Семинар 6 для К-6. Уравнение теплопроводности в шаре - простейший случай. Метод Фурье (1127983)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случай1. Задача для уравнения теплопроводности в шаре.1.1. Постановка 1-ой, 2-ой и 3-ей краевых задач в шареВведём обозначения:r=px2 + y 2 + z 22− открытый шар радиуса RBR = (x, y, z) : r2 < R2ΓR ≡ ∂B = (x, y, z) : r = R2− сфера радиуса R[B R ≡ BR ΓR = (x, y, z) : r2 6 R2− замкнутый шар радиуса RΩT = BR × (0, T ) = (x, y, z; t) : r2 < R2 ; t ∈ (0, T )− открытый цилиндр22∗− открытый цилиндр с «верхней крышкойΩT = BR × (0, T ] = (x, y, z; t) : r < R ; t ∈ (0, T ]ΩT = B R × [0, T ] = (x, y, z; t) : r2 6 R2 ; t ∈ [0, T ]− замкнутый цилиндр1-ая краевая задача.T2,1Найти функцию u(x, y, z, t) в классе u ∈ Cx,t(Ω∗T ) C(ΩT )2 ut = a ∆u,u(x, y, z, 0) = f (x, y, z), u(x, y, z, t)= µ(x, y, z, t)из условийв Ω∗T ;в BR ;(1.1)0 < t < T,r=Rгде a > 0 – заданное число, f ∈ C(B), µ ∈ C(ΓR ) – заданные функции.2-ая краевая задача.T 1,02,1(ΩT ) из условийНайти функцию u(x, y, z, t) в классе u ∈ Cx,t(Ω∗T ) Cx,tв Ω∗T ; ut = a2 ∆u,u(x, y, z, 0) =в BR ; f (x, y, z), ∂u(x, y, z, t) r=R = ν(x, y, z, t)0 < t < T,∂rгде a > 0 – заданное число, f ∈ C 1 (B), ν ∈ C(ΓR ) – заданные функции.3-ая краевая задача.T 1,02,1(ΩT ) из условийНайти функцию u(x, y, z, t) в классе u ∈ Cx,t(Ω∗T ) Cx,tв Ω∗T ; ut = a2 ∆u,u(x, y, z, 0) = f (x, y, z),в BR ; ∂u(x, y, z, t) + hu(x, y, z, t) r=R = κ(x, y, z, t)0 < t < T,∂rгде a > 0 – заданное число, f ∈ C 1 (B), κ ∈ C(ΓR ) – заданные функции.c Д.С.

Ткаченко-1-(1.2)(1.3)УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случай1.2. Сферические координатыПри решении задач в шаре удобно использовать сферические координаты (r, θ, ϕ): x = r sin θ cos ϕy = r sin θ sin ϕ(1.4)z = r cos θЗаданная таким образом тройка (r, θ, ϕ)является правой.Обозначим через ũ(r, θ, ϕ; t) сложную функциюũ(r, θ, ϕ; t) = u r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ; t .(1.5)Всюду ниже будем полагать выполненными условия:f ≡ f˜(r),µ ≡ const,ν ≡ const,κ ≡ const.(1.6)Из них сразу следует, что и решение ũ задачи (1.1), (1.2) или (1.3) зависит только от r:=⇒ũ = ũ(r).Оператор Лапласа в сферических координатахОператор Лапласа, имеющий в декартовых координатах (x, y, z) вид∆=∂2∂2∂2++,∂2x ∂2y ∂2zв сферических координатах (1.4) примет вид:11 ∂1∂∂ ũ1∂ 2 ũ2 ∂ ũ∆ũ = 2 ·r+ 2·sin θ ·+ 2 2 ·.r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2(1.7)C учётом, что ũ = ũ(r), то есть ũ не зависит от θ и ϕ, при выполнении (1.6) получаем:1 ∂2 ∂ ũ∆ũ = 2 ·r.(1.8)r ∂r∂r1.3.

