Семинар 4 для К-6. Построение функции Грина методом электростатичеких изображений (1127981)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар К 6 - 4 – Функция Грина. Метод электростатических изображений1. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа№ I, II, III, IV, V, VI, VII.Рассмотрим в n-мерной области D пространства Rn с гладкой границей S = ∂D задачу Дирихле для уравнения Лапласа: TНайти функцию u(x, t) ∈ C 2 (D) C D , удовлетворяющую условиямnP∂2u ∆u ≡= 0,x ∈ D,∂x2j(1.1) j=1 u(x)= ϕ(x),x ∈ S,x∈Sгде ϕ(x) ∈ C(S) – заданная, непрерывная на S функция.Опр. 1.1. Фундаментальным (элементарным) решением уравнения Лапласа в nмерном пространстве называется функция:(E(x, ξ) =12π−ln |ξ − x|,при n = 2;1,ωn (n−2) |ξ−x|n−2при n > 3.(1.2)Опр.

1.2. Функцией Грина G(x, ξ) задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется функция G(x, ξ), x 6= ξ ∈ D, обладающая сойствами:1) Она имеет видG(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ),где E(x, ξ) – Фундаментальное решение уравнения Лапласа (определение 1.1), а функция g(x, ξ) гармонична в D как по x, так и по ξ:∆x g(x, ξ) = ∆ξ g(x, ξ) = 0,2)G(x, ξ)= 0,x∈SG(x, ξ)x, ξ ∈ D.= 0.ξ∈SУтверждение 1.1 (Свойства функции Грина).Усл.G(x, ξ) – функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в D.Утв. 1oG(x, ξ) 6 0,x 6= ξ ∈ D;o2∆x G(x, ξ) = ∆ξ G(ξ, x) = 0,x=6 ξ ∈ D;3oG(x, ξ) = G(ξ, x),x=6 ξ ∈ D.Теорема 1.1 (Представление решения задачи Дирихле при помощи функции Грина).Усл.

G(x, ξ) функция Грина задачи Дирихле (1.1).Утв. Решение задачи (1.1) можно представить в виде:Z∂G(x, ξ)u(x) =ϕ(ξ)dSξ ,(1.3)∂νξSгде ∂ν∂ ξ – производная по внешней нормали к поверхности S в точке ξ ∈ S,dSξ – элемент площади поверхности S в точке ξ.c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар К 6 - 4 – Функция Грина. Метод электростатических изображенийПример 1.1. В случае, когда D = {|x| < 1} – единичный шар в E n для задачи Дирихле (1.1)функция Грина (как мы убедились, решая № 227, см. SemK18.pdf) имеет вид:xG(x, ξ) = E(x, ξ) − E |x|ξ,,|x|а решение задачи (как мы убедились, решая № 228, см. SemK18.pdf) представляется формулойПуассона1 :Z1 − |x|21ϕ(ξ)dSξ .u(x) =ωn|ξ − x|n|ξ|=12. Метод электростатических изображений(метод отражений)2.1.

Физическая интерпретация для R3 .Как мы говорили при обсуждении фундаментального решения и Ньютонова потенциала(SemK19.pdf), в трёхмерном пространстве функцияEN (x, ξ) = −4πE(x, ξ) =1|x − ξ|(2.1)описывает потенциал поля в точке (x1 , x2 , x3 ), созданного единичным точечным зарядом,расположенным в точке (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) (или наоборот, так как переменные x и ξ взаимозаменяемы).Тогда функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа после умножения на (−4π)приобретает смысл потенциала в точке x поля, созданного единичным точечным зарядом,помещенным в точку ξ внутри заземлённой проводящей замкнутой поверхности.Фиксируем две точки: x и ξ в области D. В точку x мы поместим единичный положительный заряд, а в точке ξ будем наблюдать результирующий потенциал.Заряд в точке x индуцирует на заземлённой S некоторе распределение зарядов.Тогда потенциал электростатического поля в точке ξ ∈ D есть сумма потенциала, созданного единичным зарядом, и потенциала, созданного индуцированными на S зарядами2 :G(x, ξ) = −11·+ g(x, ξ).4π |x − ξ|При этом функция g(x, y), соответствующая потенциалу, созданному индуцированными наS зарядами, является гармонической как по x ∈ D, так и по y ∈ D.При такой интерпретации, свойство симметричности функции Грина G(x, y) = G(y, x)является математическим выражением принципа взаимности в физике: источник, помещённый в точке x производит в точке y такое же действие, какое производит в точке x такойже источник, помещённый в точке y.

Заметим, что функцию Грина называют также функцией точечного источника.Таким образом, чтобы научиться решать задачу Дирихле, надо уметь находить функциюG = E +g, а поскольку E – известная функция ((1.2),стр. 1), вся задача сводится к построению1Это ещё одна формула, носящая имя Пуассона. Для задачи Коши на прямой есть своя формула Пуассона,для задачи Дирихле в шаре – своя.2Здесь и далее мы будем заменять громоздкую конструкцию «потенциал, делённый на (−4π),» на «потенциал». Для вычислений коэффициент −14π значения не имеет.

