Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 9
Текст из файла (страница 9)
№ 777 б)Найти ограниченную функцию u(r, t) из условий ut = a2 · 1r · (rur )r + f (r, t),u(r, 0) = ϕ(r),|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = 0,0 6 r < R, t > 0;0 6 r < R;t>0(1.15.1)при ϕ(r) ≡ 0.Шаг 1. Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.15.1) в видеu(r; t) =∞XXk (r)Tk (t),k=...-58-(1.15.2)1.15. № 777 Б)то, подставив (1.15.2) в уравнение ut = a2 · 1r · (rur )r + f, получим:∞Xk=...Xk (r)T0k (t)∞∞XX1 ∂∂Xk (r)=a·rTk (t) +Xk (r)fk (t).r∂r∂rk=...k=...2Это равенство заведомо верно, если ряды в левой и правой частях равны почленно:∂Xk (r)a2 ∂0·rTk (t) + Xk (r)fk (t),∀k.Xk (r)Tk (t) =r ∂r∂rПоделив последнее равенство на a2 Xk (r)Tk (t), получим:∂Xk (r)∂1·r ∂rr ∂rT0k (t) − fk (t)=.a2 Tk (t)Xk (r)Левая часть зависит только от t, правая – от r, следовательно равны они могут быть тольков случае, когда ∃λk ∈ R :∂Xk (r)1∂·rr ∂r∂rT0k (t) − fk (t)== −λk .2a Tk (t)Xk (r)Таким образом, для функций Tk (t) получаем уравнениеT0k (t) + a2 λk Tk (t) = fk (t),(1.15.3)а для функций X(r) – уравнение:1 ∂·r ∂r∂Xk (r)r∂r+ λk Xk (r) = 0,которое мы перепишем в виде:∂∂r∂Xk (r)r∂r= −λk rXk (r).(1.15.4)Это – в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0.
Выясним, какие краевыеусловия на X(r) следуют из условий задачи (1.15.1).Условие |u(0, t)| < ∞ превратится в|Xk (+0)| < ∞,(1.15.5)Xk (R) = 0.(1.15.6)а условие u(R, t) = 0 – в условиеШаг 2. Решение задачи Штурма-ЛиувилляДля функций Xk (r) мы получили задачу Штурма-Лиувилляα = 1 и β = 0:0 (rX0k (r)) = −λk rXk (r).|Xk (+0)| < ∞,Xk (R) = 0.вида(1.1.17)с(1.15.7)Воспользуемся результатом теоремы 1.1.3, стр. 4.Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.
Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и только тогда, когдаν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(x) ≡ const.c Д.С. Ткаченко-59-Начально – краевые задачи в кругеВ нашем случае α = 1, поэтому задача Штурма-Лиувилля (1.15.7) имеет только строго положительные собственные значения. Чтобы их найти,Применим теорему 1.1.4, стр. 4:Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие имсобственные функции имеют вид:#!"(ν) 2(ν)µkµk r(ν),k ∈ N,λk =,JνRR(ν)где µk – корни уравненияαRJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.В нашем случае ν = 0, α = 1, β = 0, поэтомусобственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1.15.7) имеют вид: 2 λk = µRk ,J0 µRk r ,k ∈ N,(1.15.8)где µk − корни уравненияJ0 (µ) = 0.Шаг 3.
Разложение функций f (r, t) и ϕ(r) в ряд по собственным функциям задачиШтурма-Лиувилля√В соответствии с теоремой 1.1.5, стр. 4, функция r f (r, t) разлагается в ряд Фурьеf (r, t) =∞Xfk (t)J0k=11fk (t) =21[J 0 (µ )] + 21 1 −2 | 0 {zk }=[−J1 (µk )]21· 2·20J 2 (µ ) R(µk )2 | 0 {z k}ZRµ rk,R(1.15.9)µ rkrf (r, t)J0dr =R0=021= 2··R [J1 (µk )]2ZRrf (r, t)J0µ rkdr.R0Итак,21fk (t) = 2 ··R [J1 (µk )]2ZRrf (r, t)J0µ rkdr.R(1.15.10)0Аналогично, для функции ϕ(r) справедливо разложение в ряд∞Xµ rkϕ(r) =ϕ k J0Rk=1с коэффициентами21·ϕk = 2 ·R [J1 (µk )]2ZRrϕ(r)J00-60-µ rkdr.R(1.15.11)(1.15.12)1.15.
