Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вывод дифференциальных уравнений фильтрации с помощью осреднения микроскопических уравнений Как уже говорилось, уравнения теории фильтрации могут быть получены осреднением уравнений, описывающих внутрипоровое движение жидкости на микроуровне. Эта процедура проводится следующим образом. Предположим, что мы хотим осредОсреднение параметров „нить некоторую физическую величижидкости в пористой ну А(х~, ~), определенную в жидкости среде (скажем, давление). Поскольку в тех областях, где жидкость отсутствует (в пористом скелете), величина А, вообще говоря, не определена, доопределим ее в этих областях нулевым значением, и вычислим в некоторый момент времени среднее значение А по сфере Ъ' некоторого фиксированного радиуса с центром в точке (хо, до, ~о) (рис. 7): где )Ц объем сферы ).
Так полученное среднее значение (А) является непрерывной и почти всюду дифференцируемой функ- 1) Уточним, что в движение приходит пристеночный слой жидкости; в центральной части капилляра при любых, даже очень больших градиентах некоторая часть жидкости движется как твердое тело. 2) Вместо сферы можно взять объем какой-либо другой формы, например эллипсоид или параллелепипед с заданной фиксированной ориентацией относительно осей координат. ~ 5) ОСРЕДНЕНИЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ цией координат центра объема и времени: (А) = (А) (хо,до,~о,1-), причем (А) будет уже определена везде в рассматриваемой области, даже если точка (хо, до, ~о) попадает внутрь пористого скелета ).
В дальнейшем для упрощения обозначений индекс «О» при записи производных будет опускаться. Операция осреднения, очевидно, линейна: Свойства операции осреднения (сА) = с(А), (А+ В) = (А)+ (В), с = сонями, а среднее значение единичной функции (доопре- Д деленной нулем внутри пористого скелета) равно средней пористости той части среды, которая попадает внутрь объема Г: (1) = т. В случае недеформируемого неподвиэкного пористого скелета, которым мы для простоты ограничимся, при вычислении среднего от производных справедливы равенства ж-с ж-пов ХО .ь О+~У Рис.
7. дА д(А) дА д(А) 1 ( ) ") Обратим внимание, что исходная величина А зависит не от х~, а от х'. где Е, граница жидкости и скелета, попадающая внутрь Г, и = (и; и„; и,) — вектор внешней нормали к заштрихованному на рис. 7 объему Ъ' жидкости, находящейся внутри сферы. Доказательство первой формулы очевидно, для доказательства второй формулы нужно заметить, что при малом смещении объема Ъ' вдоль, например, оси х на расстояние Ьх (рис. 7) среднее значение А меняется в основном за счет того, что к объему добавляется или из него ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ (Гл.
1 исключается тонкий слой жидкости, расположенный вдоль Е границы жидкости и поверхности сферы: д (А) . (А) (хо + Ьх, уо, ~о) — (А) (то, до, ~о) 1 1пп — пх дх ьх- о Ьж М -. вж-поп Остается представить полученный интеграл по одной части границы объема Ъ' как разность интегралов по всей границе и по Е, по оставшейся части, и к первому интегралу применить теорему Гаусса— Остроградского: д (А) 1 дА 1 1 дА 1 / тЛ1 — ~ Ап дсг = ~ тЛ' — ~ Ап да. откуда с учетом условия прилипания получаем выражение закона сохранения массы в терминах средних параметров: ~;, (и') = ттн~ (о) = О.
(5.2) Величина, стоящая под знаком дивергенции, есть не что иное, как скорость фильтрации: (тт) = и, так что (5.2) совпадает с (3.2). Для осреднения удобно взять уравнеОсреднение микроскопиние движения в дивергентном виде ческого уравнения дви- д г р ( + 7а (о ш т) = '7~р' -(- рГ', жения в котором р' -- компоненты тензора напряжений, г' — — компоненты вектора массовой плотности внешних объемных сил.
Применяя (5.1) и учитывая условие прилипания,получим Теперь с помощью (5.1) несложно получить осредненные уравнения фильтрации. Проделаем это для случая однородной несжимаемой ньютоновской жидкости. Осреднение уравнения неразрывности Осреднение микроскотттч и = О производится очень просто: пического уравнения неразрывности (Ч;ю') = 7, (о') + — ~ ю'и, Цтт = Р, 1 МЕ ~ 5) ОСРЕДНЕНИЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ где сила Г,, вид которой будет обсуждаться чуть позже, представляет собой полную силу (в расчете на единицу объема), действующую со стороны скелета на жидкость внутри объема Ъ', т.е.