Мы же ищем функцию Грина, а с её помошьюстроим по формуле (1.3) решение задачи Дирихле. Но если необходимо получить именно физический потенциал, надо не забывать умножать получаемые формулы на (−4π).c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар К 6 - 4 – Функция Грина. Метод электростатических изображенийфункции g(x, ξ). По опеределению функции Грина, от g требуется, чтобы∆x g(x, ξ) = ∆ξ g(x, ξ) = 0,x, ξ ∈ D;g(x, ξ)= −E(x, ξ) .x∈S(2.2)(2.3)x∈SЭти условия, фактически, представляют собой также задачу Дирихле, только уже дляфункции g. Однако, эта задача во многих случаях существенно проще исходной, так как вней граничная функция имеет очень специальный вид, а в исходной задаче она совершеннопроизвольна. Кроме того, найдя функцию Грина для задачи Дирихле в области D, мы сразупо формуле (1.3) получаем решения всех задач Дирихле в этой области.Наиболее распространённым способом построения функции Грина являеся метод отражений (электростатических изображений).

Его идея состоит в том, что функция g,представляющая собой поле индуцированных на S зарядов, строится как поле зарядов, расположенных вне области D, и таких, чтобыg(x, ξ)= −E(x, ξ) .x∈Sx∈SЕё можно найти, располагая заряды подходящей величины в точках, симметричных относительно S точкам, в которых расположены заряды внутри D.2.2. АлгоритмШаг 1)Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (1.2).Шаг 2) Помещаем в точку ξ ∈ D единичный положительный заряд. Обозначаем через ξ ∗∗точку, симметричную 3 точке ξ относительно поверхности S, и помещаем в ξ отрицательный заряд −q(ξ) .Шаг 3)Ищем решение задачи (2.2) – (2.3) в виде1∗ − 2π ln q |ξ − x|g = −E(qx, qξ ∗ ) =1ωn (n−2)q n−2 |ξ ∗ −x|n−2n = 2,(2.4)n > 2,подбирая подходящим образом заряд q.4 Так определённая функция g будет гармонической (то есть удовлетворяющей уравнению Лапласа), поскольку E – гармоническая.Поэтому находить q надо из условия (2.3).

Приэтом удобно считать,что точка x ∈ S,= −E(x, ξ) . (Поскольку в фор– тогда q находится из краевого условия g(x, ξ)x∈Sx∈Sмуле (1.3) интеграл берётся по ξ ∈ S, а функции E, g и G обладают свойством симметричности, полученная функция G = E + g будет удовлетворять определению функцииГрина.)Очень важно, найдя q(x, ξ, ξ ∗ ), воспользоваться тем, что x ∈ S и выполнить преобразования так, чтобы осталась только зависимость q(ξ).3Если поверхность имеет несколько участков, как например у куба или полушара, надо строить точки∗∗ξk∗ , симметричные точке ξ относительно каждого участка границы, затем точки ξkl, симметричные точкам∗ξk относительно каждого участкаграницы(илиегопродолжения),ит.д.Приэтомв точки ξk∗ помещаются∗∗отрицательные заряды −qk (ξ) , в точки ξkl – положительные заряды qkl (ξ), и т.д.

(См. задачи в пп. 7 – 9.4Если поверхность имеет несколько участков, то надо искать g в виде суммы слагаемых вида (2.4):XX∗∗g=−E(qx, qξk∗ ) +E(qx, qξkl) − ....kk,l.c Д.С. Ткаченко-3-УМФ – семинар К 6 - 4 – Функция Грина. Метод электростатических изображенийШаг 4) Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).

(В ответе надоизбавиться, по возможности, от выражений, зависящих от ξ ∗ , выразив координаты ξ ∗через координаты ξ. Это делается потому, что в формуле (1.3) ξ ∈ S, и ξ ∗ = ξ, а неx ∈ S, как на Шаге 3.)2.3. Алгоритм для случая n = 2.В этом пункте проведём все построения, которые возможно, в соответствии с общим алгоритмом пункта 2.2 для случая n = 2. Здесь D – произвольная область с границей S.Шаг 1) Фундаментальное решение уравнения Лапласа для случая n = 2 имеет вид:E(x, ξ) =1ln |ξ − x|.2πШаг 2) Помещаем в точку ξ ∈ D единичный положительный заряд. Обозначаем через ξ ∗∗точку, симметричную 5 точке ξ относительно поверхности S, и помещаем в ξ отрицательный заряд −q(ξ) .Шаг 3)Ищем решение задачи (2.2) – (2.3) в видеg = −E(qx, qξ ∗ ) = −1ln q |ξ ∗ − x|2π(2.5)подбирая подходящим образом заряд q.6 Найдём q из условия (2.3), считая, что точкаx ∈ S:= −E(x, ξ)g(x, ξ)|{z x∈S}| {z x∈S}||||1−∗Отсюда, ln q |ξ − x|12π−ln q|ξ ∗ −x|2πln|ξ−x|= ln |ξ − x|, при x ∈ S, поэтому|ξ − x| q= ∗|ξ − x| x∈SШаг 4)(2.6)Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).G(x, ξ) =|ξ − x|1ln.2πq |ξ ∗ − x|(2.7)Осталось по возможности избавиться от выражений, зависящих от ξ ∗ , выразив координаты ξ ∗ через координаты ξ.Если поверхность имеет несколько участков, то точки ξk∗ , симметричные точке ξ относительно каждого∗∗участка границы, затем точки ξkl, симметричные точкам ξk∗ относительно каждого участка границы (или∗∗его продолжения), и т.д.

При этом в точки ξk∗ помещаются отрицательные заряды −qk (ξ) , в точки ξkl–положительные заряды qkl (ξ), и т.д.6Если поверхность имеет несколько участков, то надо искать g в виде суммы слагаемых вида (2.4):X Y 1Y1111 X ∗∗∗∗g=−ln qk |ξk∗ − x| +ln qkl |ξkl− x| − .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций