Семинар 1 для К-6. Формула Пуассона. Интеграл ошибок. Сглаживающее свойство уравнения теплопроводности (1127978)
Текст из файла
УМФ – семинар К6 - 1 – Формула Пуассона. Интеграл ошибок1. Преобразование Фурье для задач УМФ№ 817, I, 818, II, лабораторная работа №1.Пусть f (x) определена на R и для неё сходится интеграл +∞Z f (x)dx < +∞.−∞Тогда для функции f (x) существует преобразование Фурье:1F (ξ) = fd(x) = √2πZ+∞e−iξx f (x)dx.(1.1)−∞При этом функцию f (x) можно восстановить по её образу Фурье по следующей формуле:d1f (x) = F (ξ) = √2πZ+∞eiξx F (ξ)dξ.(1.2)−∞Если f (x) – чётная функция, тоr2πF (ξ) =Z+∞cos(ξx)f (x)dx,(1.3)0rf (x) =2πZ+∞cos(ξx)F (ξ)dξ.(1.4)0Если f (x) – нечётная функция, тоrF (ξ) =2πZ+∞sin(ξx)f (x)dx,(1.5)0rf (x) =2πZ+∞sin(ξx)F (ξ)dξ.(1.6)0Утверждение 1.1 (Свойства преобразования Фурье).Усл.F (ξ) – образ Фурье функции f (x) при ИПФ (1.1).Утв.Верны формулы:0 (x) = iξF (ξ),1o f[(n) (x) = iξ n F (ξ);f\2o f[∗ g = F (ξ) · G(ξ), гдеZ+∞Z+∞f ∗g =f (t)g(x − t)dt =f (x − t)g(t)dt − свёртка функций f (x) и g(x).−∞−∞-1-УМФ – семинар К6 - 1 – Формула Пуассона.
Интеграл ошибокКроме этих общих формул нам потребуется также важная формула:Утверждение 1.2.√Z+∞π − 4pq22−p2 u2eecos(qu)du =2p(1.7)02. № 817.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье, решить задачу:ut − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞),(2.1)(2.2)Шаг 1. Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на всей прямой x ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.1) по пространственной переменной x к равенству (2.1).ПустьZ1\t) = √e−iξx u(x; t)dx,U (ξ; t) = u(x;2πZR1[=√Φ(ξ) = ϕ(x)e−iξx ϕ(x)dx.2πRТогда результатом действия ИПФ на (2.1) – (2.2) будет задача:Ut (ξ; t) + a2 ξ 2 U (ξ; t) = 0,U (ξ; 0) = Φ(ξ),ξ ∈ (−∞, +∞), t > 0.ξ ∈ (−∞, +∞).(2.3)(2.4)Шаг 2.
Решение задачи Коши (2.3) – (2.4).Общее решение однородного линейного уравнения (2.3) имеет вид:2 ξ2 tU (ξ; t) = c(ξ) e−a,ξ ∈ (−∞, +∞).А в силу начального условия (2.4) имеем:c(ξ) = Φ(ξ),=⇒2 ξ2 tU (ξ, t) = Φ(ξ) e−aξ ∈ (−∞, +∞).,(2.5)Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (2.5) обратное преобразование Фурье (1.2). ПолучимZ+∞Z+∞12 2eiξx U (ξ; t)dξ = √Φ(ξ)eiξx · e−a ξ t dξ =2π−∞−∞ +∞+∞ZZ112 2=√ ·√ϕ(s) eiξ(x−s) · e|−a{zξ }t dξ ds =2π2πчётная−∞−∞ +∞+∞ZZ −a2 ξ2 t2q = x√− s,=ϕ(s)cos ξ(x − s) · edξ ds = по формуле (1.7), при=p=a t2π1u(x; t) = √2π−∞01=π√Z+∞(x−s)2πϕ(s) · √ · e− 4a2 t ds.2a t−∞-2-УМФ – семинар К6 - 1 – Формула Пуассона. Интеграл ошибокОтвет:u(x, t) =1√2a πt+∞Rϕ(s)e−(x−s)24a2 tds.−∞3.
