Семинар 3 для К-6. Формулы Грина. Функция Грина. Дельта - функция Дирака (1127980)
Текст из файла
УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функция1. Первая и вторая формулы Грина№ 220, 227, I, 221, 119, 226, 228, 232, II, III.1.1. Первая формула ГринаПусть в n-мерном пространстве задана область G с кусочно гладкой поверхностью ∂G = S.Теорема 1.1.C1 G , v ∈ C1 G .Усл.u ∈ C 2 (G)Утв.Справедлива первая фомула Грина:ZZZ∂udS − ∇u∇v dx,v∆u dx = v∂~nTгде ∇u∇v =nPk=1GSG(1.1)∂u ∂v.∂xk ∂xkДоказательство. Рассмотрим вспомогательную область G0 b G с кусочно гладкой границей∂G0 = S 0 .
Отступив от границы S, мы добились того, что функция u дважды непрерывнодифференцируема уже вплоть до границы:u ∈ C 2 G0 .Теперь мы имеем право применить формулу Гаусса – ОстроградскогоZZ∂uvdS = div (v grad u) dx.∂~nS0G0Распишем подынтегральную функцию правой части: XnnnXX∂ 2u∂∂u∂v ∂u·+v · 2 ≡ ∇u∇v + v∆u.div (v grad u) ≡v·=∂xk∂xk∂xk ∂xk k=1∂xkk=1k=1Поэтому верна первая формула Грина для области G0 :ZZZ∂uv∆u dx = vdS − ∇u∇v dx.∂~nG0S0(i)G0Осталось перейти к пределу по последовательности областей G0 , исчерпывающей область G.Предел правой части (i) существует и равен правой части (1.1), следовательно существуеттакже предел левой части и справедливо равенство (1.1).
При этом интеграл левой части (1.1),вообще говоря, несобственный.Замечание 1.1.Есть более общий вид первой формулы Грина:ZZZZ∂uv (div (p grad u) + qu) dx = pvdS − p∇u∇v dx + quv dx.∂~nGSG(1.2)GЭта формула доказывется совершенно аналогично. См, например, книгу:В.С. Владимиров, В.В.
Жаринов «Уравнения математической физики», М., Физматлит, 2000,стр. 244-245.c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функция1.2. Вторая формула ГринаТеорема 1.2.C1 G .Усл.u, v ∈ C 2 (G)Утв.Справедлива вторая фомула Грина:ZZ ∂u∂vv(v∆u − u∆v) dx =−udS.∂~n∂~nTGSДоказательство. В первой формуле Грина (1.1) поменяем u и v местами.
Получим:ZZZ∂vdS − ∇v∇u dx.u∆v dx = u∂~n(ii)GSG(1.3)Вычитая теперь из (1.1) равенство (ii), сразу получаем (1.3).2. № 220M . Основная формула ГринаТеорема 2.1.C1 G .Усл.u ∈ C 2 (G)Утв.Справедлива основная фомула Грина:Z Z∂E(x, ξ)∂u(ξ)u(x) =u− E(x, ξ)dSξ + E(x, y) ∆u(y) dy.∂~nξ∂~nξTS(2.1)GДоказательство. Фиксируем произвольную точку x ∈ G и рассмотрим интеграл:Z(E(x, y) ∆y u − u∆y E(x, y)) dy.(i)GМы не имеем права применить вторую формулу Грина (1.3) к этому интегралу непосредственно, поскольку фундаментальное решение E(x, y) не удовлетворяет условию теоремы 1.2 (оноимеет разрыв в точке y = x). Поэтому (аналогично доказательству Интегральной ФормулыКоши из курса ТФКП) мы вырежем точку y = x шариком Br достаточно малого радиуса r,чтобы его граница не пересекала ∂G.
В построенной областиG∗ = G \ Brобе функции u и E удволетворяют условию теоремы 1.2, и кроме того в ней∆y E ≡ 0.c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияC учётом последнего равенства для интеграла (i) по второй формуле Грина, верно соотношение:ZZE(x, y) ∆u(y) dy ≡ (E(x, y) ∆y u − u∆y E(x, y)) dy =∗G∗GZ Z ∂u(ξ)∂E(x, ξ)∂u(ξ)∂E(x, ξ)E(x, ξ)=− u(ξ)dSξ +E(x, ξ)− u(ξ)dSξ .
(ii)∂~n∂~n∂~n−∂~n−S∂BrПод ~n− в последнем интеграле понимается нормаль к сфере ∂Br , являющаяся внешней дляобласти G∗ , но при этом внутренняя для сферы.ξ)наРассмотрим, чему равен предел последнего интеграла (ii) при r → +0. Так как ∂E(x,∂~n−сфере ∂Br равна −Z limr→+0∂Br∂E(x, ξ),∂~rξто∂u(ξ)∂E(x, ξ)E(x, ξ)− u(ξ)dSξ =∂~n−∂~n−ZZ∂u(ξ)∂E(x, ξ)dSξ − limE(x, ξ)dSξ . (iii)= limu(ξ)r→+0r→+0∂rξ∂rξ∂Br∂BrВспомним, что фундаментальное решение( 1ln |ξ − x|,2πE(x, ξ) =− ωn (n−2)1|ξ−x|n−2 ,при n = 2;при n > 3.(2.2)удовлетворяет равенству∂E1=,∂rωn rn−1(где r = |x − ξ|)при всех n > 2.(2.3)ПоэтомуZZ∂E(x, ξ)1limu(ξ)dSξ = limu(ξ) dSξ =r→+0r→+0 ωn r n−1∂rξ∂Br∂Brhi= по теореме о среднем найдётся ξ ∗ ∈ ∂Br : =Zu(ξ ∗ )u(ξ ∗ )dSξ = lim· ωn rn−1 = lim u(ξ ∗ ) = u(x), (iv)= limr→+0 ωn r n−1r→+0r→+0 ωn r n−1∂BrZlimr→+0∂BrZhi∂u(ξ)1∂u(ξ)dSξ = при n = 2 = limln r ·dSξ =E(x, ξ)r→+0 2π∂rξ∂rξ∂Brhi∗= по теореме о среднем найдётся ξ ∈ ∂Br : =Z1∂u(ξ ∗ )1∂u(ξ ∗ )=lim ln r ·dS=limlnr·· 2πr =ξ2π r→+0∂rξ∗2π r→+0∂rξ∗∂Br= limr→+0c Д.С.
Ткаченко-3-∂u(ξ ∗ )· r| {zln r} = 0. (v)∂rξ∗| {z } →0огр.УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияZhi∂u(ξ)limE(x, ξ)dSξ = при n > 2 =r→+0∂rξ∂BrZhi1∂u(ξ)∗dS=потеоремеосреднемнайдётсяξ∈∂B:== − limξrr→+0 ωn (n − 2) r n−2∂rξ∂BrZ11∂u(ξ ∗ )∂u(ξ ∗ )= − limdS=−lim· ωn rn−1 =··ξr→+0 ωn (n − 2) r n−2r→+0 ωn (n − 2) r n−2∂rξ∗∂rξ∗∂Br1∂u(ξ ∗ )= − lim·· r = 0. (vi)r→+0 n − 2∂rξ∗Таким образом, в силу (iv) – (vi) при всех натуральных n > 2 для предела (iii) получаем:Z ∂E(x, ξ)∂u(ξ)− u(ξ)dSξ = u(x).(vii)limE(x, ξ)r→+0∂~n−∂~n−∂BrТеперь перейдём в (ii) к пределу при r → +0 и воспользуемсяRR• тем, что в пределе E(x, y) ∆u(y) dy даст несобственный интеграл E(x, y) ∆u(y) dy,G∗G• полученным равенством (vii).Получаем:Z ZE(x, y) ∆u(y) dy =G∂E(x, ξ)∂u(ξ)E(x, ξ)− u(ξ)∂~n∂~ndSξ + u(x).S3.