1-ая краевая задача в сферических координатахРассмотрим задачу (1.1) в сферических координатах при выпонении условий (1.6) и µ ≡ 0:Найти функцию u(r, t) из условий2∂r2 ∂∂rũ ,0 6 r < R, t > 0; ũt = ar2 · ∂r(1.9)ũ(r, 0) = f (r),0 6 r < R;ũ(R, t) = 0.Посколькуa2 ∂·r2 ∂r1∂ ũr∂r2= a2∂ 2 ũ 2a2 ∂ ũa2 ∂ 2 +·≡·rũ ,∂r2r ∂rr ∂r2Подробнее см. http://tkachenko-mephi.narod.ru/pdfs/KK.rar, стр. 12–13.c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случайто уравнение ũt =a2r2·∂∂rr2∂ ũ∂rпреобразуется к виду 2rũ = a rũ .trrТогда естественно сделать замену:v(r) = rũ.(1.10)Для функции v уравнение примет, таким образом, видvt (r, t) = a2 vrr (r, t),а начальное условие ũ(r, 0) = f (r) перепишется какv(r, 0) = rf (r).Итак, первая краевая задача при сделанных предположениях после замены u на новую неизвестную функцию v(r, t) окончательно принимает вид: Найти функцию v(r, t) из условийв прямоугольнике 0 < r < R, 0 < t 6 T ; vt = a2 vrr ,v(r, 0) = rf (r),на интервале 0 < r < R;(1.11)v(R, t) = 0, v(0, t) = 0,при 0 < t < T.Почему вдруг добавилось новое условие v(0, t) = 0?С одной стороны, оно следует из равенства v(r, t) = rũ(r, t), если u(r̃, t) ограничена вокрестности r = 0.

А поскольку мы ищем только ограниченные решения u(x, y, z, t), и даженепрерывные, то появление условия v(0, t) = 0 вполне оправдано.С другой стороны, без этого условия задача (1.11) оказалась бы некорректно поставленной,а с условием v(0, t) = 0 она является знакомой нам по прошлому семестру начально-краевойзадачей для одномерного уравнения теплопроводности.2. № 705.Найти ограниченную функцию u(r, t) из условий ut = a2 ∆u,u(r, 0) = f (r),u(R, t) = 0,в Ω∗T ;в BR ;0 < t < T.(5.1)Шаг 1. Замена неизвестной функцииПовторяя действия из пункта 1.3, для новой неизвестной функцииv(r, t) = ru(r, t)получаем задачу: Найти функцию v(r, t) из условийв прямоугольнике 0 < r < R, 0 < t 6 T ; vt = a2 vrr ,v(r, 0) = rf (r),на интервале 0 < r < R;v(R, t) = 0,v(0, t) = 0,при 0 < t < T.(5.2)Шаг 2.

Будем искать решение уравнения vt = a2 vrr с краевыми условиямиv(0, t) = v(R, t) = 0 в видеV (r, t) = X(r)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(r) следующее:X(0) = X(R) = 0.c Д.С. Ткаченко-3-(5.3)УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случайПодставим V (r, t) в уравнение, получим:X(r)T0 (t) = a2 X”(r)T(t)Предположив, что X(r)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(r)T(t) 6= 0:X”(r)T0 (t)=− 2= λ.−X(r)a T(t)Отсюда для функции X(r) имеем задачуX”(r) + λX(r) = 0,X(0) = X(l) = 0,(5.4)(5.5)а для функции T(t) – уравнение:T0 (t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(5.6)Задача (5.4)–(5.5) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (5.4) имеетвид√√X(r) = c1 sin( λ r) + c2 cos( λ r)при λ > 0;(5.7)√X(r) = c1 e −λ r + c2 e−X(r) = c1 r + c2√−λ rпри λ < 0;при λ = 0;(5.8)(5.9)√• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, √⇒ X(r) = c1 sin( λ r).Поэтому из второго краевого условия X(R) = 0 получаем, что λ R = πn откуда имеембесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля: πn 2λn =,n ∈ N.(5.10)RИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnr Xn (r) = sin,n ∈ N.R(5.11)• При λ < 0 нетривиальных решений нет, т.к.

задача Штурма–Лиувилля не может иметьотрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(r) = c1 r. Поэтому извторого краевого условия X(R) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилляне имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πn 2 πnr λn =, Xn (r) = sin, n∈NRRзадачи (5.4), (5.5).

