Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Внутренняя задача Дирихле для уравненияЛапласаРешить задачу Дирихле для уравнения Лапласа внутри шара радиуса R.Математически это означает задачу:Найти ограниченную функцию u(r, θ, ϕ) из условий11sinθu+ r2 sin ∆u ≡ r12 (r2 ur )r + r2 sin2 θ uϕϕ = 0,θθθ|u(0, θ, ϕ)| < ∞,u(R, θ, ϕ) = f (θ, ϕ).0 6 r < R, 0 < θ < π 0 < ϕ < 2π;(2.9.1)Шаг 1.

Решение уравнения Лапласа в шареУравнения Лапласа в шаре мы уже решили в разделе 2.2 и получили формулуu(r, θ, ϕ) =∞XXn (r)nXYmn (θ, ϕ) =m=0n=0=∞Xn=0rnnXPnm (cos θ) (Amn cos (mϕ) + Bmn sin (mϕ)) . (2.2.18)m=0Шаг 2. Использование краевого условияВ нашей задаче добавилось краевое условиеu(R, θ, ϕ) = f (θ, ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Amn и Bmn в формуле (2.2.18). По теореме 2.1.7, стр. 185,f (θ, ϕ) разлагается в следующий ряд Фурье#"k∞XXαk0Pk (cos θ) +Pkm (cos θ) (αkm cos(mϕ) + βkm sin(mϕ)) ,(2.6.16)f (θ, ϕ) =2m=1k=0αkm2k + 1 (k − m)!=·2π(k + m)!βkm =2k + 1 (k − m)!·2π(k + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)00Z2πZπdϕ sin(mϕ)0f (θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.6.18)f (θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.6.18)0При этом ряд (2.6.16) сходится к f (θ, ϕ) абсолютноθ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].Приравняем ряд (2.2.18), взятый при r = R, к ряду (2.6.16):u(R, θ, ϕ) =∞XRn=0=nnXравномернонаPnm (cos θ) (Amn cos (mϕ) + Bmn sin (mϕ)) =m=0"∞Xn=0и#nXαn0Pn (cos θ) +Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) = f (θ, ϕ)2m=1-214-2.10.

№ 793 Б). ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСАПолучаем при m = 0=1=0z }| {z }| {αn0Rn Pn (cos θ) A0n cos (0) + B0n sin (0) =Pn (cos θ),2откудаαn0,2RnA0n =B0n − произвольно,n = 0, ∞.(2.9.2)Аналогично, при m ∈ NRn Pnm (cos θ) (Amn cos (mϕ) + Bmn sin (mϕ)) = Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) ,откуда, в силу линейной независимости функций sin (mϕ) и cos (mϕ),Amn =αnm,RnBmn =βnm,Rnn = 0, ∞,m ∈ N.(2.9.3)Ответ:#"∞ nXXr n αn0u(r, θ, ϕ) =Pn (cos θ) +Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) , (2.9.4)R2n=0m=1где Pn (x) – полиномы Лежандра (2.1.2), а коэффициенты αnm и βnm определяются из формулαnm2n + 1 (n − m)!·=2π(n + m)!βnm =2n + 1 (n − m)!·2π(n + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)00Z2πZπdϕ sin(mϕ)0f (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θdθ,(2.6.18)f (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θdθ,(2.1.21)02.10.

№ 793 б). Внешняя задача Дирихле для уравненияЛапласаРешить задачу Дирихле для уравнения Лапласа вне шара радиуса R.Математически это означает задачу:Найти ограниченную функцию u(r, θ, ϕ) из условий11sinθu+ r2 sin ∆u ≡ r12 (r2 ur )r + r2 sin2 θ uϕϕ = 0,θθR < r < ∞, 0 < θ < π 0 < ϕ < 2π;θ|u(∞, θ, ϕ)| < ∞,u(R, θ, ϕ) = f (θ, ϕ).(2.10.1)Шаг 1. Решение уравнения Лапласа в шареУравнения Лапласа в шаре мы уже решили в разделе 2.2 и получили формулуu(r, θ, ϕ) =∞Xn=0Xn (r)nXYmn (θ, ϕ) =m=0∞nX1 X m=P (cos θ) (Amn cos (mϕ) + Bmn sin (mϕ)) . (2.2.19)rn+1 m=0 nn=0c Д.С.

Ткаченко-215-Задачи Дирихле для уравнения ЛапласаШаг 2. Использование краевого условияВ нашей задаче добавилось краевое условиеu(R, θ, ϕ) = f (θ, ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Amn и Bmn в формуле (2.2.18). По теореме 2.1.7, стр. 185,f (θ, ϕ) разлагается в следующий ряд Фурье"#∞kXXαk0f (θ, ϕ) =Pk (cos θ) +Pkm (cos θ) (αkm cos(mϕ) + βkm sin(mϕ)) ,(2.6.16)2m=1k=0αkm2k + 1 (k − m)!=·2π(k + m)!βkm =2k + 1 (k − m)!·2π(k + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)00Z2πZπdϕ sin(mϕ)0f (θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.6.18)f (θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.1.21)0При этом ряд (2.6.16) сходится к f (θ, ϕ) абсолютноθ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].Приравняем ряд (2.2.18), взятый при r = R, к ряду (2.6.16):∞X1иравномернонаnXPnm (cos θ) (Amn cos (mϕ) + Bmn sin (mϕ)) =n+1Rn=0#"m=0∞nX αn0X=Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) = f (θ, ϕ)Pn (cos θ) +2n=0m=1u(R, θ, ϕ) =Получаем при m = 0=0=1}|{z}|{z1αn0Pn (cos θ) A0n cos (0) + B0n sin (0) =Pn (cos θ),n+1R2откудаA0n =αn0 n+1R ,2B0n − произвольно,n = 0, ∞.(2.10.2)Аналогично, при m ∈ N1Pnm (cos θ) (Amn cos (mϕ) + Bmn sin (mϕ)) = Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) ,n+1Rоткуда, в силу линейной независимости функций sin (mϕ) и cos (mϕ),Amn = αnm Rn+1 ,Bmn = βnm Rn+1 ,n = 0, ∞,m ∈ N.(2.10.3)Ответ:u(r, θ, ϕ)="#∞ n+1nXXRαn0Pn (cos θ) +Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) ,r2n=0m=1(2.10.4)где Pn (x) – полиномы Лежандра (2.1.2), а коэффициенты αnm и βnm определяются из формулαnm2n + 1 (n − m)!·=2π(n + m)!βnm =2n + 1 (n − m)!·2π(n + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)0Z2π0Zπdϕ sin(mϕ)00-216-f (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θdθ,(2.6.18)f (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θdθ,(2.1.21)2.11.

№ 792 А).2.11. № 792 а).Концентрация некоторого газа на границе сферического сосуда радиуса R с центром в начале координат равна f (θ). Определить стационарное распределениеконцентрации данного газа внутри этого сосуда.Математически это означает частный случай внутренней задачи Дирихле (2.9.1):Найти ограниченную функцию u(r, θ) из условий1sinθu= 0,0 6 r < R, 0 < θ < π; ∆u ≡ r12 (r2 ur )r + r2 sinθθθ(2.11.1)|u(0, θ)| < ∞,u(R, θ) = f (θ).Поскольку в номере № 793 а) мы решили более общую задачу (2.9.1), стр.