Дельта-функция ДиракаОпр. 3.1. Дельта-функцией Дирака называется линейный функционал на множествефинитных (т.е. равных нулю вне некоторой ограниченной области) бесконечно дифференцируемых функций, действующий по законуZδ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0).(3.1)RnУтверждение 3.1.Утв. 1) δ(x) = 0,x 6= 0.Утв.
2) Справедливо равенство: δ(−x) = δ(x).Утв. 3) Пусть ϕ(x) ∈ C(Rn ). Тогда справедлива фомула свёртки:ZZδ(y − x)ϕ(x) dx =Rnc Д.С. Ткаченкоδ(x)ϕ(y − x) dx = ϕ(y).Rn-4-(3.2)УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияДоказательство. 11) Пусть δ(x) > 0 на множестве D ⊂ (Rn \ {0}), имеющем ненулевую n-мерную меру (вдвумерном случае – площадь, в трёхмерном – объём и т.д.). Тогда выберем функцию ϕ(x)так, чтобы она была равна нулю всюду вне D и была неотрицательна и не тожественнымнулём внутри D.
ТогдаZZδ(x)ϕ(x) dx = δ(x)ϕ(x) dx > 0.RnDНо с другой стороны, по определению Дельта-функции,Rδ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0), а по построе-Rnнию ϕ(0) = 0. Полученное противоречие доказывает, что функция δ(x) = 0 почти всюду в Rn ,и не равна нулю в x = 0.2) Сразу следует из первого пукта.Zhi Z3)δ(y − x)ϕ(x) dx = замена переменной: x − y = z = δ(−z)ϕ(y + z)dz =RnRni Z= в силу пункта 2) = δ(z)ϕ(y + z)dz = ϕ(y + z)h= ϕ(y).z=0Rn4. № I.
Уравнение Пуассона для фундаментального решенияУбедиться, что фундаментальное решение E(x) является решением уравнения Пуассона∆E(x) = δ(x),n > 2.(4.1)Равенство (4.1) означает, по определению 3.1, что для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции ϕ(x) справедливо равенствоZ∆E(x)ϕ(x) dx = ϕ(0).(i)RnИзучим интеграл в левой части (i).
Так как ϕ(x) финитна, найдётся шар BR достаточно большого радиуса R, вне которого (а в силу непрерывности ϕ(x), и на границе которого) ϕ(x) ≡ 0.ПоэтомурассматриваемыйинтегралпревращаетсявинтегралпошаруBR = {x ∈ Rn :|x| < R}. Проинтегрируем его по частям дважды по каждой переменной, чтобы перекинуть оператор ∆ на функцию ϕ(x):ZZZ∆E(x)ϕ(x)dx = ∆E(x)ϕ(x)dx = E(x)∆ϕ(x)dx.(ii)RnBRBR1Отметим, что и определение, и доказательства, которые здесь приводятся, не являются достаточно строгими. Для полноценного описания Дельта-функции и её свойств необходимо сначала разобрать теорию интеграла Лебега, затем теорию обобщённых функций (или распределений), которые традиционно не входятв курс математики в МИФИ.