№ 818.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье, решить задачу:ut − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞),(3.1)(3.2)Шаг 1. Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на всей прямой x ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.1) по пространственной переменной x к равенству (4.1).ПустьZ1\U (ξ; t) = u(x; t) = √e−iξx u(x; t)dx,2πRZ1F (ξ, t) = f\(x, t) = √e−iξx f (x, t)dx.2πRТогда результатом действия ИПФ на (4.1) – (4.2) будет задача:Ut (ξ; t) + a2 ξ 2 U (ξ; t) = F (ξ, t),U (ξ; 0) = 0,ξ ∈ (−∞, +∞), t > 0.ξ ∈ (−∞, +∞).(3.3)(3.4)Шаг 2.
Решение задачи Коши (3.3) – (3.4).Данный шаг полностью повторяет Шаг 2. № 821.Общее решение однородного линейного уравнения (3.3) имеет вид:2 ξ2 tU (ξ; t) = c(ξ) e−aξ ∈ (−∞, +∞).,По МЕТОДУ ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННОЙ, общее решение неоднородного линейного уравнения ищется в виде2 2Uоно = c(ξ, t)e−a ξ t .(3.5)Подставляя (3.5) в уравнение (3.3), получим2 ξ2 tct = F (ξ, t) · eaZtc(ξ, t) =,=⇒2 ξ2 τF (ξ, τ ) · eadτ + c1 (ξ).0Итак,−a2 ξ 2 tUоно = c1 (ξ)eZt+2 ξ 2 (t−τ )F (ξ, τ ) · e−adτ.0Осталось применить начальное условие:U (ξ, 0) = c1 (ξ) + 0 = 0,ZtUоно ==⇒c1 (ξ) = 0,2 ξ 2 (t−τ )F (ξ, τ ) · e−a0-3-dτ.=⇒(3.6)УМФ – семинар К6 - 1 – Формула Пуассона.
Интеграл ошибокШаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (3.6) обратное преобразование Фурье (1.2). Получим1u(x; t) = √2πZ+∞Z+∞Z t Z+∞112 2e−iξs f (s, τ )ds · e−a ξ (t−τ ) dτ dξ =eiξx U (ξ; t)dξ = √ · √eiξx2π2π−∞−∞0 −∞|{z}=F (ξ, τ )12π=ZtZ+∞dτZt0f (s, τ )ds−∞02=2πZ+∞−∞2 2ξ (t−τ )eiξ(x−s) e|−a {z} dξ =чётная по ξZ+∞Z+∞2 2dτf (s, τ )dscos ξ(x − s) e−a ξ (t−τ ) dξ =−∞0q = x√− s,= по формуле (1.7), приp=a t−τ√ ZtZ+∞(x−s)2π1dτ−√= ·f (s, τ )e 4a2 (t−τ ) ds.π 2at−τ0Ответ:u(x, t) =1√2a πRt0√dτt−τ+∞Rf (s, τ )e−(x−s)24a2 (t−τ )−∞ds.−∞4. Формула ПуассонаТеперь объединим результаты № 817 и 818, рассмотрев общую задачу Коши для уравнениятеплопроводности на прямой:ut − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞).(4.1)(4.2)Стандартным приёмом здесь является разбить данную задачу на сумму двух задач:1.
с однородным уравнением и неоднородным начальным условием;2. с однородным начальным условием и неоднородным уравнением.Но эти задачи полностью совпадают с задачами № 817 и 818, соответственно. Поэтому решением задачи (4.1) – (4.2) является сумма решений задач № 817 и 818.Опр. 4.1. Формулой Пуассона для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой называется формула:2Z+∞Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)2 (t−τ )(x−ξ)2epu(x, t) =e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +· f (ξ, τ )dξdτ.2a πt2a π(t − τ )1√−∞(4.3)0 −∞5. № IПользуясь формулой Пуассона найти решение задачи:ut − a2 uxx = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0,u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞),-4-(5.1)УМФ – семинар К6 - 1 – Формула Пуассона.
