Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984)
Текст из файла
Глава 1.Цилиндрические функции1.1. Краткое введениеУравнение Бесселя на промежутке (0, 1)x2 Z00 (x) + xZ0 (x) + x2 − ν 2 Z(x) = 0.(1.1.1)Всякое решение уравнения Бесселя называется цилиндрической функцией.Опр. 1.1.1. ФункцияJν (x) =∞Xk=0 x 2k+ν(−1)k·Γ(k + ν + 1)k!2(1.1.2)называется функцией Бесселя порядка ν и является на промежутке (0, 1) решениемуравнения (1.1.1).Есть и другие цилиндрические функции.Опр. 1.1.2. Функции Неймана:1[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)ν 6∈ Z;(1.1.3)1 ∂Jν (x)n ∂J−ν (x)Nn (x) =− (−1),π∂ν∂νν=nn ∈ Z.(1.1.4)Nν (x) =Функции Ханкеля I-го рода и II-го рода:Hν(1) (x) = Jν (x) + iNν (x)(1.1.5)Hν(2) (x)(1.1.6)= Jν (x) − iNν (x)Модифицированные функции Бесселя и Ханкеля:Iν (x) = e−πiν2πiKν (x) = e 2 ν Hν(1) (ix).Jν (ix),1(1.1.7)Глава 1Теорема 1.1.1.Утв.Фундаментальную систему решений (ФСР) уравнения Бесселя (1.1.1) образуеткаждая из пар функций: (1){Jν (x), Nν (x)} ,Hν (x), Hν(2) (x)и, в случае, когда ν 6∈ Zпри n ∈ Z{Jν (x), J−ν (x)}J−n (x) = (−1)n JnСледствие 1.1.1.Утв.Общее решение уравнения Бесселя (1.1.1) задаётся каждой из формулZν (x) = c1 Jν (x) + c2 Nν (x) = c3 Hν(1) (x) + c4 Hν(2) (x),Zν (x) = c5 Jν (x) + c6 J−ν (x)ν ∈ R.ν 6∈ Z.1.1.1.
Рекуррентные формулы для цилиндрических функцийДля функций Бесселя и Неймана имеют место следующие рекуррентные формулы:νZ0ν (x) = −Zν+1 (x) + Zν (x).xνZ0ν (x) = Zν−1 (x) − Zν (x),x(1.1.8)Их можно также переписать в виде: −ν 0x Zν (x) = −x−ν Zν+1 (x).[xν Zν ]0 (x) = xν Zν−1 (x),(1.1.9)Если из второй формулы (1.1.8) вычесть первую, получим ещё одно соотношение:Zν+1 (x) −2νZν (x) + Zν−1 (x) = 0.x(1.1.10)Для функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком ν = n ∈ Z верно равенствоZ−n (x) = (−1)n Zn (x),n ∈ Z.(1.1.11)Кроме приведённых формул, нам также понадобится соотношение, из которого, в частности,следует часть утверждений теоремы 1.1.1.Утверждение 1.1.1 (Вронскиан функций Бесселя и Неймана).Утв. J (x) Nν (x)W [Jν , Nν ] (x) = ν0Jν (x) Nν0 (x)-2-= 2 πx(1.1.12)Цилиндрические функции1.1.2.
Интегральные формулы для функций БесселяИмеют место следующие интегральные формулы:ZxtJν (αt)Jν (βt)dt =α2x− β2Интегралы Ломмеля:αJν+1 (αx)Jν (βx) − βJν (αx)Jν+1 (βx) ,α 6= β,(1.1.13)0222Zx x21ν202t Jν (αt) dt =αJν (αx) +x − 2Jν (αx) ,22αν > −1.(1.1.14)0Имеют место и более общие формулы:Zba br µk Z(µm r)Z0 (µk r) − µm Z(µk r)Z0 (µm r) arZ(µk r)Z(µm r)dr =;µ2m − µ2kkZ(µr)k2 =Zb1rZ(µr)dr =2"ν2r2 − 2µ(1.1.15)r=br=b #2Z2 (µr).+ r2 (Z0 ) (µr)a(1.1.16)r=ar=aгде Z(x) – произвольные решения уравнения Бесселяν2(xZ ) + x −x0 0Z = 0.1.1.3. Поведение функций Бесселя и НейманаТеорема 1.1.2 (Поведение в окрестности нуля).∞,ν < 0, ν 6∈ Z;Утв.0,ν < 0, ν ∈ Z;Jν (+0) =1,ν = 0;0,ν > 0;Nν (+0) = ∞,ν ∈ R; .Доказательство.