№ 777 Б)Шаг 4. Составление и решение задачи для Tk (t)Если искомый вид (1.15.2), стр. 58, решения u(r, t) и разложение (1.15.11) функции ϕ(r) подставить в начальное условиеu(r, 0) = ϕ(r),получим, что это начальное условие будет заведомо выполнено, если все слагаемые ряда влевой части окажутся равны соответствующим слагаемым ряда в правой части, то есть будутвыполнены соотношенияXk (r)Tk (0) = ϕk Xk (r).Таким образом, получаем начальные условия на функции Tk (t):Tk (0) = ϕk . 2В совокупности с полученным ранее уравнением (1.15.3), стр.
59, и учитывая, что λk = µRk ,получаем задачу Коши:2 [µ ]2kT0k (t) + a RTk (t) = fk (t),2(1.15.13)Tk (0) = ϕk .Общее решение соответствующего однородного уравнения T0 (t) +TOO (t) = ce−(a2 [µk ]2T(t)R2= 0 имеет видµk a 2tR)Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, воспользуемся методом вариациипостоянных:2 [µ ]2kTk (t) = fk (t) в видеБудем искать решение уравнения T0k (t) + a R2T(t) = c(t)e−(µk a 2tR) .Подставив T(t) искомого вида в уравнение, получим условие на неизвестную пока функциюc(t):µk a 2c0 (t) = f (t)e( R ) tkОтсюдаZtc(t) =2µk afk (τ )e( R ) τ dτ + c1 .0И, наконец,ToHo (t) = c1 e−(µk a 2tR) +Ztfk (τ )e−(µk a 2(t−τ )R)dτ.(1.15.14)0Из начального условия Tk (0) = vpk получаем, чтоc1 = ϕk .Таким образом, решение задачи (1.15.13) имеет вид:−(Tk (t) = ϕk eµk a 2tR) +Ztfk (τ )e−(µk a 2(t−τ )R)dτ.(1.15.15)0где fk (t) и ϕk задаются формулами (1.15.10) и (1.15.12):2·fk (t) =2R [J1 (µk )]2c Д.С.
ТкаченкоZRµ rkrf (r, t)J0dr,R0-61-2ϕk =·2R [J1 (µk )]2ZRrϕ(r)J00µ rkdr.RНачально – краевые задачи в кругеОтвет в общем виде:u(r; t) =∞Xϕk e−(µk a 2tR) +k=1Ztfk (τ )e−(µk a 2(t−τ )R)dτ J0µ rk,R0где µk – положительные корни уравнения J0 (µ) = 0, а fk (t) и ϕk задаются формулами (1.15.10)и (1.15.12):2·fk (t) =R2 [J1 (µk )]2ZRµ rkrf (r, t)J0dr,R2ϕk =·R2 [J1 (µk )]20ZRrϕ(r)J0µ rkdr.R0Поскольку в нашем случае vp(r) ≡ 0, то мы получаемОтвет: tZ∞µ rXµk a 2k−( R ) (t−τ ),u(r; t) =fk (τ )edτ J0Rk=10где µk – положительные корни уравнения J0 (µ) = 0, а fk (t) и fk (t) задаются формулами (1.15.10):2fk (t) =·2R [J1 (µk )]2ZRrf (r, t)J0µ rkdr.R01.16. № 777 в)Найти ограниченную функцию u(r, t) из условий ut = a2 · 1r · (rur )r −h2 u + f1 (r, t),u(r, 0) = ϕ(r),|u(0, t)| < ∞, ur (R, t) = 0,0 6 r < R, t > 0;0 6 r < R;t>0(1.16.1)при f (r, t) ≡ 0.Шаг 1.
