Семинар 2 для К-6. Фундаментальное решение уравнения Лапласа и Ньютонов потенциал (1127979)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар К 6 - 2 – Фундаментальное решение уравнения Лапласа1. Вывод фундаментального решения№ 184, 186, 196M а), 185, I, 187, 197M , 196M б), в).1.1. Оператор Лапласа в криволинейных координатахНам понадобятся для дальнейшего рассмотрения цилиндрические координаты: x1 = r cos ϕx2 = r sin ϕ(1.1)x3 = zа также сферические координаты, задаваемые соотношениями: x2 = r sin θ cos ϕx2 = r sin θ sin ϕ(1.2)x3 = r cos θВ цилиндрических координатах оператор Лапласа принимает вид:1 ∂∂u1 ∂ 2u ∂ 2u∆u = ·+.r·+ 2·r ∂r∂rr ∂ϕ2 ∂z 2(1.3)В сферических координатах оператор Лапласа принимает вид:∂∂ 2u1 ∂1∂u12 ∂u·.∆u = 2 ·r+ 2sin θ ·+ 2 2 ·r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2(1.4)Фудаментальным решением уравнения Лапласа называется решение, зависящее только от r.(Более точное определение будет дано ниже.) Поэтому будем искать функцию вида u = u(r)– решение уравнения∆u = 0.(1.5)Но для случая, когда искомая функция зависит только от r, оператор Лапласа принимаетболее простой вид, вид, который мы можем легко получить и в n-мерном случае.В самом деле, для u = u(r)∂u ∂r∂u=·= ur · rxk ,∂xk∂r ∂xk∂ 2u∂=(ur · rxk ) = urr · rx2k + ur · rxk xk ,2∂xk∂xk∆u(r) =nX∂ 2uk=1ПосчитаемnPk=1rxkc Д.С.

Ткаченкоrx2k ≡ ∇r · ∇r иnP∂x2k= urr ·nXrx2k + ur ·k=1nXr xk xk .(i)k=1rxk xk ≡ ∆r. Так как r =px21 + . . . + x2k + . . . + x2n ,k=1xkxk=p 2= ,22rx1 + . . . + x k + . . . + xn-1-r xk xkr − xk ·=r2xkr=r2 − x2k.r3УМФ – семинар К 6 - 2 – Фундаментальное решение уравнения ЛапласаОтсюдаnXk=1rx2k=nXx2k=1kr2nX= 1,rxk xk =k=1nXr 2 − x2kk=1r3=r2nn−1− 3 =.rrrПодставим полученные выражения в (i) и получим представление оператора Лапласа в nмерном пространстве от функции u(r):∆u(r) = urr +n−11· ur ≡ n−1 rn−1 ur r ,rrn > 2.(1.6)1.2.

Двумерный случайЗадачи на плоскости можно рассматривать как частный случай задач в трёхмерном пространстве, когда искомое решение не зависит от x3 = z. Тогда оно является цилиндрически симметричным, и задачу естественно рассматривать в цилиндрических координатах. УравнениеЛапласа (1.5) с учётом вида оператора Лапласа (1.6) для функции u = u(r) вырождается вэтом случае в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:du1 dr·= 0.(1.7)∆u = ·r drdrДомножим его на r, проинтегрируем обе части и получим:r·du= c1 ,dr=⇒duc1= .drrЕщё раз проинтегрируем и получим общее решение уравнения Лапласа, обладающее цилиндрической симметрией:u = c1 ln r + c2 .(1.8)Главной частью здесь безусловно является первое слагаемое: c1 ln r, так как константа всегдаявляется решением уравнения Лапласа и не несёт никакой информации.