Интеграл ошибокгде функция ϕ(x) задана равенством:Q,0,ϕ(x) =x > 0,x < 0.(5.2)Так как уравнение однородно, формула Пуассона (4.3) даёт нам решение данной задачи ввиде:Z+∞(x−s)21u(x, t) = √ϕ(s)e− 4a2 t ds.2a πt−∞Подставляем заданную функцию ϕ(x):1u(x, t) = √2a πtZ+∞(x−s)2ϕ(s)e− 4a2 t ds =−∞x−s= замена: τ = √ ,2a tZ+∞(x−s)2e− 4a2 t ds =Q√2a πt0√Qds = −2a t dτ = − √πZ−∞x√e−τ2Qdτ = √πx√2a tQ =√ πx√Z0e− τ22aZ−∞t2e− τ dτ =−∞tdτ +2aZ2e− τ dτ =0√Z+∞π22e− τ dτ ≡e− τ dτ =, то =2Z0= так как интеграл Эйлера–Пуассона−∞0x√QQ= +√2π2aZt2e− τ dτ.0Ответ:x√tu(x, t) =QQ+√2π2aZ2e− τ dτ.(5.3)06.
Интеграл ошибок. Сглаживающее свойство уравнениятеплопроводностиВ формулу (5.3) входит выражение если вынести за скобкиx√2√π2aZQ2t2e− τ dτ.0У него есть несколько названий:Опр. 6.1. Интегралом ошибок, функцией ошибок, интегралом вероятностей называется выражение:Zz22Φ(z) = √e− τ dτ.(6.1)π0-5-УМФ – семинар К6 - 1 – Формула Пуассона. Интеграл ошибокС помощью этого обозначения результат задачи I мы можем записать в виде:xQ√1+Φu(x, t) =.22a tПоскольку из определения очевидно, что функция ошибок – нечётная, то график решениязадачи I будет иметь вид:На этом примере можно заметить два свойства решений уравнения теплопроводности:Сглаживающее свойство решения уравнения теплопроводности:Даже если начальные данные при t = 0 имеют разрыв, решение уравнения теплопроводности всё равно будет непрерывно (и даже бесконечно дифференцируемо) в любой моментвремени t > 0.Моментальное распространение тепла:Если в начальный момент t = 0 какой-то участок струны нагрет сильнее остальной части струны, в любой момент времени t > 0 в любой (сколь угодно удалённой от нагретогоучастка) точке струны температура будет выше начальной.
(Это, разумеется, справедливо вслучае отсутствия источников и стоков тепла, т.е. в случае f (x, t) ≡ 0.)Заметим также, что поскольку уравнение теплопроводности описывает ещё и процессы диффузии, то данное свойство можно интерпретировать так: если капнуть в Чёрное море слезинкув момент t = 0, то у берегов Австралии в любой момент t = 0 + ε > 0 можно будет в океанеобнаружить малую, но часть этой слезинки.7.
№ IIПользуясь формулой Пуассона, найти решение задачи:ut − a2 uxx = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0,u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞),-6-(7.1)УМФ – семинар К6 - 1 – Формула Пуассона. Интеграл ошибокгде функция ϕ(x) задана равенством:Q,x ∈ (A, B),ϕ(x) =0,x 6∈ (A, B).0 < A < B < +∞,(7.2)Так как уравнение однородно, формула Пуассона (4.3) даёт нам решение данной задачи ввиде:Z+∞(x−s)21u(x, t) = √ϕ(s)e− 4a2 t ds.2a πt−∞Подставляем заданную функцию ϕ(x):1u(x, t) = √2a πtZ+∞(x−s)2ϕ(s)e− 4a2 t ds =−∞Q√2a πtZBe−(x−s)24a2 tds =A= замена: τ =√Qds = −2a t dτ = − √πx−s√ ,2a tx−B√t2aZ2e− τ dτ ≡x−A√2a t≡x−A√tQ √22 π2aZx−B√t22e− τ dτ − √π2aZ02e− τ dτ =0hi Q= по определению интеграла ошибок =Φ2x−A√2a t−Φx−B √ .2a tОтвет:u(x, t) =Q Φ2x−A√2a t−Φx−B √ .2a t(7.3)8.
Лабораторная работа № 1Проиллюстрировать сглаживающее свойство уравнения теплопроводности, численно решивзадачу II, стр. 6, и построив графики её решения при t0 = 0, t1 = 10−4 , t2 = 0.5, t3 = 4,t4 = 100, t5 = 10000 (можно заменить данные tk своими «выразительными» моментами времени). Параметры A, B, Q подобрать самостоятельно из соображений наибольшейнаглядности.
Оформить работу по схеме: титульный лист; рассчетные формулы; компьютерные графики.Срок выполнения лабораторной работы — 2 недели. (Можно пользоваться известными пакетами математических вычислений).-7-.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
