Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

№ 791 в)Построить функцию u(r, θ), гармоническую вне шара радиуса R, и удовлетворяющую краевому условию:u(R, θ) = f (θ) = 3 + 2 cos2 θ.Записав эти условия математически, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(r, θ) из условий=0z}|{1112∆u ≡ r2 (r ur )r + r2 sin θ sin θuθ + r2 sin2 θ uϕϕ = 0,|u(0, θ)| < ∞,u(R, θ) = f (θ) = 3 + 2 cos2 θ.R < r < ∞,0 < θ < π;(2.19.1)θШаг 1. Решение в общем видеДанная задача есть частный случай задачи, решённой нами в № 792 б).

Воспользуемся результатом:Общее решение внутренней задачи Дирихле, не зависящее от ϕ:u(r, θ) =∞ n+1XRrn=0fn Pn (cos θ),2n + 1fn =2Zπf (θ)Pn (cos θ) sin θdθ,(2.12.2)0где Pn (x) – полиномы Лежандра (2.1.2).Поскольку данная нам функция f (θ) = 3 + 2 cos2 θ, как легко видеть, есть линейная комбинация полиномов P0 (cos θ) и P2 (cos θ):P0 (cos θ) = 1,=⇒c Д.С.

Ткаченкоиhi 3 cos2 θ − 1P2 (cos θ) = в силу формулы (2.1.10) =,21144 3 cos2 θ − 1 2f (θ) = 3 + 2 cos2 θ = 3 + ·+ = P0 (cos θ) + P2 (cos θ),32333-225-Задачи для уравнения теплопроводностито коэффициенты fn можно найти сразу, не вычисляя интегралов: 11 31140f (θ) = P0 (cos θ) + P2 (cos θ)=⇒fn =433 30n = 0;n = 1;n = 2;n > 3.Таким образом,u(r, θ) =11 R· P0 (cos θ) +3 r11=34 R3·P2 (cos θ) =3 r3R 4 R3 3 cos2 θ − 11 RR2R3· + · 3 ·= ·11 − 2 · 2 + 2 · 3 · cos2 θ.r3 r23 rrrОтвет:11 R4 R31 Ru(r, θ) =· P0 (cos θ) + · 3 P2 (cos θ) = ·3 r3 r3 rR211 − 2 · 2rR3+ 2 · 3 · cos2 θ,rгде Pn (x) – полиномы Лежандра (2.1.2).2.20. № 794 б).

Остывание шараНайти ограниченную функцию u(r, θ, ϕ; t) из условий11122ut − a r2 (r ur )r + r2 sin θ sin θuθ + r2 sin2 θ uϕϕ = 0,θr ∈ [0, R), θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π), t > 0;|u(0, θ, ϕ; t)| < ∞,αu(R, θ, ϕ; t) + βur (R, θ, ϕ; t) = 0;u(r, θ, ϕ; 0) = ψ(r, θ, ϕ).(2.20.1)Шаг 1. Решение уравнения с краевым условием, ограниченное в шареВ результате предыдущего пункта, нам известно, что решение уравнения ut − a2 ∆u = 0 скраевым условием αu(R, θ, ϕ; t) + βur (R, θ, ϕ; t) = 0 задаётся формулами (2.8.25) и (2.8.22).Учитывая, чтоu(r, θ, ϕ; t) должна быть ограничена при r = 0, а функции функцияµkn rk+ 12Jk+ 1 R = O rпри r → +0, получаем, что2ckn = 0при k < 0.Поэтому функция, удовлетворяющая первым трём равенствам из (2.20.1), должна иметь вид: kµkn r∞ X∞XX1Jµ2knk+ 2R√u=ckn e− R2 t ·(Akm sin (mϕ) + Bkm cos (mϕ)) Pkm (cos θ),(2.20.2)rm=0k=0 n=1где µkn – положительные корни уравнения0αRJk+ 1 (µ) + βµJk+1 (µ) = 0.2(2.20.3)2Шаг 2.

