Семинар 3 для К-6. Формулы Грина. Функция Грина. Дельта - функция Дирака (1127980), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Ткаченко0-14-0(iv)УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияВычисление интеграла (ii):Сложим равенства (iii) и (iv).Z+∞ Z+∞Z+∞Z+∞11ϕtt (x, t) − a2 ϕxx (x, t) E(x, t) dx dt = −ϕt (x, t)dt−ϕt (x, t)dt−22x=atx=−at−∞ −∞0−a2Z+∞ϕx (x, t)dt +x=ata201≡−2Z+∞0ddt0Z+∞ϕx (x, t)dt ≡x=−at0ϕ(x, t)x=at1dt −2Z+∞ddtϕ(x, t)dt =x=−at011ϕ(0, 0) ϕ(0, 0)= ϕ(at, t) + ϕ(−at, t) =+= ϕ(0, 0),2222t=0t=0откуда левая часть (ii) равнаZ+∞ Z+∞2Ett (x, t) − a Exx (x, t) ϕ(x, t) dx dt = ϕ(0, 0),−∞ −∞то есть справедливо равенство (i), что и требовалось доказать.13.

Дополнение. Дифференцирование обобщённых функцийОпр. 13.1. Производной от обобщённой функции f (x) по переменной xk называется обобщённая функция f 0 (x), такая что для любой бесконечно гладкой финитной ϕ(x)выполняется равенство:ZZ0f (x)ϕ(x)dx = − f (x)ϕ0 (x)dx.RnRn(Это равенство получилось бы для f (x), если бы она была из C 1 (Rn ), при помощи однократного интегрирования по частям.)Дифференциальным оператором D от обобщённой функции f (x) называется оператор, ставящий обобщённой функции f (x) в соответствие обобщённую функцию Df (x),такую что для любой бесконечно гладкой финитной ϕ(x) выполняется равенство:ZZDf (x)ϕ(x)dx = f (x)D∗ ϕ(x)dx,RnRnгде D∗ – дифференциальный оператор, сопряжённый к D.

(Если бы f (x) была из C ∞ (Rn ),при помощи интегрирования по частям все производные, которые оператор D берёт от f (x),перекидываются на ϕ(x), и получается D∗ ϕ(x).)Например, оператор, сопряжённый к оператору Лапласа, это оператор Лапласа.c Д.С. Ткаченко-15-УМФ – семинар К 6 - 3 – Формулы Грина. Функция Грина. Дельта функцияПример 13.1. Рассмотрим функцию Хэвисайда:f (x) =0,1,x 6 0;x>0(13.1)и найдём её производную, как производную обобщённой функции.Z+∞Z+∞hi0f (x)ϕ(x)dx = −f (x)ϕ0 (x)dx = в силу (13.1) =−∞−∞Z+∞+∞ hi= в силу финитности ϕ(x), ϕ(+∞) = 0 = ϕ(0).=−1 · ϕ0 (x)dx = −ϕ(x)00Таким образом, для любой финитной бесконечно гладкой ϕ(x),Z+∞f 0 (x)ϕ(x)dx = ϕ(0).−∞Но это равенство совпадает с равенством, определяющим δ(x).

Поэтому,f 0 (x) = δ(x).Замечание 13.1.При доказательстве утверждений I и II (стр. 5 и 13) мы начинали с формального примененияопределения δ-функции. Однако, строго говоря, надо было сначала ввести определение (13.1)дифференциального оператора от обобщённой функции (ведь в обеих задачах у нас под знаком интеграла стоят производные разрывных функций, и необходимо описать, что мы подэтим понимаем). Вместо этого мы в каждом из этих примеров провели действия, которые изначально и легли в основу определения (13.1): перебросили производные с обобщённой функции на бесконечно гладкую финитную ϕ(x). Это иллюстративный подход.

Строго говоря, онне вполне правомочный, но более наглядный.c Д.С. Ткаченко-16-.

Характеристики

Список файлов лекций