Семинар 5 для К-6. Объёмный потенциал (1127982)
Текст из файла
УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциал1. Объёмный потенциал. Определение и свойства№ 260M , 261, 268M , 267, I, 263, 270, 269∗ .Вспомним, что мы называем фундаментальным решением уравнения Лапласа в nмерном пространстве функцию:( 1ln |ξ − x|,при n = 2;2πE(x, ξ) =(1.1)− ωn (n−2)1|ξ−x|n−2 ,при n > 3.Теперь мы можем дать определение объёмного потенциала.Опр. 1.1.
Объёмным потенциалом (потенциалом объёмных масс) с плотностью µ(ξ)в ограниченной области D называется функция:Z(1.2)u(x) = E(x, ξ)µ(ξ)dξ.DОпр. 1.2. Ньютоновым объёмным потенциалом с плотностью µ(ξ) в ограниченной области D мы будем называть функцию:ZuN (x) = EN (x, ξ)µ(ξ)dξ,(1.3)DгдеEN (x, ξ) = − ωn E(x, ξ) −(1.4)обычный Ньютонов потенциал (см. Семинар К - 6 - 2, SemK17.pdf, раздел 1.3).Замечание 1.1 (Физический смысл).С учётом физического смысла Ньютонова потенциала (см. Семинар К - 6 - 2, SemK17.pdf,раздел 1.3) Ньютонов объёмный потенциал означает• в 3-мерном случае потенциал электрического поля, созданного заряженным телом D сплотностью зарядов µ(ξ), либо гравитационного поля, созданного телом D с плотностьюмасс µ(ξ);• в 2-мерном случае потенциал электрического поля, созданного заряженным бесконечным вдоль оси ξ3 цилиндром с сечением D с плотностью зарядов µ(ξ1 , ξ2 ) (не зависящейот координаты ξ3 ), либо гравитационного поля, созданного таким цилиндром с плотностью масс µ(ξ1 , ξ2 ).c И.В.
Тихонов, Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциалУтверждение 1.1 (Свойства объёмного потенциала).D ∈ Rn – ограниченная область сTкусочно-гладкойграницей. Функция u(x) задаётся1фомулой (1.2), где µ(ξ) ∈ C (D) C D .Усл.Утв. 1.∞,0,lim u(x) =|x|→∞0,n = 2,при µ(ξ) :n = 2,при µ(ξ) :RDRµ(y)dy 6= 0;µ(y)dy = 0;Dn > 3.Утв. 2. Функция u(x) ∈ C 1 (Rn ) и равенство (1.2) можно дифференцировать по x (1 раз),беря производную в правой части под знаком интеграла.Вторые производные потенциала u(x) при переходе через границу терпят разрывµ(x0 )∂ 2 u ∂ 2 u −=.(1.5)∂x2k x∈D∂x2k x∈Rn \Dnx→x0 ∈Sx→x0 ∈SВ важном частном случае, когда u = u(r), формула (1.5) принимает видd2 u d2 u −= µ(x0 ).22nx∈Ddrdr x∈R \Dx→x0 ∈S(1.6)x→x0 ∈SУтв.
3. Функция u(x) является решением уравнения Пуассонаµ(x),x ∈ D;∆u(x) =0,x 6∈ D.(1.7)Утв. 4. ФункцияZv(x) =G(x, ξ)µ(ξ)dξ,(1.8)D(где G(x, ξ) – функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в D) являетсярешением задачи Дирихле для уравнения Пуассона(∆v(x)x ∈ D; = µ(x),(1.9)v(x)= 0,x ∈ S = ∂D.x∈∂DУтв. 5. Если плотность µ зависит только от r =u(x) также есть функция только r:px21 + .
. . + x2n ,то объёмный потенциалu = u(r).Доказательство.1.При x 6∈ D функция E(x, ξ) непрерывна по ξ на D. По теореме о среднем, найдётсяc И.В. Тихонов, Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциалξ ∗ ∈ D такая, чтоZ∗E(x, ξ)µ(ξ)dξ = E(x, ξ )u(x) =DD12πln |ξ ∗ − x| ·Rµ(ξ)dξ,Rµ(ξ)dξ = − ωn (n−2) 1|ξ∗ −x|n−2 · µ(ξ)dξ,Zпри n = 2;Dпри n > 3.DВ силу ограниченности области D, при |x| → ∞ и произвольной ξ ∗ ∈ D выражение |x − ξ ∗ |стремится к ∞. Поэтому в двумерном случае в пределеR• при µ(y)dy 6= 0 из-за ln |ξ ∗ − x| → ∞ получим ∞,D• приRµ(y)dy = 0 получим 0,Dа в трёх- и более мерном случае – из-за ωn (n−2) 1|ξ∗ −x|n−2 → 0 имеем нуль (так как интеграл отограниченной µ ограничен).2.
Не вдаваясь в подробности, скажем, что факт u(x) ∈ C 1 (Rn ) следует из общей теориинесобственных интегралов. (Интересующемуся читателю порекомендуем почитать, например,§1.1, пункт 4, книги Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики// Москва, Физматлит, 2000.)В свою очередь, факт скачка вторых производных доказывается так: вычисляется 2-я производная внутри D путём вырезания маленького шарика вокруг точки x и устремления диаметра этого шарика к нулю, в результате чего получаетсяZ∂ 2 E(x, y)µ(x)∂ 2 u(x) =v.p.,x ∈ D.(i)µ(y)dy +2 2∂xk x∈D∂xknDЗатем вычисляется 2-я производная вне D, там у E нет особенностей, поэтому дифференцировать можно по параметру под знаком интеграла:Z∂ 2 u(x) ∂ 2 E(x, y)=dy,x ∈ Rn \ D.(ii)µ(y)∂x2k x∈Rn \D∂x2kDТребуемая формула (1.5) получается, если в двух последних равенствах устремить x → x0 ∈ Sи вычесть (ii) из (i).
(Подробный вывод формулы (i) в случае n = 3 приведён, например, вкниге Самарский А. А., Тихонов А. Н. Уравнения математической физики// Москва,изд. МГУ, 1999, Гл. IV, §5, п. 5, стр. 363 – 366.)Формула (1.6) получается для u = u(r) из равенстваnXn−1 0u (r) ≡uxk xk ,∆u(r) = u (r) +rk=100откуда внутри тела получаемu00 (r) +n−1 0u (r) = µ(x),rа вне телаn−1 0u (r) = 0.rУстремляя теперь x → x0 ∈ S, получим в силу (1.5):n − 1 0 n − 1 0 0000u (r)+u (r)− u (r)|−u (r)x∈Dx∈Drrx∈Rn \Du00 (r) +x→x0 ∈Sc И.В. Тихонов, Д.С. Ткаченкоx→x0 ∈Sx→x0 ∈S-3-= µ(x0 ).x∈Rn \Dx→x0 ∈SУМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциалОсталось вспомнить, что первая производная u0 (r) непрерывна в Rn , и мы получаемu00 (r)− u00 (r)= µ(x0 ).x∈Dx∈Rn \Dx→x0 ∈Sx→x0 ∈S3.
Требуемые равенства сразу следуют из формул (i) и (ii), если их просуммировать по kот 1 до n. Но мы выведем их иначе, чтобы ещё раз проиллюстрировать применение аппарататеории обощённых функций и пользу доказанного нами в № I Семинара К 6 – 3 равенства∆E(x, ξ) = δ(x − ξ),n > 2.(1.10)Применим к равенству (1.2) оператор Лапласа:ZZ∆x u(x) = ∆x∆x E(x, ξ)µ(ξ)dξ =E(x, ξ)µ(ξ)dξ =DDhZiδ(x − ξ)µ(ξ)dξ = µ(x).= в силу (1.10) =D(Вопрос о правомерности дифференцирования несобственного при x ∈ D интеграла по параметру, как требующий объёмного дополнительного исследования, мы рассматривать не станем. И заметим, что именно в этом местенам потребовалась непрерывная дифференцируемость µ(ξ).
Для функций µ(ξ) ∈ C D равенство ∆u(x) = µ(x), x ∈ D может быть неверно.)Заметим, что полученная формула даёт нам ответ сразу и при x ∈ D, и при x 6∈ D, так кактам плотностьµ(x) ≡ 0,x 6∈ D.4.Вспомним, чтоФункцией Грина G(x, ξ) задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется функция G(x, ξ), x 6= ξ ∈ D, обладающая сойствами:1) Она имеет видG(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ),где E(x, ξ) – Фундаментальное решение уравнения Лапласа, а функцияg(x, ξ) гармонична в D как по x, так и по ξ:x, ξ ∈ D.∆x g(x, ξ) = ∆ξ g(x, ξ) = 0,G(x, ξ)2)G(x, ξ)= 0,x∈S= 0.ξ∈SАналогично пункту 2.
применим к равенству (1.8) оператор Лапласа:ZZG(x, ξ)µ(ξ)dξ ≡ ∆x∆x v(x) = ∆xD(E(x, ξ) + g(x ξ)) µ(ξ)dξ =DZ=Z∆x E(x, ξ)µ(ξ)dξ +D∆x g(x, ξ) µ(ξ)dξ =| {z }=0Dhi Z= в силу (1.10) = δ(x − ξ)µ(ξ)dξ + 0 = µ(x).Dc И.В. Тихонов, Д.С. Ткаченко-4-УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциалПоэтому функцияv(x) есть решение того же уравнения Пуассона ∆v(x) = 0. А граничноеусловие v(x)= 0 сразу следует из пункта 2) определения функции Грина:x∈∂DG(x, ξ)5.G(x, ξ)= 0,x∈S= 0.ξ∈SСм. № I, стр.
13Вспомним, что в силу № 226 (Семинар К 6 – 3, SemK18.pdf), решение задачи Дирихле(∆u =x ∈ D, 0,(1.11)u(x)= ϕ(x),x∈Sx∈Sпредставляется в виде:Zu(x) =∂G(x, ξ)ϕ(ξ)dSξ ,∂νξ(1.12)SОбъединив этот результат с только что доказанными равенствами (1.9), получаем:Утверждение 1.2 (Решение I-ой краевой задачи для уравнения Лапласа).Усл.D ∈ Rn – ограниченная область с кусочно-гладкой границей.
