Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Условие u(R, z) = 0превратилось в v(R, z) = 0, и это позволит нам ниже поставить корректную задачу Штурма–Лиувилля для Xk (r).Шаг 1. Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.43.3) в видеu(r, z) =∞XXk (r)Zk (z),(1.43.4)k=...то, подставив (1.43.4) в уравнение∞ X1k=...r·1r· (rvr )r + vzz = 0, получим:0(rX0k (r))Zk (z) +Xk (r)Z00k (z)= 0.Это равенство заведомо верно, если все члены ряда в левой части равны нулю:10· (rX0k (r)) Zk (z) + Xk (r)Z00k (z) = 0,r∀k.Поделив последнее равенство на Xk (r)Zk (z), получим:1r· (rX0k (r))0 Z00k (z)+= 0.Xk (r)Zk (z)Cумма дробей, одна из которых зависит только от r, а другая – только от z, может бытьконстантой в том и только в том случае, если каждая из этих дробей константы. То есть∃ λk :1· (rX0k (r))0Z00 (z)r=− k= −λk .Xk (r)Zk (z)Таким образом, для функций Xk (r) и Zk (z) получаем уравнения10· (rX0k (r)) + λk Xk (r) = 0,rZ00k (z) − λk Zk (z) = 0.c Д.С.
Ткаченко-177-(1.43.5)(1.43.6)Задачи на модифицированные функции БесселяРавенство (1.43.5) мы перепишем в виде:−10· (rX0k (r)) = λk Xk (r).r(1.43.7)Это – в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0. Выясним, какие краевыеусловия на X(r) следуют из условий задачи (1.43.3).Условие |u(0, z)| < ∞ превратится в|Xk (+0)| < ∞,(1.43.8)Xk (R) = 0.(1.43.9)а условие u(R, z) = 0 – в условиеШаг 2.
Решение задачи Штурма-Лиувилля для Xk (r)Для функций Xk (r) мы получили задачу Штурма-Лиувилляλ = λk , ν = 0, α = 1 и β = 0:0 − (rX0k (r)) = λk rXk (r).|Xk (+0)| < ∞,Xk (R) = 0.вида(1.1.17)с(1.43.10)Воспользуемся результатом теоремы 1.1.3, стр. 4.Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.
Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и только тогда, когдаν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(x) ≡ const.В нашем случае α = 1, поэтому задача Штурма-Лиувилля (1.43.10) имеет только строго положительные собственные значения. Чтобы их найти,Применим теорему 1.1.4, стр.
4:Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие имсобственные функции имеют вид:#!"(ν)(ν) 2µrµ(ν)kk,Jν,k ∈ N,λk =RR(ν)где µk – корни уравненияαRJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.В нашем случае ν = 0, α = 1, β = 0, поэтомусобственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1.43.10) имеют вид: 2 λk = µRk ,Xk (r) = J0 µRk r ,k ∈ N,(1.43.11)где µk − корни уравненияJ0 (µ) = 0.Шаг 3. Решение задачи для Zk (z)Для функций Zk (z) мы получили уравнение (1.43.6) Z00k (z) − λk Zk (z) = 0. Вспомним, что 2λk = µRk , и добавим к нему краевые условия, следующие из условийv(r, 0) = v(r, l) = −QR2 − r2 ≡ ψ(r),4κ-178-№ 786 д)чтобы получить задачу Штурма-Лиувилля:2 Z00k (z) − Rµk2 Zk (z) = 0.Z (0) = ψk , kZk (l) = ψk .(1.43.12)µ2kZ (z)R2 kОбщее решение уравнения Z00k (z) −= 0 имеет видµ z µ z kkZk (z) = c1 sh+ c2 ch.RRИз краевого условия Zk (0) = ψk следует, что c2 = ψk , откудаµ z µ z kkZk (z) = c1 sh+ ψk ch.RRТогда из краевого условия Zk (l) = ψk получаемZk (l) = c1 shµk lR+ ψk chµk lR= ψk ,=⇒c1 =ψk 1 − chµk lRshµk lR.Таким образом,Zk (z) =ψkshµk lR1 − chµk lR+ shµk lR µ z kch,Rk ∈ N.(1.43.13)Шаг 4.