Разложение функции граничного условия в рядПредставим функцию начального условия ψ(r, θ, ϕ) в виде следующего ряда:√rψ(r, θ, ϕ) =∞ X∞X√dkn rJk+ 12k=0 n=1kµ r Xkn(Ckm sin (mϕ) + Dkm cos (mϕ)) Pkm (cos θ).R m=0(2.20.4)-226-№ 794 б). Остывание шараВведём обозначения:(aknm = rJk+ 12bknm = rJk+ 12µkn rP m (cos θ) sin θ sin (mϕ) ,R kµkn rPkm (cos θ) sin θ cos (mϕ) .R(2.20.5)Домножив ряд (2.20.4) наµ rijPil (cos θ) sin θ sin (lϕ)Raijl = rJi+ 12и проинтегрировав по r ∈ (0, R), по θ ∈ (0, π) и по ϕ ∈ (0, 2π), получим:√ µ r 2 2 l ij2rψ, aijl = dij Cil · Ji+ 1 · Pi (x) · ksin (lϕ)k2R(2.20.6)Аналогично, домножив ряд (2.20.4) наbijl = rJi+ 12µ rijPil (cos θ) sin θ cos (lϕ)Rи проинтегрировав по r ∈ (0, R), по θ ∈ (0, π) и по ϕ ∈ (0, 2π), получим:√ µ r 2 2 l ij· Pi (x) · kcos (lϕ)k2rψ, bijl = dij Dil · Ji+ 12R(2.20.7)В обеих формулах (2.20.6) и (2.20.6) присутствует одинаковый множительγijl µ r 2 µ r 2 22 l l ijij22= Ji+ 1· Pi (x) · kcos (lϕ)k = Ji+ 1 · Pi (x) · ksin (lϕ)k .22RRДля нормы sin(lϕ) и cos(lϕ) легко получаются выражения22ksin (lϕ)k = kcos (lϕ)k =π,2π,l ∈ N;l = 0.По формуле3 для интеграла Ломмеля 1.1.14, стр.

3,2 µ r 2 R2 1ij0Ji+ 1 (µij ) + =Ji+ 122R22Поскольку kPim k2[−1, 1] =γijl3 2 R2=2 R2hh0Ji+120Ji+1222i+1(µij )(µij )i2i2·(i+m)!(i−m)!++1212R −i+1 222[µij ]222R −(i+ 12 )[µij ]22(i+ 12 )[µij ]22Ji+122Ji+12(µij ) ·(µij ) ·22i+1·(i+m)!(i−m)!2Ji+1 (µij ) .2· 2π, µ r 2 ZRµ rknkn21dr.Jk+ 2 = rJk+12RR0-227-· π,l > 0;(2.20.8)22i+1Напомним, что квадратом нормы функций Бесселя является выражениеc Д.С. Ткаченко!по формуле (2.1.18), стр. 185, тоR −2l = 0.Задачи для уравнения теплопроводностиТаким образом, для коэффициентов dkn , Ckm и Dkm разложения (2.20.4) мы, в силу (2.20.6) –(2.20.8), получаем:√( rψ, aknm )dC=,knkmγknm√rψ, b dkn Dkm = ( γ knm ) ,knm hi2 2k+ 12 )(π2022· (k+m)!,m ∈ N; R Jk+ 1 (µkn ) + R − [µkn ]2 Jk+ 1 (µkn ) · 2k+1(k−m)!22γknm =hi22(k+ 12 )2π202Jk+m = 0.(µ)+R− R2 Jk+11 (µkn ) · 2k+1 ,kn[µ ]2kn22(2.20.9)Шаг 3.

Использование начального условияПриравняем ряд kµkn r∞ X∞XX1Jµ2knk+R2√(Akm sin (mϕ) + Bkm cos (mϕ)) Pkm (cos θ),u(r, θ, ϕ; t) =ckn e− R2 t ·rm=0k=0 n=1(2.20.2)взятый при t = 0 к рядуψ(r, θ, ϕ) =∞ X∞Xdkn Jk+ 12k=0 n=1kµ r Xkn(Ckm sin (mϕ) + Dkm cos (mϕ)) Pkm (cos θ).R m=0и получим, что для коэффициентов ckn Akm и ckn Bkm выполнены равенства:√( rψ, aknm )ckn Akm = dkn Ckm =,γknm√rψ, b ckn Bkm = dkn Dkm = ( γ knm ) ,knm hi2 2k+ 12 )(π2220· (k+m)!, R Jk+ 1 (µkn ) + R − [µkn ]2 Jk+ 1 (µkn ) · 2k+1(k−m)!22γ=hi22 knm (k+ 1 )2π02+ R2 − [µ 2]2 Jk+ R2 Jk+1 (µkn )1 (µkn ) · 2k+1 ,kn2(2.20.4)m ∈ N;m = 0.2(2.20.10)Отметим, что поскольку aknm и bknm можно представить в виде произведенияµ rkn1a=rJPkm (cos θ) sin θ sin (mϕ) = skn (r)pkm (θ, ϕ),knmk+ 2{z}R|{z}|=pkm=sknµkn r m1b=rJPk (cos θ) sin θ cos (mϕ) = skn (r)qkm (θ, ϕ), knmk+ 2{z}{z R }||=qkm" =skn# !21 2k+π(k + m)!202γknm = R2 Jk++ R2 −Jk+··= ζkn ξkm ,1 (µkn )1 (µkn )2222k + 1 (k − m)![µkn ]|{z} | {z }=ξkn=ζknто равенства (2.20.10) позволяют однозначно определить коэффициенты ckn , Akm и Bkm .Ответ: kµkn r∞ X∞XX1Jµ2knk+R2√u(r, θ, ϕ; t) =ckn e− R2 t ·(Akm sin (mϕ) + Bkm cos (mϕ)) Pkm (cos θ),rm=0k=0 n=1(2.20.2)-228-№ 794 б).

Остывание шарагде µkn – положительные корни уравнения0αRJk+ 1 (µ) + βµJk+1 (µ) = 0,2(2.20.3)2а коэффициенты ckn Akm и ckn Bkm находятся из формул mRR Rπ R2π3µkn r12 ψ(r, θ, ϕ)J1dϕrdθdrcA=Pk (cos θ) sin θ sin (mϕ) ,knkmk+γRknm2000 mRR Rπ R2π3r ckn Bkm = γ 1dr dθ dϕ r 2 ψ(r, θ, ϕ)Jk+ 1 µknPk (cos θ) sin θ cos (mϕ) ,Rknm200 h0i22k+ 12 )(π0222· (k+m)!,m ∈ N; R Jk+ 1 (µkn ) + R − [µkn ]2 Jk+ 1 (µkn ) · 2k+1(k−m)!22hi22 γknm = (k+ 12 )2π0222m = 0. R Jk+ 1 (µkn ) + R − [µ ]2 Jk+1 (µkn ) · 2k+1 ,2kn2(2.20.11)c Д.С. Ткаченко-229-Глава 3.Подробно о цилиндрических функциях3.1. Функции Бесселя3.1.1.

Определение и взаимосвязь цилиндрических функцийОпр. 3.1.1. Уравнениеx2 Z00 (x) + xZ0 (x) + x2 − ν 2 Z(x) = 0,x ∈ (0, 1),(3.1.1)называется уравнением Бесселя.Всякое решение уравнения Бесселя называется цилиндрической функцией.Опр. 3.1.2. ФункцияJν (x) =∞Xk=0 x 2k+ν(−1)k·Γ(k + ν + 1)k!2(3.1.2)называется функцией Бесселя порядка ν. Она является решением уравнения Бесселя (3.1.1).Есть и другие цилиндрические функции.231Подробно о цилиндрических функцияхОпр.

3.1.3. Функции Неймана:1[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)ν 6∈ Z;(3.1.3)1 ∂Jν (x)n ∂J−ν (x)− (−1),Nn (x) =π∂ν∂νν=nn ∈ Z.(3.1.4)Nν (x) =Функции Ханкеля I-го рода и II-го рода:Hν(1) (x) = Jν (x) + iNν (x)(3.1.5)Hν(2) (x)(3.1.6)= Jν (x) − iNν (x)Модифицированные функции Бесселя и Ханкеля:Iν (x) = e−πiν2πiKν (x) = e 2 ν Hν(1) (ix).Jν (ix),(3.1.7)Теорема 3.1.1.Утв.Фундаментальную систему решений (ФСР) уравнения Бесселя (3.1.1) образуеткаждая из пар функций: (1){Jν (x), Nν (x)} ,Hν (x), Hν(2) (x)и, в случае, когда ν 6∈ Z{Jν (x), J−ν (x)}J−n (x) = (−1)n Jnпри n ∈ ZСледствие 3.1.1.Утв.Общее решение уравнения Бесселя (3.1.1) задаётся каждой из формулZν (x) = c1 Jν (x) + c2 Nν (x) = c3 Hν(1) (x) + c4 Hν(2) (x),Zν (x) = c5 Jν (x) + c6 J−ν (x)ν ∈ R.ν 6∈ Z.3.1.2.

Рекуррентные формулы для цилиндрических функцийДля функций Бесселя и Неймана имеют место следующие рекуррентные формулы1 :νZ0ν (x) = Zν−1 (x) − Zν (x),xνZ0ν (x) = −Zν+1 (x) + Zν (x).x(3.1.8)Их можно также переписать в виде:[xν Zν ]0 (x) = xν Zν−1 (x), −ν 0x Zν (x) = −x−ν Zν+1 (x).1(3.1.9)см. [1], стр. 56, 79. Отметим, что в этой книге функции Неймана обозначаются как Yν , или, точнееNν (x) = Re Yν (z). Определение Yν см. [1], стр. 76.z=x-232-Функции Бесселя на промежутке (0, 1)Если из второй формулы (3.1.8) вычесть первую, получим ещё одно соотношение:Zν+1 (x) −2νZν (x) + Zν−1 (x) = 0.x(3.1.10)Для функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком ν = n ∈ Z верно равенствоZ−n (x) = (−1)n Zn (x),n ∈ Z.(3.1.11)Кроме приведённых формул, нам также понадобится соотношение, из которого частично следует утверждение теоремы 3.1.1.Утверждение 3.1.1 (Вронскиан функций Бесселя и Неймана).Утв.

Характеристики

Список файлов лекций