- ничных условий сводится к краевой задаче Оа Ыз 0~2 Ы1 Рис. 26. Можно заметить, что дифференциальное уравнение относительно ~® имеет решение вида ~® = А+В~, где А = 2В, причем из граничного условия при ~ = О, соответствующего входу в пласт, получается А = 1, В = ~/,,2. Решение, соответствующее зна- 1 ку плюс, стремится к бесконечности и не удовлетворяет второму граничному условию при ~ — ~ со, а решение, отвечающее знаку минус, обращается в ноль при ~ = ~/2 и может быть продолжено за эту точку тождественным нулем (рис. 26 6).
При этом будут выполнены условие на бесконечности и, как в этом можно убедиться, соотношения (6.3) (с нулевыми источниковыми членами в правых частях) на слабом разрыве, соответствующем с = ~/2. Таким образом, решение задачи имеет вид о1 — И'о7 2К)х при х < Ы2Ко, О при х ) ~~/2Кс~, р(х,~) = ТЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ ~Гл. Ш причем передний фронт возмущения распространяется с ко- ненной скоростью .О = /2Ко = >/ай,>(юр>. Квнественный вид зависимости р(х) для трех моментов времени 11 ( 12 ( 1з показан на рис. 26 в.
~ 12. Фильтрация с учетом слабой сжимаемости жидкости и пористого скелета В отличие от газов, которые могут в Упругий режим филь- разы менять свой объем, капельные трации жидкости (вода, нефть) являются слабослсимаемыми веществами, у которых в промысловых условиях относительное изменение обьема составляет доли процента. Поэтому, во-первых, при изучении эффектов сжимаемости на фильтрацию жидкостей нужно одновременно учитывать и сжимаемость пористого скелета и, во-вторых, учет этих изменений можно проводить в линейном приближении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
