Семинар 3 для К-6. Формулы Грина. Функция Грина. Дельта - функция Дирака (1127980), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Функция Грина. Дельта функцияОпр. 5.1. Функцией Грина G(x, ξ) задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется функция G(x, ξ), x 6= ξ ∈ D, обладающая сойствами:1) Она имеет видG(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ),где E(x, ξ) – Фундаментальное решение (2.2) уравнения Лапласа, а функция g(x, ξ)гармонична в D как по x, так и по ξ:∆x g(x, ξ) = ∆ξ g(x, ξ) = 0,2)G(x, ξ)G(x, ξ)= 0,x∈Sx, ξ ∈ D.= 0.ξ∈SУтверждение 5.1 (Свойства функции Грина).Усл.G(x, ξ) – функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в D.G(x, ξ) 6 0,x 6= ξ ∈ D;Утв.
1oo2∆x G(x, ξ) = ∆ξ G(ξ, x) = 0,x=6 ξ ∈ D;3oG(x, ξ) = G(ξ, x),x=6 ξ ∈ D.Теорема 5.1 (Представление решения задачи Дирихле при помощи функции Грина).Усл. G(x, ξ) функция Грина задачи Дирихле (5.1).Утв. Решение задачи (5.1) можно представить в виде:Z∂G(x, ξ)u(x) =ϕ(ξ)dSξ ,(5.2)∂~nξSгде ∂~∂nξ – производная по внешней нормали к поверхности S в точке ξ ∈ S,dSξ – элемент площади поверхности S в точке ξ.6. № 227. Функция Грина шараПроверить, что функцияxG(x, y) = E(x, y) − E |x|y,|x|представляет собой функцию Грина задачи Дирихле в шаре |x| < 1.Проверим выполнение требований определения 5.1. В нашем случае в роли функции g(x, y)выступаетx1−ln−|x|yпри n = 2;, 2π|x|x=g(x, y) = −E |x|y,1n−2 ,при n > 3.|x|x ωn (n−2) |x|−|x|y Требование гармоничности g(x, y).Гармоничность по y.c Д.С.
Ткаченко-8-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияПри n = 2 функция xx1x1g(x, y) = −E |x|y,=−ln − |x|y = z = 2 = −(ln |z − y| + ln |x|) .|x|2π|x||x|2πТак как ln |z − y| – гармоническая по y, то и g(x, y) тоже гармонична по y.При n > 3 функция1x1x1=.g(x, y) = −E |x|y,·n−2 = z = 2 =n−2x|x||x|ωn (n − 2)|x||z − y|n−2ωn (n − 2) |x|− |x|y Так как |z−y|1 n−2 – гармоническая по y, то и g(x, y) тоже гармонична по y.Гармоничность по x.Докажем вспомогательное равенство: yx−|x|y=−|y|x |y| |x|(i)Оно следует сразу из способа вычисления модуля разности векторов: r r 2 ~a − ~b ~a − ~b = |~a|2 − 2 ~a, ~b + ~b ,~a − ~b =yxтак как для обоих векторов |x|− |x|y и |y|− |y|x модуль будет равен x y p22 |x| − |x|y = |y| − |y|x = |x| |y| − 2(x, y) + 1.Это означает, что функция g(x, y) = g(y, x) – симметрична.
Поэтому∆x g(x, y) = ∆y g(y, x) = ∆y g(x, y) = 0.Равенство нулю на границе.Рассмотрим G(x, y) при |x| = 1: x hi− E y,G(x, y)= E(x, y)= в силу симметричности E(x, y) = 0.1 |x|=1|x|=1|x|=1(ii)При |y| = 1 равенство нулю G(x, y) следует из симметричности как E(x, y), так и g(x, y) иравенства (ii).Таким образом, все требования определения 5.1 выполнены.7. № 221. Симметричность функции ГринаДоказать симметричность функции Грина, то есть справедливость равенства:G(x, y) = G(y, x).Доказательство.
Фиксируем произвольным образом пару несовпадающих точек x ∈ D иy ∈ D и применим вторую формулу Грина2Z Z ∂u(z)∂v(z)v(z)∆z u(z) − u(z)∆z v(z) dz =v(z)− u(z)dSz .(1.3)∂~nz∂~nzD2SСм. замечание 4.2, стр. 7.c Д.С. Ткаченко-9-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияк функциям G(x, z) и G(y, z):Z G(x, z)∆z G(y, z) − G(y, z)∆z G(x, z) dz =DZ ∂G(y, z)∂G(x, z)G(x, z)=− G(y, z)dSz . (i)∂~nz∂~nzSИнтеграл в правой части равен нулю, так как G(y, z)= G(x, z)= 0:z∈Sz∈SZG(x, z) · ∂G(y, z) − G(y, z) · ∂G(x, z) dSz = 0.| {z }| {z }∂~nz∂~nzS=0(ii)=0Рассмотрим первое слагаемое левой части (i).Zhi ZG(x, z)∆z G(y, z) dz = в силу результата № I = G(x, z) δ(y − z) dz = G(x, y).
