Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 35
Текст из файла (страница 35)
1. Функция√r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√r ϕ(r) =∞Xαkν√r Jνk=11αkν =1[Jν0 (µνk )]2 + 21 1 −2ν22[µνk ]Jν2(µνk )µνk rR1· 2·R,(3.1.21)ZRrϕ(r)Jνµνk rRdr,0(ν)где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.√Утв. 2. В случае α = ν = 0, функция r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√α002= 2RZRrϕ(r)dr,0r ϕ(r) =αk0α00√r+∞Xµ r√kαk0 r J0,Rk=112=·2 ·2[J1 (µk )] + [J0 (µk )] R2| {z }(3.1.22)ZRrϕ(r)J0µ rkdr.R0=0где µk – положительные корни уравнения J1 (µ) = 0.Опр.
3.1.6. Через M мы будем обозначать следующий класс функций:u(r) ∈ C 2 (0, R];Lν (u)√ ∈ L2 (0, R).rОпр. 3.1.7. Задачей Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R] мы будемназывать задачу: Найти числа λ и функции 0 6≡ u(r) ∈ M из условий:2r ∈ (0, R), ν > 0; −(ru0 )0 + νr u = λru,(3.1.23)|u(+0)| < ∞;αu(R) + βu0 (R) = 0,α, β > 0, α + β > 0.При этом функции u 6≡ 0 называются собственными функциями задачи ШтурмаЛиувилля, а числа λ – собственными числами задачи Штурма-Лиувилля.Оператор левой части уравнения задачи Штурма-Лиувилля мы будем обозначать так:Lν (u) ≡ −(ru0 )0 +-240-ν2u.rФункции Бесселя на промежутке (0, R)Теорема 3.1.8.Утв.1.
Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.Утв.2. Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и толькотогда, когда ν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(r) ≡ const.Теорема 3.1.9.Утв.Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие им собственные функции имеют вид:#!"(ν) 2(ν)µµr(ν)kkλk =,k ∈ N,,JνRR(ν)где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.Доказательство.В уравнении −(ru0 )0 +ν2ur= λru сделаем замену переменнойr = Rx,Тогдаu0 (r) =u(r) = u(Rx) = w(x).w0 (x)dw dx·=,dx drRu00 (r) =откуда(ru0 )0 = ru00 (r) + u0 (r) = Rx ·d (Rw0 (x)) dxw00 (x)·=,dxdrR2w00 (x) w0 (x)(xw0 )0+≡.R2RRПолучим уравнение− (xw0 )0 +ν2w = λR2 xw.x| {z }(3.1.24)λ̃Краевое условие |u(+0)| < ∞ превратится в|w(+0)| < ∞,(3.1.25)а краевое условие αu(R) + βu0 (R) = 0 примет видαw(1) +β 0w (1) = 0.R(3.1.26)По теореме 3.1.6, задача (3.1.24) – (3.1.26) имеет следующие собственные числа и функции:"#(ν) 2hi2µ(ν)(ν)(ν)(ν)k,λk =,Jν µk x ,λ̃k = µkk ∈ N,R(ν)где µk – корни уравненияαJν (µ) +c Д.С.
Ткаченкоβ 0µJ (µ) = 0.R ν-241-Подробно о цилиндрических функцияхДелая во всех этих выражениях обраную замену переменной и функциииx=r,Rw(x) = u(r),u0 (r) =w0 (x),Rполучаем требуемое утверждение.3.1.8. Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a, b]Теорема 3.1.10 (Аналог теоремы В.А. Стеклова).Усл.{Zk }∞k=1 – ортогональная система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля.Утв.∀f (x) ∈ C 2 [a, b], удовлетворяющей краевым условиям,f=∞X∃{ck }∞k=1 :ck Zk (x),k=1причём последний ряд сходится к f (x) абсолютно и равномерно на [a, b], а для ckверно представлениеRbxf (x)Zk (x)dx(f, Zk )ack ==.Rb 2kZk k2xZk (x)dxa-242-Функции Бесселя на промежутке (a, b)Теорема 3.1.11.Усл.Функция Z(x) есть решение на промежутке x ∈ (a, b) уравненияx2 Z00 + xZ0 + x2 − ν 2 Z = 0.µk – положительные решения уравнения α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a) α2 Jν (µ b) + β2 µJν0 (µ b) α2 Nν (µ b) + β2 µNν0 (µ b) = 0.(3.1.27)Утв.