включает в себя как результат действия вязких касательных напряжений, так и результат суммирования нормальных напряжений на границе жидкости и скелета. Первое слагаемое в правой части, снова с учетом условия прилипания, принимает вид Ч~(р'~) =Ч~( — рд''~ + р (77'О~г + С~~О')) = 77г( ) + 77 ~~где-) + 77 777г( г) где зачеркнутый член пропадает вследствие (5.2), что в результате дает д( г) р ( ) +Ъ(о'о') = — ч'(Р)+рл(~')+р(Г)+Г,' . (5.3) Уравнение (5.3) является точным, и дальнейшее его упрощение связанно с дополнительными гипотезами и оценкой входящих в него членов. При малых скоростях течения порядок Упрощение уравнения силы Е, (в однородной среде) в мождвижения при малых но оценить, моделируя пористую среду скоростях системой капилляров с характерным поперечным размером д или решеткой из частиц с характерным диаметром И, что дает в обоих случаях оценку ,ии с-ж Оценки порядков других членов (5.3), содержащих скорость, дают ) ( ) гг2 7 -г' с-ж от 2 — (( 1) Мы пользуемся тем, что производная ~~а имеет порядок оА/Ь, где оА и Л -- характерные масштабы диапазонов изменения соответственно величины А и независимой переменной х.
27 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ 1Гл. 1 где т -- характерное время процесса. Подставив в первую оценку типичные значения определяющих параметров (р 1 г/смз, д 10 ~ см, и 10 2 г/(см с)), получим, что отношение нестационарного члена к Г, имеет порядок т„/т, т„= 10 4 с, т.е. нестационарный член нужно учитывать только в высокочастотных процессах. В результате, с учетом равенств (р) = тр, (Г) = тГ, где в правых частях (без символов осреднения) стоят средние значения р и Г по лсидкой фазе внутри объема 1' ), получается уравнение движения для медленных течений 0 = — дгас1(тр) + трГ + Г„. В общем случае неоднородной пористой среды (при переменной пористости т(х')) сила Г, не сводится только к силе трения, связанной с действием вязкости.
Например, в отсутствие течения и массовых сил (и = О, Г = 0) сила межфазного взаимодействия Г, = рдгас1 т ~ 0 ). Удобно выделить в явном виде силу сопротивления (в расчете на единицу объема лсидкости), связанную прямо или косвенно с действием вязких сил и обращающуюся в ноль при и = О, и переписать уравнение движения в виде 1 0 = — дгас1р+ рГ+ Г„„,р, Г, „р — — — (Г, — рдгас1т). (5.4) т Отметим, что если жидкость внутри пор покоится, то Г„р —— 0 даже при отличных от нуля массовых силах, хотя, скажем, при наличии тяжести на отдельное зерно пористой среды со стороны жидкости будет действовать ненулевая выталкивающая сила Архимеда.
Это связано с тем, что сила Г, вычисляется для объема Г, размеры которого 1, в соответствии с (1.1), много больше размера пор д, так что сила со стороны жидкости на зерна, целиком находящиеся внутри 1' (рис. 7), 1) Обратим внимание, что среднее значение давления по высидкой фазе это как раз та величина, которую покажет манометр, помещенный в жидкость внутри пор. 2) Происхождение этой силы несложно понять в частном случае, рассматривая воздействие на жидкость со стороны стенок сужающегося капилляра.
28 ~ 5) ОСРЕДНЕНИЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ уравновешивается силой, которая действует на зерна, пересекающие границу объема Г ). В случае постоянной пористости закон (5.4) должен совпадать с законом Дарси, поэтому сила сопротивления 1 .г'„„р — — — г', = — — и, т й Подчеркнем, что даже в случае постоянной пористости и при малых скоростях течения Г„„р является, в общем случае, суммой не только касательных, но и нормальных напряжений ).
При выводе уравнения баланса энерОсреднение микроскопигии кроме операции ( ) осреднения веческого уравнения энерличин, относящихся к жидкости, нам гии потребуется операция ( ), осреднения величин, определенных внутри скелета. Она определяется таким же образом: с той лишь разницей,что теперь величина А определена внутри скелета и доопределяется нулем внутри жидкости. Для осреднения по скелету выполняются равенства, аналогичные (5.1): дА д(А), дА д(А), 1 ~ж-с знак минус перед интегралом связан с выбором направления нормали (теперь она направлена внутрь среды, по которой производится осреднение). Осреднение уравнения энергии для жидкости — Р ~1+ — + %~, Ри~ У+в = Ргали + 7й(Р иг') ЪсЧ + РВ 1) Разумеется, это может быть неверно, если размеры объема Ъ' соизмеримы с размером зерен д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