(iii)DDЗаметим, что мы имеем право пользоваться результатом № I, посколькуRG(x, z)∆z G(y, z) dzDможно разбить на сумму интегралов по областям, одна из которых содержит точку x, а вторая– точку y. Тогда в первой области (не содержащей z = y)∆z G(y, z) ≡ 0,а во второй области, не содержащей z = x, функция G(x, z) бесконечно дифференцируема итам применимо утверждение из № I.Аналогично, рассмотрим второе слагаемое левой части (i).Zhi− G(y, z)∆z G(x, z) dz = в силу результата № I =DZ=−G(y, z) δ(x − z) dz = −G(y, x).
(iv)DОбъединяя результаты (i) – (iv), получаемG(x, y) − G(y, x) = 0.8. № 219Для гармонических в области D функций u(x) и v(x) класса C 2 (G)ведливость равенства:Z ∂u(y)∂v(y)v(y)− u(y)dSy = 0.∂~ny∂~nyTC 1 G доказать спра-SДоказательство. Применим вторую формулу ГринаZ Z ∂u(y)∂v(y)v(y)∆u(y) − u(y)∆v(y) dy =v(y)− u(y)dSy∂~ny∂~nyD(1.3)Sи воспользуемся гармоничностью функций u(x) и v(x), из которой сразу следует равенствонулю интеграла левой части (1.3).c Д.С.
Ткаченко-10-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функция9. № 226. Решение задачи Дирихле при помощи функцииГринаДоказать теорему 5.1:Теорема 5.1Усл. G(x, ξ) – функция Грина задачи Дирихле (5.1).Утв. Решение задачи (5.1) можно представить в виде:Z∂G(x, ξ)ϕ(ξ)dSξ .u(x) =∂~nξ(5.2)SДоказательство. Выпишем вторую формулу Грина:Z Z∂u∂vv(v∆u − u∆v) dx =−udS.∂~n∂~n(1.3)SDИ применим её к функциям u и g:ZZ ∂u(ξ)∂g(ξ, y)g(x, y)∆x u(x) − u(x)∆x g(x, y) dx =g(ξ, y)− u(ξ)dSξ .| {z }| {z }∂~nξ∂~nξD=0=0SОтсюдаZ ∂u(ξ)∂g(ξ, y)g(ξ, y)0=− u(ξ)dSξ .∂~nξ∂~nξ(i)SТеперь вспомним основную формулу Грина:Z Z∂u(ξ)∂E(x, ξ)u(x) =− E(x, ξ)dSξ + E(x, y) ∆u(y) dy.u(ξ)| {z }∂~nξ∂~nξSGВычтем равенство (i) из (2.1) и учтём, что G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).Z ∂u(ξ)∂G(x, ξ)− G(x, ξ)u(x) =u(ξ)dSξ .∂~nξ∂~nξ(2.1)=0(ii)SОсталось вспомнить, что в силу краевого условия u(ξ) = ϕ(ξ) при ξ ∈ S, а в силу определенияфункции Грина G(x, ξ) = 0 при ξ ∈ S.
В итоге получаем:Z∂G(x, ξ)u(x) =ϕ(ξ)dSξ .(5.2)∂~nξS10. № 228Пользуясь функцией Грина, вывести формулу ПуассонаZ11 − |x|2u(x) =· ϕ(ξ)dSξ ,ωn|ξ − x|n|ξ|=1дающую решение задачи Дирихле (5.1) в шаре D = {|x| < 1}c Д.С. Ткаченко-11-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияДоказательство. В номере № 227 мы убедились, что выражениеxG(x, ξ) = E(x, ξ) − E |x|ξ,|x|(i)даёт функцию Грина задачи (5.1) в шаре. Чтобы применить формулу (5.2), нам надо вспомнить, что( 1ln |ξ − x|,при n = 2;2πE(x, ξ) =(2.2)− ωn (n−2)1|ξ−x|n−2 ,при n > 3,и посчитать∂G(x, ξ)∂~nξпри |ξ| = 1.xk n |x|ξ|x|ξ−Xkk|x|∂G(x, ξ)1ξk (ξk − xk )n=−=nx ∂~nξωn k=1 |ξ − x||x|ξ−|x| x при |ξ| = 1 верно равенство |ξ − x| ≡ |x|ξ − |x| , так как p px = |x|ξ − |x| = |x|2 |ξ|2 − 2(ξ, x) + 1 = |x|2 − 2(ξ, x) + 1,pp|ξ − x| = |ξ|2 − 2(ξ, x) + |x|2 = 1 − 2(ξ, x) + |x|2 .n X1xk1·ξk (ξk − xk ) − |x|ξk |x|ξk −·==ωn |ξ − x|n k=1|x|=nnX 21 1 − |x|2 X 2112ξ (1 − |x| ) − ξk xk + ξk xk =ξ ==····ωn |ξ − x|n k=1 kωn |ξ − x|n k=1 k=1 1 − |x|21 1 − |x|22·|ξ|=.··ωn |ξ − x|nωn |ξ − x|n11.