214, воспользуемсяеё результатом:#"n∞ XXr n αn0Pn (cos θ) +Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) , (2.9.4)u(r, θ, ϕ) =R2m=1n=0где Pn (x) – полиномы Лежандра (2.1.2), а коэффициенты αnm и βnm определяются из формулαnm2n + 1 (n − m)!=·2π(n + m)!βnm =2n + 1 (n − m)!·2π(n + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)00Z2πZπdϕ sin(mϕ)0f (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θdθ,(2.6.18)f (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θdθ,(2.1.21)0По теореме 2.1.4, стр. 184, функцию f (θ) можно представить следующим рядом Фурье пополиномам Лежандра:Zπ∞X2k + 1f (θ)Pk (cos θ) sin θdθ,θ ∈ [0, π].(2.1.14)fk Pk (cosθ),fk =f (θ) =2k=00Поэтому из граничного условия u(R, θ) = f (θ) получаем равенство рядов"#∞ nnXXRαn0mPn (cos θ) +Pn (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) =u(R, θ, ϕ) =R2n=0m=1=∞Xfn Pn (cosθ) = f (θ),n=0которое заведомо верно, если ряды по индексу n равны почленно:nXαn0Pn (cos θ) +Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) = fn Pn (cosθ).2m=1Эти же равенства, в свою очередь, выполняются, еслиαn0= fn ,а при m > 0 все αnm = βnm = 0.2Ответ:Zπ∞ Xr n2n + 1u(r, θ) =fn Pn (cos θ),fn =f (θ)Pn (cos θ) sin θdθ,R2n=00где Pn (x) – полиномы Лежандра (2.1.2).c Д.С.

Ткаченко-217-(2.11.2)Задачи Дирихле для уравнения Лапласа2.12. № 792 б).Концентрация некоторого газа на границе сферического сосуда радиуса R с центром в начале координат равна f (θ). Определить стационарное распределениеконцентрации данного газа вне этого сосуда.Математически это означает частный случай внешней задачи Дирихле (2.9.1):Найти ограниченную функцию u(r, θ) из условий112sinθu= 0,R < r < ∞, 0 < θ < π;(ru)+∆u≡θr rr2r 2 sin θθ(2.12.1)|u(0, θ)| < ∞,u(R, θ) = f (θ).Поскольку в номере № 793 б) мы решили более общую задачу (2.10.1), стр. 215, воспользуемсяеё результатом:u(r, θ, ϕ)"#∞ n+1nXXRαn0Pn (cos θ) +Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) ,r2n=0m=1(2.10.4)=где Pn (x) – полиномы Лежандра (2.1.2), а коэффициенты αnm и βnm определяются из формулαnm2n + 1 (n − m)!=·2π(n + m)!βnm =2n + 1 (n − m)!·2π(n + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)0Z2π0Zπdϕ sin(mϕ)0f (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θdθ,(2.6.18)f (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θdθ,(2.1.21)0По теореме 2.1.4, стр.

184, функцию f (θ) можно представить следующим рядом Фурье пополиномам Лежандра:f (θ) =∞Xk=0fk Pk (cosθ),2k + 1fk =2Zπθ ∈ [0, π].f (θ)Pk (cos θ) sin θdθ,(2.1.14)0Поэтому из граничного условия u(R, θ) = f (θ) получаем равенство рядов"#∞ n+1nXXRαn0u(R, θ, ϕ) =Pn (cos θ) +Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) =R2n=0m=1=∞Xfn Pn (cosθ) = f (θ),n=0которое заведомо верно, если ряды по индексу n равны почленно:nXαn0Pn (cos θ) +Pnm (cos θ) (αnm cos(mϕ) + βnm sin(mϕ)) = fn Pn (cosθ).2m=1Эти же равенства, в свою очередь, выполняются, еслиαn0= fn ,2а при m > 0 все αnm = βnm = 0.-218-2.13.

№ 790 А)Ответ:u(r, θ) =∞ n+1XRn=0rfn Pn (cos θ),2n + 1fn =2Zπf (θ)Pn (cos θ) sin θdθ,(2.12.2)0где Pn (x) – полиномы Лежандра (2.1.2).2.13. № 790 а)Построить функцию u(r, θ), гармоническую в шаре радиуса R, и удовлетворяющую краевому условию:u(R, θ) = f (θ) = 3 + 5 cos2 θ.Записав эти условия математически, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(r, θ) из условий=0z}|{1 ∆u ≡ 12 (r2 ur ) + 2 1sinθu+u= 0,θrrr sin θr 2 sin2 θ ϕϕ|u(0, θ)| < ∞,u(R, θ) = f (θ) = 3 + 5 cos2 θ.θ0 6 r < R,0 < θ < π;(2.13.1)Шаг 1. Решение в общем видеДанная задача есть частный случай задачи, решённой нами в № 792 а).

Характеристики

Список файлов лекций