Избавление от слагаемого −h2 u(r, t).Поскольку −h2 = const, от слагаемого −h2 u(r, t) можно избавиться с помощью стандартнойзамены:2v(r, t) = u(r, t) · eh t .2Тогда уравнение ut = a2 · 1r · (rur )r − h2 u + f1 (r, t), домноженное на eh t превратиться вv t = a2 ·1· (rvr )r + f (r, t),r2где f (r, t) = f1 (r, t) · eh t , и вся задача (1.16.1) примет vt = a2 · 1r · (rur )r + f (r, t),v(r, 0) = ϕ(r),|v(0, t)| < ∞, vr (R, t) = 0,вид0 6 r < R, t > 0;0 6 r < R;t>0(1.16.2)Шаг 2. Решение задачи (1.16.2)Шаг 2-1. Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.16.1) в видеv(r; t) =∞XXk (r)Tk (t),k=...-62-(1.16.3)1.16. № 777 В)и предположить, что для f (r, t) справедливо аналогичное представление рядом:f (r; t) =∞XXk (r)fk (t),(1.16.4)k=...то, подставив (1.16.3) и (1.16.4) в уравнение vt = a2 · 1r · (rvr )r + f, получим:∞Xk=...Xk (r)T0k (t)∞∞XX∂Xk (r)1 ∂·rTk (t) +Xk (r)fk (t).=ar∂r∂rk=...k=...2Это равенство заведомо верно, если ряды в левой и правой частях равны почленно:∂Xk (r)a2 ∂0·rTk (t) + Xk (r)fk (t),∀k.Xk (r)Tk (t) =r ∂r∂rПоделив последнее равенство на a2 Xk (r)Tk (t), получим:∂Xk (r)∂1·r0r ∂r∂rTk (t) − fk (t)=.2a Tk (t)Xk (r)Левая часть зависит только от t, правая – от r, следовательно равны они могут быть тольков случае, когда ∃λk ∈ R :∂Xk (r)1∂·r ∂rr ∂rT0k (t) − fk (t)== −λk .a2 Tk (t)Xk (r)Таким образом, для функций Tk (t) получаем уравнениеT0k (t) + a2 λk Tk (t) = fk (t),(1.16.5)а для функций X(r) – уравнение:1 ∂·r ∂r∂Xk (r)r∂r+ λk Xk (r) = 0,которое мы перепишем в виде:∂∂r∂Xk (r)r∂r= −λk rXk (r).(1.16.6)Это – в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0.
Выясним, какие краевыеусловия на X(r) следуют из условий задачи (1.16.1).Условие |v(0, t)| < ∞ превратится в|Xk (+0)| < ∞,(1.16.7)X0k (R) = 0.(1.16.8)а условие vr (R, t) = 0 – в условиеШаг 2-2. Решение задачи Штурма-ЛиувилляДля функций Xk (r) мы получили задачу Штурма-Лиувилляα = 0 и β = 1:0 (rX0k (r)) = −λk rXk (r).|Xk (+0)| < ∞, 0Xk (R) = 0.c Д.С. Ткаченко-63-вида(1.1.17)с(1.16.9)Начально – краевые задачи в кругеВоспользуемся результатом теоремы 1.1.3, стр.
4.Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1. Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и только тогда, когдаν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(x) ≡ const.В нашем случае α = 0, поэтому задача Штурма-Лиувилля (1.16.9) имеет собственное значениеλ0 = 0 и соответствующую собственную функцию X0 (r) = 1 ≡ J0 (0).Применим теорему 1.1.4, стр.
4:Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие имсобственные функции имеют вид:#!"(ν)(ν) 2µk rµk(ν),k ∈ N,,Jνλk =RR(ν)где µk – корни уравненияαRJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.В нашем случае ν = 0, α = 0, β = 1, поэтомусобственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1.16.9) имеют вид:λ0 = 0,X0 (r) = 1 = J0 (0), 2(1.16.10)λk = µRk ,Xk (r) = J0 µRk r ,k ∈ N,где µk − корни уравненияJ00 (µ) = 0 ⇔ J1 (µ) = 0.Шаг 2-3. Разложение функций f (r, t) и ϕ(r) в ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля√В соответствии с теоремой 1.1.5, стр. 4, функция r f (r, t) разлагается в ряд Фурьеf (r, t) = f0 (t) +∞Xfk (t)J0k=12f0 (t) = 2RZRµ rk,R21fk (t) =·2 ·[J0 (µk )] R2rf (r, t)dr,0ZR(1.16.11)µ rkrf (r, t)J0dr.R(1.16.12)0где µk – положительные корни уравнения J1 (µ) = 0. Аналогично, для функции ϕ(r) справедливо разложение в рядϕ(r) = ϕ0 +∞Xk=12ϕ0 (t) = 2RZRrϕ(r)dr,0ϕ k J0µ rkRс коэффициентами21ϕk = 2 ··R [J0 (µk )]2ZRrϕ(r)J0µ rkdrR(1.16.13)(1.16.14)0Шаг 2-4.
Составление и решение задачи для Tk (t)Если искомый вид (1.16.3), стр. 62, решения u(r, t) и разложение (1.16.13) функции ϕ(r) подставить в начальное условиеu(r, 0) = ϕ(r),-64-1.16. № 777 В)получим, что это начальное условие будет заведомо выполнено, если все слагаемые ряда влевой части окажутся равны соответствующим слагаемым ряда в правой части, то есть будутвыполнены соотношенияXk (r)Tk (0) = ϕk Xk (r).Таким образом, получаем начальные условия на функции Tk (t):Tk (0) = ϕk . 2В совокупности с полученным ранее уравнением (1.16.5), стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