Чтобы не таскать ссобой произвольную константу c1 , надо сразу договориться о её значении1 .Опр. 1.1. Фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости называетсяфункция:q1E(x1 , x2 ) =ln r,r = |x| = x21 + x22 .(1.9)2π1.3. Трёхмерный случайВ сферических координатах уравнение (1.5) с учётом вида оператора Лапласа (1.6) для функции u = u(r) также вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение:1 d2 du∆u = 2 ·r ·= 0.(1.10)r drdrДомножим его на r2 , проинтегрируем обе части и получим:r2 ·du= c1 ,dr=⇒1duc1= 2.drrВ разных книгах значение c1 выбирается по разному, исходя из удобства изложения и личных предпочтений авторов.

Мы будем пользоваться обозначениями, принятыми на лекциях.c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар К 6 - 2 – Фундаментальное решение уравнения ЛапласаЕщё раз проинтегрируем и получим общее решение уравнения Лапласа, обладающее сферической симметрией:−c1u=+ c2 .(1.11)rГлавной частью здесь также является первое слагаемое: −cr 1 . Договоримся о значении кон1станты2 c1 = 4π.Опр. 1.2. Фундаментальным решением уравнения Лапласа в трёхмерном пространстве называется функция:E(x1 , x2 , x3 ) = −1,4π rr = |x| =qx21 + x22 + x23 .(1.12)С этой функцией связано ещё одно важное понятие.Опр.

1.3. Ньютоновым потенциалом называется функция:EN (x1 , x2 , x3 ) = −4πE(x1 , x2 , x3 ) =1.|x|(1.13)Физический смысл Ньютонова потенциала.Пусть в точке (0, 0, 0) сосредоточен заряд µ. Тогда в точке (x1 , x2 , x3 ) этот заряд создаётполе, потенциал которого равенu(x1 , x2 , x3 ) = µEN (x1 , x2 , x3 ).(1.14)1.4.

n-мерный случайУравнение (1.5) с учётом вида оператора Лапласа (1.6) для функции u = u(r) и в этом случаевырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение:d1n−1 du∆u = n−1 ·r·= 0.(1.15)rdrdrДомножим его на rn−1 , проинтегрируем обе части и получим:rn−1 ·du= c1 ,dr=⇒duc1= n−1 .drr(1.16)Ещё раз проинтегрируем и получим общее решение уравнения Лапласа, обладающее сферической симметрией:−c1u=+ c2 .(1.17)(n − 2)rn−2−c1Главной частью здесь также является первое слагаемое: (n−2)rn−2 . Договоримся о значении1константы c1 = ωn , где ωn – площадь единичной сферы3 в n-мерном пространстве:√ n2 ( π) ,ωn =Γ n2в частности,2ω2 = 2π,ω3 = 4π.(1.18)См. предыдущую сноску.В некоторых книгах площадь единичной сферы в n-мерном пространстве обозначают ωn−1 , поскольку онаявляется с топологической точки зрения многобразием порядка n − 1.3c Д.С.

Ткаченко-3-УМФ – семинар К 6 - 2 – Фундаментальное решение уравнения ЛапласаЗдесь Γ(t) – Гамма-функция Эйлера иnΓ2(n − 2)!! √= √ n−1 π.2Как и в двух- и трёхмерном случаях, приходим к определению:Опр. 1.4. Фундаментальным решением уравнения Лапласа в n-мерном пространстве называется функция:(E(x) = E(x1 , .

. . , xn ) =12π−ln |x|,при n = 2;1,ωn (n−2) |x|n−2(1.19)при n > 3.Несколько обобщим данное определение, учитывая, что радиус-вектор ~r можно проводитьв точку x = (x1 , . . . , xn ) не только из начала координат, а из любой точки ξ = (ξ1 , . . . , ξn ).Тогда аналогичными рассуждениями мы придём к определению:Опр. 1.5. Фундаментальным (элементарным) решением уравнения Лапласа в nмерном пространстве называется функция:(E(x, ξ) =12π−ln |ξ − x|,1,ωn (n−2) |ξ−x|n−2при n = 2;(1.20)при n > 3.Теорема 1.1.Утв.Фундаментальное решение (1.19) уравнения Лапласа удовлетворяет равенству1∂E=,∂rωn rn−1n > 2.(1.21)Доказательство.