См. стр. 235.1.1.4. Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]Опр. 1.1.3. Через M мы будем обозначать следующий класс функций:Lν (u)√ ∈ L2 (0, R).ru(r) ∈ C 2 (0, R];c Д.С. Ткаченко-3-Глава 1Опр. 1.1.4. Задачей Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R] мы будемназывать задачу:Найти числа λ и функции 0 6≡ u(r) ∈ M из условий:20 0r ∈ (0, R), ν > 0;) + νr u = λru, −(ruu(+0) < ∞;(1.1.17)0αu(R) + βu (R) = 0,α, β > 0, α + β > 0.При этом функции u 6≡ 0 называются собственными функциями задачи ШтурмаЛиувилля, а числа λ – собственными числами задачи Штурма-Лиувилля.Теорема 1.1.3.Утв.1.
Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.Утв.2. Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и толькотогда, когда ν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(r) ≡ const.Теорема 1.1.4.Утв.Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие им собственные функции имеют вид:"#!(ν) 2(ν)µkµk r(ν)λk =,Jν,k ∈ N,RR(ν)где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.Теорема 1.1.5.Утв.
1. Функция√r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√r ϕ(r) =∞Xαkν√r Jνk=1αkν1=21Jν0 (µνk ) + 12 1 −2ν22[µνk ]Jν2(µνk )µνk rR1· 2·R(ν)где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.-4-,ZRrϕ(r)Jν0(1.1.18)µνk rRdr,Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a, b]Утв. 2. В случае α = ν = 0, функция√√r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)r ϕ(r) =α00√r+∞Xαk0k=12α00 = 2RZRrϕ(r)dr,0√µ rk,r J0R2αk0 = 2J1 (µk ) + J0 (µk )| {z }(1.1.19)1· 2·2 RZRrϕ(r)J0µ rkdr.R0=0где µk – положительные корни уравнения J1 (µ) = 0.√Заметим, что в формуле (1.1.18) можно (и нужно) сократить на r.
Зачем же его писать? Этоделается для того, чтобы разлагаемая функция, даже если она будет неограничена в окрестности нуля, попал в нужный класс, то есть в класс функций, для которых справедлив аналогтеоремы Стеклова, и ряд (1.1.18) сходился равномерно даже в окрестности нуля.1.1.5. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a, b]Теорема 1.1.6 (Аналог теоремы В.А.
Стеклова).Усл.{Zk }∞k=1 – ортогональная система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля.Утв.∀f (x) ∈ C 2 [a, b], удовлетворяющей краевым условиям,f=∞X∃{ck }∞k=1 :ck Zk (x),k=1причём последний ряд сходится к f (x) абсолютно и равномерно на [a, b], а для ckверно представлениеRbxf (x)Zk (x)dx(f, Zk )ack ==.Rb 2kZk k2xZk (x)dxaТеорема 1.1.7.Усл.Функция Z(x) есть решение на промежутке x ∈ (a, b) уравненияx2 Z00 + xZ0 + x2 − ν 2 Z = 0.µk – положительные решения уравнения α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a) α2 Jν (µ b) + β2 µJν0 (µ b) α2 Nν (µ b) + β2 µNν0 (µ b)c Д.С.
Ткаченко-5- = 0.(1.1.20)Начально – краевые задачи в кругеУтв. 1 Каждая из функций Xk (r) = Z(µk r), k = 1, ∞ является решением задачи Штурма–Лиувилля02a < r < b; − rX0k (r) + νr Xk (r) = µ2k rXk (r),0(1.1.21)α X (a) + β1 Xk (a) = 0, 1 k0α2 Xk (b) + β2 Xk (b) = 0.При этом функция Xk (r) имеет вид00Xk (r) = α1 Nν (µk a) + β1 µk Nν (µk a) Jν (µk r)− α1 Jν (µk a) + β1 µk Jν (µk a) Nν (µk r).Утв. 2kZ(µr)k2 =Zb1rZ2 (µr)dr =2"ν2r2 − 2µr=br=b #2.Z2 (µr)+ r2 (Z0 ) (µr)r=aar=aУтв. 3Z(µk r), Z(µm r) = 0,k 6= m.1.2.
