Семинар 6 для К-6. Уравнение теплопроводности в шаре - простейший случай. Метод Фурье (1127983), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

задача Штурма–Лиувилля не может иметьотрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(r) = c1 r. Поэтому извторого краевого условия RX0 (R) − X(R) = 0 получаем, что c1 R − c1 R = 0 – верное привсех c1 тожедство. Поэтому задача Штурма–Лиувилля имеет собственное число, равноенулю, и соответствующую ему собственную функциюX0 (r) = r,n = 0.(6.13)Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решенийppλn R = tg( λn R), n ∈ Nλ0 = 0,λn :no poXn (r) = r, sinλn r ,n = 0, 1, 2, .

. .задачи (6.4), (6.5). Стало быть, рассматривать задачу (6.6) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T0n (t) + a2 λn Tn (t) = 0,t > 0,n > 0.(6.14)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:no no2Tn (t) = A0 , Tn (t) = An e− a λn t ,n = 0, 1, 2, . . .(6.15)где An – произвольные постоянные.Шаг 3. Решаем задачу (6.2).Будем искать решение задачи (6.2) в виде v(r, t) =∞PXn (r)Tn (t), т.е.n=0v(r, t) = A0 r +∞Xsinp2λn r An e− a λn t .(6.16)n=1Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияv(r, 0) = rf (r). Для функции v(r, t) искомого вида (6.21) они означают:rf (r) = v(r, 0) = A0 r +∞XXn (r)Tn (0) = A0 r +n=1c Д.С.

Ткаченко∞Xn=1-7-An sinpλn r ,(6.17)УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случайПусть функция rf (r), входящая в начальное условие, разлагается в ряд Фурье по собственнымфункция задачи Штурма–Лиувилля:rf (r) = α0 r +∞Xαn sinpλn r ,(6.18)n=1Выясним, какими должны быть коэффициенты αn ≡ An .

Для этого домножим (6.18) на√Xm = sin λm r скалярно в смысле L2 [0, R] и учтём, что система собственных функцийзадачи Штурма–Лиувилля является ортогональной в смысле этого скалярного произведения(это проверяется элементарным интегрированием):ZR(rf, Xm ) = αm0ZR p pαmλm r dr =sin21 − cos 2 λm r dr =20! pr=R1αmαmR− √=sin 2 λm r =222 λmr=0откуда, пользуясь тождествами cos2 α =1,1+tg2 α!√sin 2 λm R√R−.2 λmsin 2α = 2 sin α cos α, получаем: h√√√√pR sin λm R cos λm Rsin 2 λm Rtg( λm R) i√√=R−R−=λm ==R2 λmtg( λm R) hip1λm R = cos2 α === R − R cos21 + tg2 αhpiRR22√=R−=tgλR=λR==R−mm21 + λm R 21 + tgλm R=λm R 3.1 + λm R 2В итоге для коэффициентов αn ≡ An получаем равенство:2 (1 + λn R2 )2 (1 + λn R2 )An = αn =(rf,X)=nλm R 3λn R 3ZRrf (r) sinpλn r dr,n ∈ N.(6.19)0Осталось найти A0 .

Аналогично,ZR(rf, X0 ) = α0R3r2 dr = α0,3откуда03A0 = α0 = 3RZRr2 f (r) dr.(6.20)0Подставим в формулу (6.21) найденные коэффициенты An из (6.19) и (6.20).RZR∞p2 ZXp32 2 (1 + λn R ) ρf (ρ) sinλρdρsinλre− a λn t .v(r, t) =  3 ρ2 f (ρ) dρ r+nn3Rλn Rn=100(6.21)Вспомним, что v(r, t) = ru(r, t), и поделимна r: (6.21)RR∞ − a2 λ tRR√√P21+λn RnОтвет: u(r, t) = R33 ρ2 f (ρ) dρ + rR2 3ρf(ρ)sinλρdρsinλre.nnλn0c Д.С. Ткаченкоn=10-8-УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случай7. № 708(а).Найти ограниченную функцию u(r, t) из условий ut = a2 ∆u,u(r, 0) = T,u(R, t) = P,в Ω∗T ;в BR ;0 < t < T.(7.1)Шаг 1. Избавление от неоднородности в граничном условии.Помня, что ∆u = urr + 2r ur , нужно подобрать функцию w(r, t) (желательно простого вида),которая удовлетворяла бы и уравнению и неоднородному краевому условию.