Разложение функции ψ(r) в ряд по собственным функциям задачи Штурма–ЛиувилляВ соответствии с теоремой 1.1.5, стр. 4, функция ψ(r) ≡ T разлагается в ряд Фурьеψ(r) =∞Xψk J0k=11ψk = 21J00 (µk ) + 12 1 −2| {z }02(µk )2J02 (µk )| {z }1· 2·Rµ rk,RZRrψ(r)J0(1.43.14)µ rkdr =R0=0=[−J1 (µk )]221= 2· 2·R J1 (µk )ZRrψ(r)J0µ rkdr.R0Ответ в общем виде:v(r, z) =∞Xk=1ψkshµk lR1 − chµk lR+ shµk lR µ z µ r kkchJ0,RRгде µk – положительные корни уравнения J0 (µ) = 0, а ψk задаются формулами:2ψk = 2 2·R J1 (µk )c Д.С. ТкаченкоZRrψ(r)J00-179-µ rkdr.R(1.43.15)Задачи на модифицированные функции БесселяQПоскольку в нашем случае ψ(r, z) ≡ − 4κ(R2 − r2 ), то для вычисления ψk нам понадобятсяRRRRинтегралы r3 J0 µRk r dr и rJ0 µRk r dr:00Zµkµ rhhiµk r i R 4k3r J0dr = x == 4 · x J0 (x) dx = в силу (1.1.9), стр.
2, при ν = 1 =RRµk00µkx=µkZµkZhi44RR− 2 x2 J1 (x) dx == 4 · x2 · [xJ1 (x)]0 dx = по частям = 4 · x3 J1 (x) µkµkx=000µkZhi R4 20x J2 (x) dx == в силу (1.1.9) при ν = 2 = 4 · µ3k J1 (µk ) − 2µk0x=µk 4R4R= 4 · µ3k J1 (µk ) − 2 x2 J2 (x) = 4 · µ3k J1 (µk ) − 2µ2k J2 (µk ) =µkµkx=02R4 (µ2k − 4)= в силу (1.1.10) при ν = 1, J2 (µk ) −J1 (µk ) + J0 (µk ) = 0 =J1 (µk ) .| {z }µkµ3kZR3=0(1.43.16)ZR0µ rhi R2 ZµkhiµrkkrJ0dr = x == 2 · xJ0 (x) dx = в силу (1.1.9), стр.
2, при ν = 1 =RRµk0R2= 2 ·µkZµk0R2[xJ1 (x)] dx = 2 ·µk0x=µk R2xJ1 (x) J1 (µk ) . (1.43.17)=µkx=0Таким образом, для ψk мы получаем RZRZZR2Qµk r2µk rµk r· rψ(r)J0dr =· r3 J0dr−R2 rJ0dr =ψk = 2 222R J1 (µk )R4κR J1 (µk )RR000hi4222QR (µk − 4)R= в силу (1.43.16) и (1.43.17) =·J1 (µk ) − R2J1 (µk ) =2324κR J1 (µk )µkµk=2Q−4R4 J1 (µk )2QR2·=−4κR2 J12 (µk )µ3kκµ3k J1 (µk )Итак, мы готовы выписать функцию ∞Xψkµk z µk lµk lµk r v(r, z) =1−ch+shchJ=0µk lRRRRshRk=1 ∞2QR2 X1µk lµk lµk z µk r +shchJ=−1−ch0κ k=1 µ3k J1 (µk ) sh µRk lRRRRQПоэтому, в силу u(r, z) = v(r, z) + w(z) = u(r, z) + 4κ(R2 − r2 ), получаемОтвет: ∞J0 µRk rQ2QR2 Xµk lµk lµk z 22 1 − chu(r, z) =R −r −+ shch,4κκ k=1 µ3k J1 (µk ) sh µRk lRRR-180-№ 786 д)где µk – положительные корни уравнения J0 (µ) = 0.c Д.С.
Ткаченко-181-Глава 2.Сферические функции2.1. Краткое введение2.1.1. Полиномы ЛежандраОпр. 2.1.1. Уравнение Лежандра:d2 dy(x)(1 − x )+ λy(x) = 0,dxdxx ∈ (−1, 1).(2.1.1)Теорема 2.1.1.Усл.Утв.Ограниченная функция y(x) 6≡ 0 есть решение уравнения (2.1.1).1) λ = n(n + 1), где n = 0, 1, 2, .