1 Каждая из функций Xk (r) = Z(µk r),k = 1, ∞ является решением задачиШтурма–Лиувилля02a < r < b; − rX0k (r) + νr Xk (r) = µ2k rXk (r),0(3.1.28)α X (a) + β1 Xk (a) = 0, 1 kα2 Xk (b) + β2 X0k (b) = 0.При этом функция Xk (r) имеет вид00Xk (r) = α1 Nν (µk a) + β1 µk Nν (µk a) Jν (µk r)− α1 Jν (µk a) + β1 µk Jν (µk a) Nν (µk r).Утв. 2kZ(µr)k2 =Zb1rZ2 (µr)dr =2"ν22r − 2µr=br=b #2Z2 (µr)+ r2 (Z0 ) (µr).ar=ar=aУтв. 3Z(µk r), Z(µm r) = 0,k 6= m.Доказательство.1.а) Проверим выполнение уравнения.
В силу соотношений Xk (r) = Z(µk r), x = µk rX0k (r) = µk Z0 (µk r),X00k (r) = µ2k Z00 (µk r)02и, подставляя эти выражения в уравнение − rX0k (r) + νr Xk (r) = µ2k rXk (r), то есть−rX00k (r) − X0k (r) +ν2Xk (r) = µ2k rXk (r),rполучаем:−xµk ν 2x· µ2k Z00k (x) − µk Z0 (x) +Z(x) = µ2k · Zk (x).µkxµkx,µkполучим, что все Zk (x) удовлетворяют уравнениюk = 1, ∞.x2 Z00k + xZ0k + x2 − ν 2 Zk = 0,Домножив это равенство наПоскольку проделанные операции обратимы, то все функции Xk (r) = Z(µk r) k = 1, ∞ естьрешения уравнения из задачи Штурма–Лиувилля (3.1.28).1.б) Поскольку общее решение уравнения Бесселя есть линейная комбинацияZ(x) = c1 Jν (x) + c2 Nν (x),c Д.С.
Ткаченко-243-Подробно о цилиндрических функцияхто выполнение краевых условий α1 Xk (a) + β1 X0k (a) = 0 и α2 Xk (b) + β2 X0k (b) = 0 означаетc1 α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) + c2 α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a) = 0c1 α2 Jν (µ b) + β2 µJν0 (µ b) + c2 α2 Nν (µ b) + β2 µNν0 (µ b) = 0То есть, в матричном виде, c10α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a)=00c20α2 Jν (µ b) + β2 µJν (µ b) α2 Nν (µ b) + β2 µNν (µ b)(3.1.29)Отсюда, если нас интересуют нетривиальные решения задачи Штурма–Лиувилля (3.1.28),то матрица этой системы обязана быть вырождена, то есть нетривиальные решения задачиШтурма–Лиувилля существуют тогда и только тогда, когда α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a) (3.1.27) α2 Jν (µ b) + β2 µJν0 (µ b) α2 Nν (µ b) + β2 µNν0 (µ b) = 0.Тогда решением системы (3.1.29) будет (с точностью до постоянного множителя) пара c1α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a)(3.1.30)=c2−α1 Jν (µ a) − β1 µJν0 (µ a)При этом функция Xk (r) имеет вид00Xk (r) = α1 Nν (µk a) + β1 µk Nν (µk a) Jν (µk r) − α1 Jν (µk a) + β1 µk Jν (µk a) Nν (µk r).2.
