Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 34
Текст из файла (страница 34)
J (x) Nν (x)W [Jν , Nν ] (x) = ν0Jν (x) Nν0 (x)= 2 πx(3.1.12)3.1.3. Интегральные формулы для функций БесселяИмеют место следующие интегральные формулы:Интегралы Ломмеля:ZxxtJν (αt)Jν (βt)dt = 2α − β2αJν+1 (αx)Jν (βx) − βJν (αx)Jν+1 (βx) ,α 6= β,(3.1.13)0222Zx 1ν2x202αJν (αx) +x − 2Jν (αx) ,t Jν (αt) dt =22αν > −1.(3.1.14)0Ниже в пунктах 3. и 2.
доказательства теоремы 3.1.11 будут выведены более общие формулыZba br µk Z(µm r)Z0 (µk r) − µm Z(µk r)Z0 (µm r) arZ(µk r)Z(µm r)dr =;µ2m − µ2kkZ(µr)k2 =Zb1rZ(µr)dr =2"ν2r2 − 2µr=br=b #2Z2 (µr)+ r2 (Z0 ) (µr).r=aa(3.1.15)(3.1.16)r=aгде Z(x) – произвольные решения уравнения Бесселяν20 0(xZ ) + x −Z = 0.x3.1.4. Поведение функций Бесселя и НейманаПриведём для примера функции J0 (x), J1 (x), J 1 (x) и J− 1 (x).
Из определения 3.1.2 получаем:2J0 (x) =∞Xk=0c Д.С. Ткаченко2∞∞ x 2k+0 X(−1)k(−1)k x 2k X (−1)k2k·=·=2 ·x .2Γ(k + 0 + 1)k!2(k!)2[(2k)!!]k=0k=0-233-Подробно о цилиндрических функцияхJ1 (x) =∞Xk=0∞∞ x 2k+1 X x 2k+1 X(−1)k(−1)k(−1)k··· x2k+1 .==Γ(k + 1 + 1)k!2(k+1)!k!2(2k+2)!!(2k)!!k=0k=0∞X x 2k+ 12 (−1)k1(2n − 1)!! √ ·= Γ n+=π =J 1 (x) =1n2222Γk++1k!2k=0rr∞∞1 X (−1)k 2k+12 X(−1)k2k+1=·x=· x2k+1 =2πx k=0 22k (2k + 1)!!k!πx k=0 (2k + 1)!!(2k)!!rr∞2 X (−1)k22k+1=·x≡· sin x.πx k=0 (2k + 1)!πx∞X x 2k− 12 (−1)k1(2n − 1)!! √ ·= Γ n+J− 1 (x) ==π =2222nΓ k − 12 + 1 k!k=0rr∞∞2 X2 X(−1)k 2k(−1)k2k=·x=· x2k =2kπx k=0 2 (2k − 1)!!k!πx k=0 (2k − 1)!!(2k)!!rr∞2 X (−1)k 2k2=·x ≡· cos x.πx k=0 (2k)!πxА применив к найденным J± 1 (x) формулы (3.1.8), получим:2nd2sin xn+ 12Jn+ 1 (x) = (−1)·x,2πxxdxxrn2dcos xn+ 12·x.J−n − 1 (x) =2πxxdxxrnНа рисунке ниже приведены графики некоторых функций.Заметим, чтоJ0 (0) = 1,J1 (0) = 0.Поэтому иногда говорят, что J0 (x) есть аналог cos x, а J1 (x) – аналог sin x, только sin x и cos x– решения уравненияZ00 (x) + Z(x) = 0,-234-Функции Бесселя на промежутке (0, 1)в то время как функции J0 (x) и J1 (x) – решения уравненийx2 Z00 (x) + xZ0 (x) + x2 Z(x) = 0иx2 Z00 (x) + xZ0 (x) + x2 − 1 Z(x) = 0.qq22· sin x, а J− 1 = πx· cos x, функции J± 1 в окрестности нуля ведут себяПоскольку J 1 = πx222следующим образом:J 1 (+0) = 0,J− 1 (+0) = +∞.22Известно асимпотическое поведение функций Бесселя при x → +∞:r 32πν π x → +∞.cos x −−+ O x− 2 ,Jν (x) =πx24√То есть, не строго говоря, функции Бесселя убывают на бесконечности как c cos(x+ω).xТеорема 3.1.2 (Поведение в окрестности нуля).∞,ν < 0, ν 6∈ Z;Утв.0,ν < 0, ν ∈ Z;Jν (+0) =Nν (+0) = ∞,ν ∈ R; .1,ν = 0;0,ν > 0;Доказательство.