. . ;2) функция y(x) является полиномом степени n, называемым полиномом Лежандра, и может быть найдена по формуле Родрига:y(x) = Pn (x) =n dn 21·x−1.2n n! dxn(2.1.2)Теорема 2.1.2 (Рекуррентные формулы).Утв.Имеют место следующие соотношения(n + 1)Pn+1 (x) − x(2n + 1)Pn (x) + nPn−1 (x) = 0,0Pn−1(x) = xPn0 (x) − nPn (x),00Pn0 (x) = xPn−1(x) + nPn−1(x),00Pn+1 (x) − Pn−1 (x) = (2n + 1)Pn (x),(1 − x2 )Pn0 (x) = nPn−1 (x) − xnPn (x),n > 1;n > 1;n > 1;n > 1;n > 1.(2.1.3)(2.1.4)(2.1.5)(2.1.6)(2.1.7)Кроме приведённых формул, также весьма полезны следующие соотношения:Pn (−x) = (−1)n Pn (x),P2m+1 (0) = 0,Pn (1) = 1,Pn (−1) = (−1)n ,(−1)m (2m)!P2m (0) =,m > 0.22m (m!)2183n > 1;(2.1.8)(2.1.9)Сферические функцииВыпишем первые несколько полиномов Лежандра:5x3 − 3x;263x5 − 70x3 + 15x35x4 − 30x2 + 3,P5 (x) =;P4 (x) =88231x6 − 315x4 + 105x2 − 5P6 (x) =,...16P0 (x) = 1,P1 (x) = x,P2 (x) =3x2 − 1,2P3 (x) =Теорема 2.1.3 (Ортогональность и норма полиномов Лежандра).Z10,при k 6= n;Утв.(Pk (x), Pn (x)) ≡ Pk (t)Pn (t)dt =2,при k = n.2k+1(2.1.10)(2.1.11)(2.1.12)(2.1.13)−1Теорема 2.1.4 (Разложение в ряд по полиномам Лежандра от косинусов).Усл.f (θ) ∈ C 2 [0, π].Утв.f (θ) разлагается в следующий ряд Фурьеf (θ) =∞Xk=0fk Pk (cosθ),2k + 1fk =2Zπf (θ)Pk (cos θ) sin θdθ,θ ∈ [0, π].
(2.1.14)0При этом ряд (2.1.14) сходится к f (θ) равномерно на всём сегменте [0, π].2.1.2. Присоединённые функции ЛежандраЗдесь мы будем рассматривать следующее уравнение: dm22 dy(x)(1 − x )+ λ−y(x) = 0,dxdx1 − x2-184-x ∈ (−1, 1).(2.1.15)Сферические функцииТеорема 2.1.5.Усл.Ограниченная функция y(x) 6≡ 0 есть решение уравнения (2.1.15).1) λ = n(n + 1), где n = 0, ∞;Утв.2) функция y(x), называемая присоединённой функцией Лежандра порядкаk, может быть найдена по формуле:y(x) = Pnm (x) = 1 − x2 m2 dm Pn (x),·dxmm = 0, n;(2.1.16)(0)3) при этом Pn (x) ≡ Pn (x) – полиномы Лежандра, а Pnm (x) ≡ 0 при всех m > n.Опр.
2.1.2. ФункцииPnm (cos θ) cos kϕ,Pnm (cos θ) sin kϕ,m = 0, n,n = 0, ∞,(2.1.17)называются сферическими гармониками.Теорема 2.1.6 (Ортогональность и норма присоединённых функций Лежандра).(Z10,при k =6 n;Утв.(2.1.18)(Pkm (x), Pnm (x)) ≡ Pkm (t)Pnm (t)dt =(k+m)!2·,при k = n.2k+1 (k−m)!−1Теорема 2.1.7 (Разложение в ряд по сферическим гармоникам).Усл.g(θ, ϕ) ∈ C 2 , θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π], g(θ, ϕ + 2π) = g(θ, ϕ).Утв.g(θ, ϕ) разлагается в следующий ряд Фурье#"k∞XXαk0Pkm (cos θ) (αkm cos(mϕ) + βkm sin(mϕ)) , (2.1.19)Pk (cos θ) +g(θ, ϕ) =2m=1k=0αkm2k + 1 (k − m)!=·2π(k + m)!βkm =2k + 1 (k − m)!·2π(k + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)0Z2π0Zπdϕ sin(mϕ)0g(θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.1.20)g(θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.1.21)0При этом ряд (2.6.16) сходится к g(θ, ϕ) абсолютно и равномерно наθ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].c Д.С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