№ 232Показать справедливость тождества12πZ2π1 − |x|2dψ = 1,|ξ − x|n0где x = (x1 , x2 ) – точка круга |x| < 1, а ξ = (cos ψ, sin ψ) –точка окружности |ξ| = 1.Доказательство. Воспользуемся формулой Пуассона (номер № 228) решения задачи Дирихлев круге с функциями u(x) ≡ 1 и ϕ(ξ) ≡ 13 .Z11 − |x|21=· 1 · dSξ ,(i)2π|ξ − x|n|ξ|=13Очевидно, функция u(x) ≡ 1 явлется решением задачи Дирихле в круге с граничным условием ϕ(ξ) ≡ 1.c Д.С.
Ткаченко-12-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияТеперь осталось использовать параметризацию ξ = (cos ψ, sin ψ) окружности |ξ| = 1, чтобынайти dSξ . Дифференциал дуги, заданной параметрическими равенствамиξ1 (ψ) = cos ψ,при ψ ∈ [0, 2π),ξ2 (ψ) = sin ψ,вычисляется по формуле:qpdSξ = (ξ10 (ψ))2 + (ξ20 (ψ))2 dψ = (− sin ψ)2 + (cos ψ)2 dψ = dψ.Отсюда и получаем требуемую формулу12πZ2π1 − |x|2dψ = 1.|ξ − x|n012. № II. Дельта-функция и одномерное уравнение колебанийУбедиться, что функцияθ(at − |x|)E(x, t) =≡2a0,1,2aat 6 |x|;at > |x|.является решением одномерного уравнения колебанийEtt (x, t) − a2 Exx (x, t) = δ(x, t).(12.1)Равенство (12.1) означает, по определению 3.1, что для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции ϕ(x, t) справедливо равенствоZ+∞ Z+∞2Ett (x, t) − a Exx (x, t) ϕ(x, t) dx dt = ϕ(0, 0).(i)−∞ −∞Изучим интеграл в левой части (i). Так как ϕ(x, t) финитна, найдётся круг BR достаточнобольшого радиуса R, вне которого (а в силу непрерывности ϕ(x, t), и на границе которого)ϕ(x, t) ≡ 0.
Проинтегрируем по частям дважды по каждой переменной, чтобы перекинутьоператор левой части на функцию ϕ(x, t):Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞2Ett (x, t) − a Exx (x, t) ϕ(x, t) dx dt =ϕtt (x, t) − a ϕxx (x, t) E(x, t) dx dt.−∞ −∞2−∞ −∞(ii)При этом мы учли, что интеграл по границе BR , возникающий при интегрировании по частям,равен нулю, так как и сама функция ϕ(x, t), и все её частные производные (любого порядка)на границе шара равны нулю, а функция E(x, t) на ней ограничена.Теперь воспользуемся определением функции E(x, t) – тем, что она обращается в нуль в частиплоскости, где at < |x| и рассмотрим отдельно интеграл от каждого слагаемого в (ii):c Д.С.
Ткаченко-13-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияПервое слагаемое:Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞Z+∞t=+∞11ϕtt (x, t)E(x, t) dx dt =ϕtt (x, t) dt dx =ϕt (x, t) |x| dx =2a2at= a−∞ −∞−∞−∞|x|aZ+∞hi1= ϕt (x, +∞) = 0 в силу финитности ϕ = −ϕt (x, t) |x| dx =2at= a−∞Z+∞Z011ϕt (x, t) x dx −ϕt (x, t) −x dx ==−2a2at= at= a−∞0Учтём связь между переменными x и t в полученных интегралах и произведём замену x = ±at:1−2aZ+∞ϕt (x, t)0t= xa1dx −2aZ0−∞ϕt (x, t)t= −xadx =1=−2Z+∞ϕt (x, t)x=at1dt −2Z+∞ϕt (x, t)0dtx=−at0Итак:Z+∞ Z+∞Z+∞Z+∞11ϕtt (x, t)E(x, t) dx dt = −dt −dt.ϕt (x, t)ϕt (x, t)22x=atx=−at−∞ −∞0(iii)0Второе слагаемое:Z+∞ ZatZ+∞ Z+∞hia−aϕxx (x, t) dx dt =ϕxx (x, t)E(x, t) dx dt = так как E ≡ 0 при t < 0 = −220 −at−∞ −∞Z+∞Z+∞Z+∞x=ataaa=−ϕx (x, t)dt = −ϕx (x, t)dt +ϕx (x, t)dt.222x=−atx=atx=−at−∞00Итак:Z+∞Z+∞Z+∞ Z+∞aa− a2ϕxx (x, t)E(x, t) dx dt = −ϕx (x, t)dt +ϕx (x, t)dt.22x=atx=−at−∞ −∞c Д.С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