№ 769.Найти ограниченную функцию u(r, t) из условий∂∂u2 1u=a··r,ttr∂r∂ru(r, 0) = ϕ(r),u (r, 0) = ψ(r), t|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = 0,0 6 r < R, t > 0;0 6 r < R;0 6 r < R;t > 0.(1.2.1)Заметим, что в правой части уравнения стоит оператор Лапласа в полярных координатах дляслучая u ≡ u(r, t), поскольку в координатах (r, θ) он имеет вид:1 ∂∂u1 ∂2u∆u(r, θ; t) = ·r+ 2 2.(1.2.2)r ∂r∂rr ∂θПоэтому данная задача имеет физический смысл «найти поперечные колебания круглой мембраны, вызванные начальным отклонением ϕ(r) и начальной скоростью ψ(r)».Шаг 1.
Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.2.1) в видеu(r; t) =∞XXk (r)Tk (t),k=...то, подставив (1.2.3) в уравнение utt = a2 · 1r ·∞Xk=...Xk (r)T00k (t)∂∂rr ∂u, получим:∂r∞X1 ∂∂Xk (r)=a·rTk (t).r∂r∂rk=...2Это равенство заведомо верно, если ряды в левой и правой частях равны почленно:a2 ∂∂Xk (r)00Xk (r)Tk (t) =·rTk (t),∀k.r ∂r∂r-6-(1.2.3)1.2. № 769.Поделив последнее равенство на a2 Xk (r)Tk (t), получим:∂Xk (r)∂1·r00r ∂r∂rTk (t)=.2a Tk (t)Xk (r)Левая часть зависит только от t, правая – от r, следовательно равны они могут быть тольков случае, когда ∃λk ∈ R :∂Xk (r)∂1·r00r ∂r∂rTk (t)== −λk .a2 Tk (t)Xk (r)Таким образом, для функций Tk (t) получаем уравнениеT00k (t) + a2 λk Tk (t) = 0,(1.2.4)а для функций X(r) – уравнение:1 ∂·r ∂r∂Xk (r)r∂r+ λk Xk (r) = 0,которое мы перепишем в виде:∂∂r∂Xk (r)r∂r= −λk rXk (r).(1.2.5)Это – в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0.
Выясним, какие краевыеусловия на X(r) следуют из условий задачи (1.2.1).Условие |u(0, t)| < ∞ превратится в|Xk (+0)| < ∞,(1.2.6)Xk (R) = 0.(1.2.7)а условие u(R, t) = 0 – в условиеШаг 2. Решение задачи Штурма-ЛиувилляДля функций Xk (r) мы получили задачу Штурма-Лиувилляα = 1 и β = 0:0 (rX0k (r)) = −λk rXk (r).|Xk (+0)| < ∞,Xk (R) = 0.вида(1.1.17)с(1.2.8)Воспользуемся результатом теоремы 1.1.3, стр.
4.Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1. Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и только тогда, когдаν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(x) ≡ const.В нашем случае α = 1, поэтому задача Штурма-Лиувилля (1.2.8) имеет только строго положительные собственные значения. Чтобы их найти,Применим теорему 1.1.4, стр. 4:Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие имсобственные функции имеют вид:"(ν)λkc Д.С. Ткаченко(ν)µk=R#2(ν),Jν-7-µk rR!,k ∈ N,Начально – краевые задачи в круге(ν)где µk – корни уравненияαRJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.В нашем случае ν = 0, α = 1, β = 0, поэтомусобственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1.2.8) имеют вид: 2(0)µ(0), λk = Rk(0)где µkJ0(0)µk rRk ∈ N,,(1.2.9)− корни уравненияJ0 (µ) = 0.Шаг 3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