То есть будемискать решение u(r, t) задачи (7.1) в видеu(r, t) = v(r, t) + w(r, t),где функция w(r, t) удовлетворяет условиям:wt = a2 ∆w ≡ a2 wrr + 2r wr ,w(R, t) = P,в Ω∗T ;0 < t < T.(7.2)В данном случае краевое условие очень простое, и условия (7.2) выполняются, очевидно, дляфункции простейшего вида:w(r, t) = P.(7.3)Тогда v(r, t) = u − w ≡ u − P есть решение следующей задачи:в Ω∗T ; vt = a2 ∆v,v(r, 0) = T − P,в BR ;v(R, t) = 0,0 < t < T.(7.4)Шаг 2.

Решение задачи (7.5).Задача (7.5) есть частный случай уже решённой нами в номере 705 задачи (5.1) с функциейf (r) = T − P.Воспользуемся результатом номера 705: RZ∞X(πna)22 ρf (ρ) sin πnρ dρ e− R2 t sin πnr .v(r, t) =rR n=1RR(7.5)0Чтобы получить ответ к нашей задаче, нам осталось только посчитать интегралы:ZRZRπnρπnρρ (T − P ) sindρ = (T − P ) ρ sindρ =RR00ZRhiρ=RR πnρ πnρ = по частям = − (T − P )ρ cos− cosdρ =πnR ρ=0R0ρ=R !RRπnρ (−1)n R2n= (P − T )(−1) R −sin=(P − T ) .πnπnR ρ=0πnπnρρf (ρ) sindρ =R0ZRТаким образом,∞ ∞2(πna)22 X (−1)n R2πnr2R (P − T ) X (−1)n − (πna)πnr−2 tRv(r, t) =(P − T ) esin=e R2 t sin.rR n=1πnRπrnRn=1Поэтому, для функции u(r, t) = v(r, t) + P , получаем2∞P(−1)n − (πna)tR2Ответ: u(r, t) = P + 2R(Pπr−T )esin πnr.nRn=1c Д.С. Ткаченко-9-УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случай8.

№ 708(б).Найти ограниченную функцию u(r, t) из условий ut = a2 ∆u,u(r, 0) = T, ∂u k ∂r r=R = q,в Ω∗T ;в BR ;0 < t < T.(8.1)Шаг 1. Избавление от неоднородности в граничном условии.Помня, что ∆u = urr + 2r ur , нужно подобрать функцию w(r, t) (желательно простого вида),которая удовлетворяла бы и уравнению и неоднородному краевому условию.

То есть будемискать решение u(r, t) задачи (8.1) в видеu(r, t) = v(r, t) + w(r, t),где функция w(r, t) удовлетворяет условиям:wt = a2 ∆w ≡ a2 wrr + 2r wr ,k ∂w= q,∂r r=Rв Ω∗T ;0 < t < T.(8.2)Из-за того, что граничное условие – второго рода, w должна содержать хотя бы r в первойстепени. Но поскольку в уравнении есть слагаемое 2r wr , которое для функции вида αr превратится в 2α, то просто полином первой степени от r удовлетворить уравнению не сможет.rВ этом случае надо искать w в видеw(r, t) = αr2 + η(t),(8.3)где η(t) подбирается так, чтобы выполнялось уравнение wt = a2 ∆w.Подставим искомую функцию w вида (8.3) в граничное условие:∂w qk= 2kαR = q=⇒α=.∂r r=R2kRТогдаq 2r + η(t).2kRПодставим эту функцию в уравнение wt = a2 ∆w = a2 wrr + 2r wr :2q2 2q3qa23qa202η (t) = a+ ·r ==⇒η(t) =t+c2kR r 2kRkRkRw(r, t) =Константу c возьмём равной нулю, нам ведь не нужно искать все решения (8.2), а достаточнонайти самое простое.