При ν > −1 по формуле (3.1.2) функция Jν (x) = O (xν ) ,следуют соотношения−1 < ν < 0; ∞,1,ν = 0;Jν (+0) =0,ν > 0.Из формулы (3.1.10) следует, что при ν ∈ (−2, −1)Jν =2(ν + 1)Jν+1 − Jν+2 = O (xν ) ,xx → +0.Анналогично, при ν ∈ (−3, −2)Jν = O (xν ) ,x → +0и так далее. Поэтому, справедливо соотношениеJν (+0) = ∞,Соотношение Jν (+0) = 0,ν < 0, ν 6∈ Z.ν < 0, ν ∈ Z сразу следует из формулы (3.1.11)J−n (x) = (−1)n Jn (x),n∈Zи доказанного Jν (+0) = 0 при ν > 0.Перейдём к формуле Nν (+0) = ∞, ν ∈ R, x → +0.Пусть сначала ν 6∈ Z. Тогда из представления (3.1.3)Nν (x) =1[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)ν 6∈ Zследует, что приν>0ν<0c Д.С.
Ткаченко=⇒=⇒Nν (x) = O (x−ν ) ,Nν (x) = O (xν ) ,-235-x → +0,x → +0.x → +0. ОтсюдаПодробно о цилиндрических функцияхВ обоих случаях Nν (+0) = ∞,Формулу Nn (+0) = ∞,x → +0.n ∈ Z докажем при помощи представления∞ x 1 x n X2(−1)k x 2kNn (x) = (−1)n N−n (x) = Jn (x) ln + C −π2π 2 k=0 k!(n + k)! 2n−11 x −n X (n − k − 1)! x 2k−,π 2k!2k=0kX1j=1j+n+kX1j=1!j−n = 0, 1, 2, . . .При n = 0 получаем, что главное слагаемое – первое, иN0 (x) = O (ln x) ,x → +0,=⇒N0 (+0) = ∞.=⇒Nn (+0) = ∞.При n ∈ N главное слагаемое – третье, откудаNn (x) = O x−n ,x → +0,При (−n) ∈ N используем равенство Nn (x) = (−1)n N−n (x) и доказанное соотношение длянатуральных n.3.1.5. Скалярное произведение, ортогональность и норма функцийБесселяОпр. 3.1.4. Скалярным произведением на пространстве решений уравнения Бесселя мыбудем называть следующее скалярное произведение в L2 с весом x:Z1u, v =xu(x)v(x)dx.(3.1.17)0Функции, скалярное произведение которых равно нулю, мы будем называть ортогональными.Нормой функции u(x) мы будем называть числоvuZ1r uukuk =u, u = t xu2 (x)dx.(3.1.18)0-236-Функции Бесселя на промежутке (0, 1)Теорема 3.1.3.Усл.Число ν > −1, а числа µ1 и µ2 – действительные корни уравненияαJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0,Утв.α, β > 0,α + β > 0.Функции Jν (µ1 x) и Jν (µ2 x) ортогональныZ1µ1 6= µ2 ,xJν (µ1 x)Jν (µ2 x)dx = 0,0Z12kJν (µ1 x)k ≡xJν2 (µ1 x)dx112= [Jν0 (µ1 )] +220ν21− 2µ1Jν2 (µ1 ).Теорема 3.1.4 (Аналог теоремы В.А.
Стеклова).Усл.Функция u(x) ∈ C 2 (0, 1] удовлетворят граничным условиямαu(1) + βu0 (1) = 0|u(+0)| < ∞;2ν (u)и при Lν (u) ≡ −(xu0 )0 + νx u функция L√∈ L2 (0, 1).x√Утв. 1. Функция x u(x) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, 1)√x u(x) =∞X√aνk x Jν (µνk x),k=1aνk =νu, Jν (µk x)kJν (µνk x)k2u,=12[Jν0 (µνk )]2+12Jν (µνk x)1−ν22[µνk ],Jν2 (µνk )где µνk – корни уравненияαJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0,Утв. 2. В случае α = ν = 0, функция√√α, β > 0,α + β > 0.x u(x) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, 1)√x u(x) = a0 x +∞X√ak x J0 (µk x) ,(3.1.19)k=1a00Z1=2xu(x)dx,0a0k2·=2[J1 (µk )] + [J0 (µk )]2где µk – положительные корни уравнения J1 (µ) = 0.c Д.С.
Ткаченко-237-Z1xu(x)J0 (µk x) dx.0Подробно о цилиндрических функциях3.1.6. Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, 1]Опр. 3.1.5. Через M мы будем обозначать следующий класс функций:Lν (u)√ ∈ L2 (0, 1).xu(x) ∈ C 2 (0, 1];Задачей Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, 1] мы будем называтьзадачу:Найти числа λ и функции 0 6≡ u(x) ∈ M из условий:2x ∈ (0, 1), ν > 0; −(xu0 )0 + νx u = λxu,(3.1.20)|u(+0)| < ∞;0αu(1) + βu (1) = 0,α, β > 0, α + β > 0.При этом функции u 6≡ 0 называются собственными функциями задачи ШтурмаЛиувилля, а числа λ – собственными числами задачи Штурма-Лиувилля.Оператор левой части уравнения задачи Штурма-Лиувилля мы будем обозначать так:Lν (u) ≡ −(xu0 )0 +ν2u.xТеорема 3.1.5.Утв.1. Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.Утв.2.
Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и толькотогда, когда ν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(x) ≡ const.Теорема 3.1.6.Утв.Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие им собственные функции имеют вид:hi2(ν)(ν)(ν)λk = µk,J ν µk x ,k ∈ N,(ν)где µk – корни уравненияαJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.Доказательство.Во первых, поскольку функции Jν (x) – есть решения уравненияx2 J 00 (x) + xJ 0 (x) + x2 − ν 2 J(x) = 0,то функции Jν (µx) – есть решения уравненияx2 J 00 (µx) + xJ 0 (µx) + µ2 x2 − ν 2 J(µx) = 0.Поделим его на (−x) и перенесём слагаемое (−µ2 xJ(µx)) в правую часть:−xJ 00 (µx) − J 0 (µx) +ν2J(µx) = µ2 xJ(µx).x-238-Функции Бесселя на промежутке (0, 1)Объединив 2 первых слагаемых, получим:0− (xJ 0 (µx)) +ν2J(µx) = µ2 xJ(µx).xТаким образом, функция Jν (µx) есть решение уравнения −(xu0 )0 +значением λ = µ2 .ν2ux= λxu с собственнымВо-вторых, покажем, что Jν (µx) удовлетворяет первому краевому условию.
Поскольку, поопределению 3.1.2, при ν > −1∞ x 2k+νX(−1)k·,Jν (x) =Γ(k+ν+1)k!2k=0то12+νν= O (xν ) ,x → +0.xx+Oν2 Γ(ν + 1)В-третьих, покажем, что Jν (µx) удовлетворяет второму краевому условию. Поскольку то,что µ0 удовлетворяет уравнениюJν (x) =αJν (µ0 ) + βµ0 Jν0 (µ0 ) = 0,равносильно условию (достаточно сделать замену переменной y = µx)dJν (y) = 0,αJν (y) + βdxy=µ0то Каждая из функций Jν (µx) удовлетворяет второму краевому условию αu(1) + βu0 (1) = 0.(ν)Таким образом, все функции Jν µk x являются решениями задачи (3.1.23) с соответ(ν)ствующими собственными значениями µk .(ν)Осталось убедиться, что каждое решение задачи (3.1.23) есть функция Jν µk x , где(ν)µk – корни уравнения αJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.Общее решение уравнения x2 Z00 (x)+xZ0 (x)+(x2 − ν 2 ) Z(x) = 0 по следствию 3.1.1 (стр.
232),имеет видZν (x) = c1 Jν (x) + c2 Nν (x),ν ∈ R.2Поэтому общее решение уравнения −(xu0 )0 + νx u = µ2 xu2 в силу рассуждений в начале данногодоказательства, имеет видuν (x) = c1 Jν (µx) + c2 Nν (µx),ν ∈ R.При этом функции Nν (+0) = ∞ (см. теорему 3.1.2, стр.
235). Следовательно, решение задачи (3.1.23), в силу первого краевого условия может иметь вид толькоuν (x) = c1 Jν (µx).Наконец, подставляя Jν (µx) во второе краевое условиеαu(1) + βu0 (1) = 0,получаем, чтоαJν (µ) + βJν0 (µ) = 0.2Мы рассматриваем только λ = µ2 > 0, поскольку в силу теоремы 3.1.5, отрицательных собственныхзначений задача Штурма-Лиувилля (3.1.23) не имеет.c Д.С. Ткаченко-239-Подробно о цилиндрических функциях3.1.7.
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]Переформулируем основные для наших нужд теоремы для отрезка не единичной длины. Дляrrэтого сделаем замену переменной x = R , r ∈ (0, R). Тогда для функции ϕ(r) ≡ u R справедлива теорема:Теорема 3.1.7.Утв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