Найдём норму kZ(µr)k2 . Для этого домножим уравнениеx2 Z00 + xZ0 + x2 − ν 2 Z = 0на 2Z0 и проинтегрируем по [a, b]. Получим:Zb20020Zbx Z Z dx + 2aZb0 20Zbν 2 ZZ0 dx = 0.x ZZ dx − 2x (Z ) dx + 2a2aaЭто равенство перепишем в видеZbx2h0 2(Z )ai0Zbdx + 2Zb0 2x (Z ) dx +a 0x Z2 dx − ν 22aZb 2 0Z dx = 0.aПервый и третий интегралы проинтегрируем по частям, а последний просто возьмём:ZbZbZbb x2 (Z0 )2 − 2 x (Z0 )2 dx + 2 x (Z0 )2 dx + x2 Z2 b − 2 xZ2 dx − ν 2 Z2 b = 0aaaaaaСокращая выделенные интегралы и выражаяRbxZ2 dx, получим формулуaZb1xZ2 dx =2"x2 − ν2x=bx=b #2Z2 (x)+ x2 (Z0 ) (x).x=aa-244-x=aФункции Бесселя на промежутке (a, b)Осталось сделать замену переменной x = µr, а пределы интеграла ã =обозначить за a и b, и мы получим требуемую формулуkZ(µr)k2 =Zb1rZ(µr)dr =2"ν2r2 − 2µaµи b̃ =bµr=br=b #2Z2 (µr)+ r2 (Z0 ) (µr).r=aa3.
Проверим ортогональность Z(µk r), Z(µm r) = 0,на Xm (r) уравнениеν20 02Xk = 0,(rXk ) + µk r −rснова(3.1.16)r=ak 6= m. Для этого домножимдомножим на Xk (r) уравнение0(rX0m )+µ2m rν2−rXm = 0и вычтем одно из другого:00Xm (rX0k ) − Xk (rX0m ) + µ2k − µ2m rXk Xm = 0.Теперь проинтегрируем полученное равенство по [a, b]. Первые два интеграла берутся по частям:ZbZbZbb0 b0000022rXm Xk |a − rXm Xk dr − rXk Xm |a − rXk Xm dr + µk − µmrXk Xm dr = 0aaaТаким образом,Zbabr (Xm X0k − Xk X0m ) a.rXk Xm dr =µ2m − µ2kПри этом, во первых, мы нигде не пользовались тем, что µk , µm – собственные числа задачиШтурма–Лиувилля, так что эта формула верна при произвольных µk , 6= µm ∈ R. Во-вторых,если переписать эту формулу для функций Z(µk r) = Xk (r) и Z(µm r) = Xm (r), то, учитывая,что X0k (r) = µk Z0 (µk r) и X0m (r) = µm Z0 (µm r), получим общую формулуZba br µk Z(µm r)Z0 (µk r) − µm Z(µk r)Z0 (µm r) arZ(µk r)Z(µm r)dr =.µ2m − µ2k(3.1.15)В случае, когда µk 6= µm – корни уравнения (3.1.27), которое, как мы видели, равносильновыполнению краевых условийα1 Z(µk a) + µk β1 Z0 (µk a) = 0,α1 Z(µm a) + µm β1 Z0 (µm a) = 00α2 Z(µk b) + µk β2 Z (µk b) = 0α2 Z(µm b) + µm β2 Z0 (µm b) = 0получаем, что в случае β2 6= 0 bµk Z(µm r)Z (µk r) − µm Z(µk r)Z (µm r) = Z(µm b) µk Z0 (µk b) − Z(µk b) µm Z0 (µm b) =| {z }| {z }00=−α2=−β2c Д.С.
Ткаченко-245-α2Z(µk b)β2=−α2Z(µm b)β2Z(µm b)Z(µk b) − Z(µk b)Z(µm b) ≡ 0.Подробно о цилиндрических функцияхВ случае β2 = 0 картина ещё проще: bµk Z(µm r)Z0 (µk r) − µm Z(µk r)Z0 (µm r) = µk Z(µm b)Z0 (µk b) − µm Z(µk b)Z0 (µm b) ≡ 0.| {z }| {z }=0=0Аналогично,µk Z(µm r)Z (µk r) − µm Z(µk r)Z (µm r) ≡ 0.00aПоэтому если µk 6= µm – корни уравнения (3.1.27), значение интегралаZbrXk (r)Xm (r)dr = 0,a-246-µk 6= µm .Литература[1] ВАТСОН Дж.
Н. Теория Бесселевых функций – М., Изд. Иностранной литературы,1949.http://ega-math.narod.ru/Books/Watson.htm247.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