Функция G(x, ξ) –функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в D.Утв.ФункцияZu(x) =ZG(x, ξ)f (ξ)dξ +D∂G(x, ξ)ϕ(ξ)dSξ∂νξ(1.13)Sявляется решением I-ой краевой задачи для уравнения Пуассона(∆u(x)x ∈ D; = f (x),u(x)= ϕ(x),x ∈ S = ∂D.(1.14)x∈∂D2. № 260MПоказать справедливость равенствZ∂E(x, y)1,dsx =0,∂~nxy ∈ D;y ∈ Rn \ D.(2.1)Sгде D – любая ограниченная область Rn с гладкой границей S.1.Рассмотрим y ∈ D. По основной формуле ГринаZ Z∂E(x, ξ)∂u(ξ)u(x) =u− E(x, ξ)dSξ + E(x, y) ∆u(y) dy,∂~nξ∂~nξSDвзяв u(x) ≡ 1, немедленно получаем:Z1=∂E(x, ξ)dSξ .∂~nξSc И.В. Тихонов, Д.С. Ткаченко-5-(2.2)УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала.
Объёмный потенциалВ силу симметричности функции Грина, и переименовав x в y, а ξ в x, получим требуемоеравенство при y ∈ D.2. Рассмотрим y ∈ Rn \ D. По второй формуле ГринаZ Z∂u∂vv(v∆u − u∆v) dx =−udS,(2.3)∂~n∂~nSDприменённой к u ≡ 1 и v(x, y) = E(x, y), в силу гармоничности E(x, y) всюду, кроме точекx = y, получим:ZZ∂(1)∂E(ξ, y) v ∆(1) − ∆x E(x, y) dx = −E(ξ, y) dS,| {z }| {z }∂~n|∂~{zn}=0DоткудаRS∂E(x, y)∂~nx=0S=0dsx = 0 при y ∈ Rn \ D.3.
№ 261. Формула ГауссаДля потенциала u(x) объёмных масс, распределённых по области D ⊂ Rn с плотностьюµ(x), доказать справедливость формулы ГауссаZZ∂u(x)dSx =µ(y)dy,(3.1)∂~nxTSDGгде G – любая ограниченная область Rn с гладкой границей S.Подставим вRSZ∂u(x)dSx =∂~nxS∂u(x)∂~nxZdsx функцию объёмного потенциала u(x) =E(x, y)µ(y)dy:DZ∂∂~nxSRZ ZE(x, y)µ(y)dy dSx =ZD=SZµ(y)dyD∂E(x, y)µ(y)dy dSx =∂~nxDZhi∂E(x, y)dSx = в силу формулы (2.1) =∂~nxSµ(y)dy.DTGЗамечание 3.1.При совпадающих областях D = G формула Гаусса принимает вид формулы Гаусса – Остроградского:ZZ∂u(x)dSx = ∆u(y)dy.∂~nxD∂DОднако у неё более широкая область применимости, ведь области D и G могут располагатьсядруг относительно друга практически произвольным образом.4.
№ 268MПоказать, что функцияu(x, y, z) =c И.В. Тихонов, Д.С. Ткаченкоr26−R2,2−R3,3rr 6 R,(4.1)-6-r > R,УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциалгде r2 = x2 + y 2 + z 2 , является потенциалом u(x, y, z) объёмных масс, распределённых пошару r < R с плотностью µ = 1a) решая уравнение Пуассона ∆u = µ,б) применяя формулу Гаусса.а) Воспользуемся свойством 5. объёмного потенциала.
Поскольку данная нам функцияµ есть функция только радиуса r, то и искомый потенциал будет функцией от r:u = u(r).А так как оператор Лапласа в этом случае и для n = 3 имеет вид∆u(r) =1 2 r ur r ,r2то общее решение ОДУ1 2 0 0r u (r) = 0,r > R,r2как мы убедились при выводе фундаментального решения (Sem17.pdf),∆u =u=c1+ c2 ,rr > R.(i)Теперь найдём общее решение внутри шара:∆u =1 2 0 0r u (r) = 1,r2r < R.Домножаем на r2 и интегрируем первый раз:0r2 u0 (r) = r2 ,откуда u0 (r) =r3+3r2=⇒r2 u0 (r) =r3+ c3 ,3и, наконец,u=r2c3−+ c4 ,6rr < R.(ii)Осталось найти значения констант, для которых выполяняются свойства 2.
– 3. объёмногопотенциала, то есть1) u(r) → 0 при r → ∞,2) u(r) была непрерывна при r = R и ограничена при r 6 R (это следует из непрерывностиu в D),3) u0 (r) была непрерывна при r = R,1) Требование u(r) ≡c1r+ c2 → 0 при r → ∞ сразу даёт намc2 = 0.2) Непрерывность u(r) при r = R означает (с учётом (iv))R2c3c1−+ c4 = ,6RRc И.В. Тихонов, Д.С. Ткаченко-7-(iv)УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