В силу равенстваduc1= n−1 ,drrкоторому должно удовлетворять фундаментальное решение с константой c1 =получаем доказываемое утверждение.(1.16)1,ωnмы сразу2. № 184. Поле диполяОпр. 2.1. Диполем в трёхмерном пространстве называется пара одинаковых по модулю ипротивоположных по знаку зарядов ±µ, расположенных на «малом» расстоянии ∆l друг отдруга.При этом величина µ∆l называется моментом диполя, а единичный вектор ~l, направленныйвдоль прямой, содержащей диполь, от отрицательного заряда к положительному, являетсянаправляющим вектором оси диполя.Найти потенциал поля, образованного диполем (с центром в точке M 0 (x01 , x02 , x03 ), моментом µ∆l и направляющим вектором оси диполя ~l), в точке M (x1 , x2 , x3 ), удалённой отc Д.С. Ткаченко-4-УМФ – семинар К 6 - 2 – Фундаментальное решение уравнения Лапласадиполя.Шаг 1.

Применение Ньютонова потенциала.Пусть в точке M 0 засположен заряд (+µ) нашего диполя, а в точке M 00 – заряд (−µ). Тогдавектор ~l имеет вид000000~l = M − M = M − M ,(2.1)|M 0 − M 00 |∆lа точка M 0 – есть середина отрезка [M 0 , M 00 ].Найдём потенциал заряда (+µ) в точке M по формуле (1.14):u+ (x1 , x2 , x3 ) =µµ= 0.0|M − M |rАналогично, потенциал (−µ), соответственно, равенu− (x1 , x2 , x3 ) = −µµ= − 00 ,00|M − M |rи потенциал всего диполя в точке Mu(x1 , x2 , x3 ) =µr00 − r0µ−=µ·.r0 r00r0 r00(2.2)Шаг 2. Аналитический способ.Учитывая, что расстоянии ∆l = |M 00 − M 0 | пренебрежимо мало по сравнению с расстояниямиr = |M − M 0 |, r0 = |M − M 0 | и r00 = |M 00 − M |, по теореме о конечных приращениях можносделать вывод, что 1d11− 00 ≈· ∆l.0rrd~l r~l , а в сферических координатахВспоминая, что df=gradf,d~lgrad f =∂f eθ ∂feϕ∂f· er +·+·∂r∂θ r∂ϕ r sin θи учитывая, что в нашем случае функция f имеет вид f = 1r , то есть зависит только от r,находим:сначала градиент: 1d11 ~rgrad=· er = − 2 · ,rdr rr r(где вектор ~r направлен из точки M в центр диполя),затем производную по направлению:~lcos−~r,~df1 (~r, l),= grad f, ~l = − 2 ·=rrr2d~lи, наконец, потенциал диполя: ~cos −~r, lµµd1u = 0 − 00 ≈ µ ·· ∆l = µ∆l ·.rrr2d~l rc Д.С.

Ткаченко-5-УМФ – семинар К 6 - 2 – Фундаментальное решение уравнения ЛапласаШаг 2. Геометрический способ.Если полагать, что |M − M 0 | >> ∆l, точислитель ∆r выраженияr00 − r0,r0 r00входящего в формулу (2.2), можно приближённо считать равным выражению∆r ≈ ∆l cos ϕ ≈ ∆l cos −~r, ~l .C другой стороны, знаменатель r0 r00 ≈ r2 .Поэтому всё выражение для вычисления потенциала диполя в точке M находится по формуле~lcos−~r,000r −r∆ru = µ · 0 00 ≈ µ · 2 ≈ µ∆l ·.rrrr2Шаг 3. Переобозначение.−→−→Более естественно рассматривать не вектор ~r = M M 0 , а наоборот: ~r = M 0 M .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций