Семинар 5 для К-6. Объёмный потенциал (1127982), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Нахождение u.c И.В. Тихонов, Д.С. ТкаченкоПоформуле,-15-определяющейобъёмныйпотенциал,УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциалZE(ξ, η)µ(ξ, η)dξdη,u(x, y) =(1.2)Dнам pнужно вычислить по кругу 0 6 ρ < 1, гдеρ = ξ 2 + η 2 , следующий интеграл:ZE(ξ, η)µ(ξ, η)dξdη =u(x, y) =D=Z12πlnρ<1p(x − ξ)2 + (y − η)2 · ξ dξdη ={z} | {z }|ρ cos ϕRZ2πZ1i1cos ϕ dϕ ln R(r, ϕ)ρ2 dρ.= в полярных координатах (ρ, ϕ) =2πh0(i)0pМы обозначили (см. рисунок) через R выражение (x − ξ)2 + (y − η)2 , равное длине вектораразности ~r − ρ~, откудаR2 = r2 + ρ2 − 2rρ cos(ϕ − ϕ0 ) = r2 + ρ2 − 2rρ cos ψ.Поэтому ρ 21ρln R = ln r + ln 1 +− 2 · · cos ψ2rrρrОбозначим, чтобы упростить запись, дробьраскладывается в ряд3 :2ln(1 + t − 2t cos ψ) = −2(ii)через t и убедимся, что ln(1 + t2 − 2t cos ψ)∞ nXt cos(nψ)n=1n,|t| < 1.(iii)В самом деле, продифференцируем (iii):∞∞XX2(t − cos ψ)n−1tk cos((k + 1)ψ).= −2tcos(nψ) = −21 + t2 − 2t cos ψn=1k=0(iv)Ряд в правой части, разложив cos((k + 1)ψ) по формуле Эйлера, представим в виде суммыдвух бесконечно убывающих геометрических прогрессий:∞Xtk cos((k + 1)ψ) =k=0=∞∞∞ eiψ X1 X k i(k+1)ψe−iψ X k −ikψt e+ e−i(k+1)ψ =tk eikψ +t e=2 k=02 k=02 k=0eiψe−iψeiψ − t + e−iψ − t11cos ψ − t=·+·=iψ−iψiψ−iψ2 1 − te21 − te2 (1 − te ) (1 − te )1 + t2 − 2t cos ψ3Заметим, что этот ряд – ряд Фурье по косинусам, и его коэффициенты можно было бы получить постандартным формуламZπ1an =ln(1 + t2 − 2t cos ψ) · cos nψ dψ.π0Эти интегралы надо сначала взять по частям, чтобы избавиться от логарифма, а затем, например, сделатьзамену w = eiψ , которая сведёт задачу к интегрированию рациональной дроби.c И.В.

Тихонов, Д.С. Ткаченко-16-УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциалИтак, (iv) обосновано, так как оно получается домножением последнего полученного равен∞∞PPства на (−2). При этом заметим, что рядыtk eikψ иtk e−ikψ сходятся при всех |t| < 1k=0k=0(даже для комплексных t), причём их сходимость равномерна в любой замкнутой подобластиэтого круга, поэтому их можно интегрировать почленно.Поскольку производные левой и правой частей (iii) равны, то чтобы убедиться, что (iii) верно,нам достаточно проверить, что оно выполняется при t = 0. А это действительно так:ln(1 + 02 − 2 · 0 · cos ψ) = −2∞X0n cos(nψ)nn=1= 0.Теперь вернёмся к интегралу правой части (i).12πZ2πZ1cos ϕ dϕ0hiln R(r, ϕ)ρ dρ = в силу (ii) и (iii) =20=12πZ2πZ1cos ϕ dϕ02 ln r=2πZ1cos ϕ dϕ}0{z=0ρ2 2 ln r −∞Xρn cos(nψ)n=10Z2π|0"#n rndρ =Z2πZ1∞1 X 1cos ϕ cos(nψ)dϕ ρn+2 dρ =ρ dρ −n2π n=1 n r2001 hZ2π∞i1 X 1ρn+3 cos(ϕ + nψ) − cos(nψ − ϕ)=−dϕ·=ψ=ϕ−ϕ0 =2π n=1 n rn2n + 3 00Z2π ∞1 X1=−cos (n + 1)ϕ − ϕ0 − cos (n − 1)ϕ − ϕ0dϕ.

(v)4π n=1 n(n + 3) rn0Наконец, так как интеграл от косинуса по целому числу периодов равен нулю, то при всехn, кроме n = 1, слагаемые ряда обращаются в нуль. Получаем, что весь ряд вырождается впервое слагаемое:Z2πZ1Z2πcos ϕ0x1 11 ·= − 2.cos ϕ dϕ ln R(r, ϕ)ρ2 dρ = −cos 2ϕ − ϕ0 − cos ϕ0  dϕ = −2π4π 4 r8r8r|{z}000даст нульОтсюда и из (i), наконец, получаемu(x, y) = −x,8r2r > 1.Заметим, что например при ϕ0 = 0, то есть в точке (x, 0), когда r = x, мы можем легкопроверить непрерывную дифференцируемость нашего объёмного потенциала при переходечерез r = 1:u(1 − 0, 0) =1 211 −2 =− ,88ur (1 − 0, 0) =c И.В.

Тихонов, Д.С. Ткаченкоu(1 + 0, 0) = − 113 · 12 − 2 = ,88-17-11=−28·18ur (1 + 0, 0) =11=8 · 128УМФ – семинар К 6 - 5 – Теория потенциала. Объёмный потенциалОтвет:µ(x, y) = x,r < 1,0,r > 1,u(x, y) =x8−(r2 − 2) ,x,8r2r 6 1,r > 1.Замечание 10.1.Полученный в № 269 ответ вполне согласуется со свойствами объёмного потенциала(утв. 1.1, стр. 2). В частности, u(x, y) → 0 при r → ∞ (хотя n = 2), соответствует п. 1.утв. 1.1, посколькуZµ(x, y) dxdy = 0.r<1c И.В. Тихонов, Д.С. Ткаченко-18-.

Характеристики

Список файлов лекций