Итак:q 2 3qa2w(r, t) =r +t.(8.4)2kRkRТогда v(r, t) = u − w есть решение следующей задачи:в Ω∗T ; vt = a2 ∆v,qv(r, 0) = T − w(r, 0) = T − 2kR r2 = f (r),в BR ;(8.5)v(R, t) = 0,0 < t < T.Шаг 2. Решение задачи (8.6).Задача (8.6) есть частный случай уже решённой нами в номере 706 задачи (6.1) с функциейf (r) = T −c Д.С. Ткаченко-10-q 2r .2kRУМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случайВоспользуемся результатом номера 706:3v(r, t) = 3RZRρ2 f (ρ) dρ+0R∞p2 ZXp22 1 + λn Rρf(ρ)sinλρdρsinλre− a λn t , (8.6)+nn3rR n=1λn0где λn положительные корни уравненияppλn R = tg( λn R),n ∈ N.(8.7)Чтобы получить ответ к нашей задаче, нам осталось только посчитать интегралы:ZRZR2ρ f (ρ)dρ =а)0q 2T R3ρ dρ =2kR3−qR5T R3=10kR3−qR410k0ZRб)ρ2 T −ρf (ρ) sinpZR λn ρ dρ = ρ T −00ppq 2qR2ρ sinλn ρ dρ = − √cosλn R ,2kRk λnпосколькуZRρ sinp0RZipp−1ρ=Rλn ρ dρ = по частям = √  ρ cosλn ρ − cosλn ρ dρ =ρ=0λn0ppρ=R −11=√R cosλn R − √ · sinλn ρ =ρ=0λnλnp cos √λ R hi−1 pn√R λn − tgλn R= в силу (8.7) = 0=√λnλnhиZRρ3 sinhipλn ρ dρ = 2 раза по частям =0−1= √  ρ3 cosλnpZRρ=Rpλn ρ λn ρ dρ =− 3 ρ2 cos−1=√λnc Д.С.

Ткаченкоρ=00ZRppρ=R  2 ρ sinλn ρ − 2 ρ sinλn ρ dρ =ρ=0|0{z}=0!√psin λn R−1√=√R3 cosλn R − 3R2=λnλn"#√psin λn R√= в силу (8.7),= R cosλn R =λnp2= √ R3 cosλn R .λnp 33R cosλn R − √λn-11-УМФ – семинар К 6 - 6 – Теплопроводность в шаре: простейший случайИтак, коэффициенты An равныZRpp1 + λn R 2qR21 + λn R 2ρf (ρ) sinλn ρ dρ =· − √cosλn R=An =λnλnk λn#"0p1 =√= в силу (8.7), 1 + λn R2 = 1 + tg2λn R =cos2λn R=kλn√−qR2.√λn cos λn RПодставив найденные интегралы в (8.6), получаем:3v(r, t) = 3RT R3qR4−310k∞2 X+rR3 n=1−qR2√√kλn λn cos λn R!sin∞2q X3qR−=T −10kkrR n=1p2λn r e− a λn t =!√2sin λn r e− a λn t .√√λn λn cos λn R2q3qar2 + t, получаемПоэтому, для функции u(r, t) = v(r, t) + w(r, t) = v(r,t) + 2kRkR√2∞−aλtnP2sin( λn r)eq2q√√r2 + 3qat + T − 3qR− krRОтвет: u(r, t) = 2kR.kR10kλn λn cos( λn R)n=1c Д.С.

Ткаченко-12-.

Характеристики

Список файлов лекций