Стало быть, рассматривать задачу (5.6) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T0n (t) +π 2 a2 n 2Tn (t) = 0,R2t > 0.(5.12)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:Tn (t) = An e−c Д.С. Ткаченко-4-(πna)2tR2(5.13)УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случайгде An – произвольные постоянные.Шаг 3. Решаем задачу (5.2).Будем искать решение задачи (5.2) в виде v(r, t) =∞PXn (r)Tn (t), т.е.n=1v(r, t) =∞Xsinn=1(πna)2πnrAn e− R2 t .R(5.14)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияv(r, 0) = rf (r). Для функции v(r, t) искомого вида (5.15) они означают:rf (r) = v(r, 0) =∞XXn (r)Tn (0) =n=1∞XAn sinn=1πnr,R(5.15)(5.16)Пусть функция rf (r), входящая в начальное условие, разлагается в ряд Фурье по синусам:rf (r) =∞Xαn sinn=1πnr,R(5.17)c коэффициентами22αn = (rf, Xn ) =RRZRrf (r) sinπnrdr.R(5.18)0Таким образом, для коэффициентов An из представления (5.15) решения v(r, t), имеем:2An = αn =RZRrf (r) sinπnrdr.R(5.19)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (5.15) найденные коэффициентыAn из (5.19).

Получим: RZ∞X(πna)22 ρf (ρ) sin πnρ dρ e− R2 t sin πnr .v(r, t) =R n=1RR0Отсюда, вспоминая о замене R v(r, t) = ru(r, t), получаем∞R(πna)2P−t2R2ρf (ρ) sin πnρОтвет: u(r, t) = rRdρesin πnr.RRn=106. № 706.Найти ограниченную функцию u(r, t) из условий0 6 r < R, ut = a2 ∆u,u(r, 0) = f (r),0 6 r < R;ur (R, t) = 0,t > 0.t > 0;Шаг 1. Замена неизвестной функцииДействуя аналогично пункту 1.3, для новой неизвестной функцииv(r, t) = ru(r, t)c Д.С. Ткаченко-5-(6.1)УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случайполучаем задачу: Найти функцию v(r, t) из условийв прямоугольнике 0 < r < R, 0 < t 6 T ; vt = a2 vrr ,v(r, 0) = rf (r),на интервале 0 < r < R;Rvr (R, t) − v(R, t) = 0,v(0, t) = 0при 0 < t < T.(6.2)Заметим, что условие ur (R, t) = 0 означает для v(r, t) = ru(r, t), что∂ v rvr − v Rvr (R, t) − v(R, t)=== 0,2∂r r r=RrR2r=Rоткуда и взялось краевое условие 3-го рода в задаче для v.Шаг 2.

Будем искать решение уравнения vt = a2 vrr с краевыми условиямиv(0, t) = Rvr (R, t) − v(R, t) = 0 в видеV (r, t) = X(r)T(t).Краевые условия означают для функции X(r) следующее:X(0) = 0,RX0 (R) − X(R) = 0.(6.3)Подставим V (r, t) в уравнение, получим:X(r)T0 (t) = a2 X”(r)T(t)Предположив, что X(r)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(r)T(t) 6= 0:−X”(r)T0 (t)=− 2= λ.X(r)a T(t)Отсюда для функции X(r) имеем задачуX”(r) + λX(r) = 0,X(0) = 0, RX0 (R) − X(R) = 0,(6.4)(6.5)а для функции T(t) – уравнение:T0 (t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(6.6)Задача (6.4)–(6.5) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (6.4) имеетвид√√X(r) = c1 sin( λ r) + c2 cos( λ r)при λ > 0;(6.7)√X(r) = c1 e −λ r + c2 e−X(r) = c1 r + c2√−λ rпри λ < 0;при λ = 0;• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что√√√c2 = 0, ⇒ X(r) = c1 sin( λ r) ⇒ X0 (r) = c1 λ cos( λ r).Поэтому из второго краевого условия RX0 (R) − X(R) = 0 получаем, что√√√λ R cos( λ R) − sin( λ R) = 0,c Д.С.

Ткаченко-6-(6.8)(6.9)УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случайоткуда√√λ R = tg( λ R).(6.10)Это уравнение имеет бесконечное множество решений:ppλn :λn R = tg( λn R),n ∈ N.Им соответствует бесконечное множество собственных функций:pλn r ,n ∈ N.Xn (r) = sin(6.11)(6.12)• При λ < 0 нетривиальных решений нет, т.к.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций