Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Неизотермическая фильтрация газа в недеформируемой пористой среде При неизотермической фильтрации газа становятся важными эффекты, связанные с отличием его термодинамических свойств от свойств совершенного газа. Поэтому, прежде чем перейти к фильтрационным уравнениям, напомним общие соотношения для сред с произвольными уравнениями состояния. Первый и второй законы термодинамиу "а ки постулируют для равновесных обратимьсх процессов существование двух функций состояния — — массовых плотностей внутренней энергии Г и энтпропии 'э', для которых в случае двухпараметрического газа выполняется дифференциальное соотношение я~=таз= т+ри, 1 Р (13.1) где Щ -- массовая плотность притока тепла ), Т -- абсолютная тем- пература.
Из равенства (13.1), записанного в виде а~= т+1а = — ат+ — л +ри = = таз = т — л + — ат = т — Ф+ — ат 1) Для газа модуль упругости Кр — — ро, т.к. изотермическое уравнение состояния р = ро р/ро можно записать в виде р = ро(1+ (р — ро)/ро). 2) Приток тепла — дифференциальная форма 6Я = 11(р,1') Ир + + ~2(р, 1") Л', в общем случае не являющаяся, в отличие от ИЯ и ИГ, полным дифференциалом, что подчеркивается символом «д» в обозначении. являющееся частным видом уравнения пьезопроводности в случае недеформируемого скелета (К,„— ~ оо) ). Далее„при стремлении сжимаемостей флюида и скелета к нулю (К'р — ~ оо, К вЂ” ~ оо) коэффициент пьезопроводности ж обращается в бесконечность, и уравнение пьезопроводности переходит в уравнение Лапласа р р = О, описывающее фильтрацию несжимаемой жидкости в недеформируемой среде.
ТЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ ~Гл. Ш легко получаются выражения для удельных теплоемкостей при постоянном объеме с„= с,(Ъ;Т) и при постоянном давлении ср = ср(Ъ; Т): (13.2) с„= — = — + — +р — = Т В некоторых случаях удобно пользоваться не внутренней энергией Г, а другими функциями состояния: свободной энергией (энергией Гельмгольца) Е = à — Т,э, энтальпйей (теплосодерзсанием) Н = Н + рГ ) и потенциалом Гиббса Ф = à — ТБ + рЪ', для которых из (13.1) получаются дифференциальные соотношения т = — рЛ~ — Ядт, с1Н = ТаИ+ Ь'Ф, И = — Идт+ Ь'Ф.
(13.3) Эти равенства, между прочим, обьясняют происхождение названий Е и Н: в изотермическом процессе изменение г' равно (с точностью до знака) работе системы над внешними телами, т.е. выделению энергии в той форме, которой с практической точки зрения можно «свободно» распоряжаться ), а в изобарическом процессе изменение энтальпии, получившей название от греческого еиОаЛкм «нагреваю», равно теплоте, подведенной к системе ). В силу того, что правые части равенств в (13.3) являются полными дифференциалами, для перекрестных производных от коэффициентов в этих дифференциальных формах выполняются тождества Максвелла — — — — — — — (13.4) Для задания термодинамических свойств конкретной среды достаточно указать две функции: уравнение состояния р = р(Ъ; Т) и теплоемкость при постоянном объеме с„ = с„(1;Т) — как говорят, термическое и калорическое уравнения состояния ).
По этим данным все 1) В этом параграфе не используется пьезометрический напор, обозначаемый в остальном тексте тем же символом Н. 2) Отметим, что другая форма обмена энергией с внешними телами за счет теплообмена -- в изотермическом процессе в общем случае также присутствует. з) Поэтому энтальпию удобно использовать для расчета теплового эффекта химических реакций, происходящих при постоянном давлении.
4) Возможны и другие способы задания термодинамических свойств среды, например указание одной функции Г(э, Ъ'). 78 8 13~ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА ~ = ~о+ — сЛ'+ — Йт = ~о+ — сЛ~'+ —" Йт, (13.5) который можно вычислять по любому пути на плоскости (Ъ', Т). Далее с помощью (13.5) вычисляется удельная внутренняя энергия Г = Со+ ТЙЯ вЂ” р~Л' = Го+ Т~ — ) — р сЛ'+ с„йт, (13.6) /др~ ~дт) зная которую легко определить теплоемкость при постоянном давле- нии ср из второго равенства (13.2) ): ср — — — — — + р — — . (13.7) Отметим, что из (13.6) следует, что выражения для р(Ъ;Т) и с„(1; Т) нельзя задавать произвольно, т.к между ними имеется связь — — т —" — р (13.8) Далее нам понадобится еще дифференциальное равенство для энтальпии, которое получается из ан = таи+ ъ ар = т — ~р+ — ат + ы ар дт р с помощью второго равенства в (13.2) и последнего равенства в (13.4): /дЮ ср 6Н = Т вЂ” ~ — ) др+ —" дт + Ъ'др = ср(йт — байр), (13.9) ~,дт) Т где введен коэффициент Дэкоуля — Томсона т — -~ т д" д" +~ (13.10) ср ср 1) С использованием равенства = — ~ ~ ~, которое справедливо для любой функциональной зависимости ~(р, 1~", Т) = 0 и в более симметричной форме имеет вид ~ — ) ~ — ) ~ — ) = — 1.
~дт)Яд )„~др) остальные термодинамические функции вычисляются с точностью до соответствующих постоянных. Например, энтропия, с учетом (13.2) и первого равенства в (13.4), находится с помощью криволинейного интеграла ТЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ ~Гл. Ш Физический смысл коэффициента Джоуля — Томсона 1 определяется тем, что он характеризует изменение температуры газа в процессе с постпоянной энтальпией ): если 1 ) О, то при изоэнтальпическом понижении давления газ охлаждается: дТ =,У ар < 0; в противном случае (,У < О) происходит нагревание газа.
Отличие коэффициента Джоуля— Томсона от нуля связано с межмолекулярным взаимодействием и, как следствие, с тпермодинамическим несовершенстпвом газа; для совершенного газа, для которого с„= сопвФ, рЪ' = ЛТ, Л = ср — с„= сопвФ, как легко убедиться с помощью (13.10), 1 = О. В качестве простейшего примера несовершенного газа рассмотрим газ Ван-дер-Ваальса с постоянной теплоемкостью при постоянном обьеме ): р(Ъ; Т) —, с„(Ъ; Т) — сопв$, ЛТ а где а, 6, Л вЂ” некоторые положительные константы ), для которого, заметим, выполняется (13.8). В этом случае формулы (13.5) и (13.6) дают Я(Г, Т) — Яо = В 1п + с. 1п Ъ' — 6 Т 1'о — 6 То Г1 11 Г(Г,Т) — с в = — а ~ — — — ) + с„(Т вЂ” То), 1.) откуда, с учетом (13.7) и (13.10), получается несколько громоздкое вы- ражение (ТВЬ вЂ” 2а) Ъ'з + 4аЬЪ'2 — 2а62Ъ' Л(с„+ В)ТЪ" — 2с„аЪ"2 + 4с,,аЬЪ' — 2с„а62 ' которое с точностью до членов, линейных по е1 = Ь/1' « 1 и е2 = 1) Таким процессом, например, приближенно является медленное стационарное течение газа, когда в интеграле Бернулли и /2+ О = сопв$ 2 можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым.
2) Обратим внимание, что для такого газа теплоемкость при постоянном давлении с, в отличие от совершенного газа с постоянной тепло- емкостью с„, уже не будет постоянной. з) Например, при оценках для воздуха в окрестности нормальных условий можно принять а = 1,6 10 м /(кг . с ), 6 = 1,3 . 10 в мз/кг, В = 2,9 . 10 Дж/(кг К), с„= 7,6 10 Дж/(кг К). 80 3 13~ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА = а/(КТУ) (( 1 ), дает 2а/(КТ) — о с„+ В Анализ уравнения ланса энергии рт — + — (р,с/,(1 — т))+ри 8тас1 Н = рГ и — йчо, дН д(рт) д дс дс дс (13.12) которое при постоянной пористости и в пренебрежении массовыми силами приводится, с учетом термодинамического соотношения для полных производных вдоль (макроскопического) движения материальных частиц МН ИТ др и' д и' =ср — —,У вЂ”, — = — + —.7,, с1с " сИ сИ сй д1 т к виду дТ др (ртср+Х) — — т(1+рсрЛ) — = рср'и.(3дтас1 р — уас1 Т) — с11ч д, „, (13.13) где предполагается, что для скелета выполнено соотношение р,с/,(1 — т) = М'Т, М = сопя|.
Если, в частности, газ в пористой среде покоится (и = 0 и, следовательно, р = сопз$), то в случае справедливости закона Фурье (5.7) уравнение (13.13) при ж,ф = сопв$ превращается в обычное уравнение теплопроводности дТ (ртср+ М ) = ж,фс'Т. дс ) При р = 10 атм, Т = 300 К для воздуха к1, г2 10 2. Для оценок приведем значения коэффициента Джоуля — Томсона, которые дает (13.11) при этих условиях: воздух 0,23 К/атм, метан 0,39 К/атм; для водорода,У = — 0,026 К/атм ( О.
81 При изучении фильтрационных проа цессов в уравнении энергии (5.8) (см. стр. 31) удобно вместо внутренней энергии Г использовать энтальпию Н = Г+р/р. Делая соответствующую замену и используя уравнение неразрывности (3.1), получим уравнение ТЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ ~Гл.
Ш Для стационарной фильтрации (13.13) превращается в урав- нение (13.14) рсри игаса Т = рсрЛи игас1р+ ж„~,ЬТ. (и) (т) Чсум = Чсум + Чсум~ где и единичный вектор в направлении скорости фильтрации, то оценка отношения членов, соответствующих названным меха- низмам переноса энергии, дает, с учетом закона Дарси, с11~(Чсумп) оТ ~ ор оТ ~эфР ~,ф 2,~ср— рсри дгас1Т Л2 "р 1, 1, рсрИоср' где Л --- характерный продольный размер задачи, так что при типичных параметрах ж ф 1 Вт/(м К), и 10 в Па с, р 10 кг/мз, ср 10 Дж/(кг К)., й 10 ~~ м, ор 10 атм это отношение имеет порядок 10 2 « 1 и последний член в (13.14) можно записывать с учетом только поперечного теплообмена в (7) виде Жч дсум. Если теплопроводностью можно полностью пренебречь, то из (13.12) следует постоянство энтальпии Н вдоль линий тока при стационарной фильтрации ): и дгас1Н = О.
Обратим внимание, что несмотря на то, что в этом приближении рассматриваемый (необратимый) процесс является адиабатическим (объемные и поверхностные притоки тепла отсутствуют), он не является изоэнтропическим, т.к. энтропия газа возрастает ") В частном случае совершенного газа (Н = с„Т, ср — — сопвФ) это дает постоянство температуры вдоль линий тока. 82 Для условий, характерных для движения природного газа в подземных пластах, передача тепла вдоль течения за счет теплопроводности существенно меньше, чем за счет конвекции. В самом деле, если разложить вектор потока тепла на две составляющие вдоль и поперек гютока газа: ~ 13~ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА за счет действия вязких сил ), уравновешивающих отрицатель- ный градиент давления вдоль линий тока: ~Я = — ~~ — 1 ар) = — > О. ~'~р Т Т В качестве примера неизотермическоПроцесс Джоуля — Томго фильтрационного процесса рассмотсона рим одномерное стационарное движение несовершенного газа в пористом образце длиной А, заключенном в цилиндрический канал.
Пусть с одной стороны от пористой среды находится газ с посто- 1 янными заданными давлением р1 и РЬ~1: .. ': ': Р2: 2 температурой Т1 ), который фильтруется через пористую среду в область с постоянным заданным давлением р2 ( р1 (рис. 30). Постоянная температура газа Т~ на выходе из образца заранее неизвестна и находится из решения задачи. Пренебрегая теплопроводностью, можно записать систему уравнений, состоящую из уравнения неразрывности, закона Дарси и уравнения энергии: (ри)' = О, р' = — — и, рсри(Т' — Зр') = О, (13.15) к которой добавляются (известные) определяющие соотношения ,и = р,(р, Т), р = р(р, Т), 1 = 1(р, Т), ср — — ср(р, Т) и граничные условия р(0) = р1, Т(0) = Т1, р(А) = р2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