Желающие могут познакомится с этими теориями по книге В.П. Михайлов«Дифференциальные уравнения в частных производных», М., «Наука», 1983 и др.c Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияПри этом мы учли, что интеграл по границе BR , возникающий при интегрировании по частям,равен нулю, так как и сама функция ϕ(x), и все её частные производные (любого порядка)на границе шара равны нулю, а функция E(x) на ней ограничена.Теперь применим основную формулу Грина (2.1):Z Z∂E(x, ξ)∂u(ξ)u(2.1)u(x) =− E(x, ξ)dSξ + E(x, y) ∆u(y) dy,∂~nξ∂~nξSGвзяв в ней G = BR , u(y) = ϕ(y) и x = 0:≡E(0,y)Z z }| {Zϕ(ξ) ∂E(0, ξ) − E(0, ξ) ∂ϕ(ξ) dSξ = ϕ(0) − 0 = ϕ(0).E(y) ∆ϕ(y) dy = ϕ(0) −|{z} ∂~nξ∂~n | {zξ }=0BR∂BR=0Таким образом, с учётом равенства (ii), получаем, что для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции ϕ(x) справедливо равенство (i):Z∆E(x)ϕ(x) = ϕ(0),Rnчто и требовалось доказать.Замечание 4.1.Равенство ∆E(x) = δ(x), доказанное для E(x) ≡ E(0, x), легко обобщить на фундаментальноерешение E(x, y) как функцию двух наборов пространственных переменных:∆x E(x, y) = ∆y E(x, y) = δ(x − y),n > 2.(4.2)В самом деле, функция12π(E(x, y) =−ln |x − y|,1,ωn (n−2) |x−y|n−2при n = 2;при n > 3(2.2)зависит от переменной x только через модуль разности |x − y|.
Обозначив эту разность зановую переменнуюξ =x−yи считая y постоянным, получим:hi∆x E(x, y) = ∆ξ E(ξ, 0) ≡ ∆ξ E(0, ξ) = в силу (4.1) = δ(ξ) = δ(x − y).c Д.С. Ткаченко-6-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияЗамечание 4.2.Вторая формулаT 1 Грина (1.3) была нами доказана только для функций из клас2са C (G) C G . Теперь, когда мы ввели δ-функцию и доказали равенство (4.2)∆x E(x, y) = ∆y E(x, y) = δ(x − y), мы можем распространить эту формулу и на функцию E(x, y).В самом деле, если формально подставить в (1.3)Z Z∂u∂vv(v∆u − u∆v) dy =−udS(1.3)∂~n∂~nSGв качестве функции v фундаментальное решение уравнения Лапласа E(x, y), получим:ZGE(x, y)∆u − u ∆y E(x, y) dy =| {z }=δ(x−y)Z=⇒Z ∂u∂E(x, ξ)E(x, ξ)−udSξ∂~n∂~n=⇒SZ ∂u∂E(x, ξ)E(x, ξ)E(x, y)∆u(y) dy − u(x) =−udSξ .∂~n∂~nSGа последнее равенство есть уже доказаная нами (без привлечения аппарата обобщённых функций) Основная формула Грина (2.1). То есть формальное применение второй формулы Гринак функции E даёт нам справедливое равенство.
И мы будем этим пользоваться в дальнейшем.Вообще, формулы Грина справедливы для некоторых классов обобщённых функций. Но чтобы строго обосновать их надо сначала ввести класс функций, с которым мы будем работать, потом определить, как понимается производная обобщённой функции (и любой дифференциальный оператор),доказать, что обобщённые функции нашего класса имеют сужение на границу S области D, котороетакже принадлежит приемлемому классу (хотя бы, чтобы можно было интегрировать по поверхности).
Это очень большая работа, не входящая в наш курс. Целью приведённых здесь формальныхрешений задач с использованием аппарата обобщённых функций является не сколько-нибудь строгоеего изложение, а лишь иллюстрация этой возможности как таковой.5. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения ЛапласаРассмотрим в n-мерной области D пространства Rn с гладкой границей S = ∂D задачу Дирихле для уравнения Лапласа: TНайти функцию u(x, t) ∈ C 2 (D) C D , удовлетворяющую условиямnP∂2u ∆u ≡= 0,x ∈ D,∂x2j(5.1) j=1 u(x)= ϕ(x),x ∈ S,x∈Sгде ϕ(x) ∈ C(S) – заданная, непрерывная на S функция.Рассмотрим фундаментальное решение уравнения Лапласа( 1ln |ξ − x|,при n = 2;2πE(x, ξ) =− ωn (n−2)1|ξ−x|n−2 ,при n > 3.c Д.С. Ткаченко-7-(2.2)УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
