Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В зависимости от того, что мывыбираем, мы получим задачу Штурма–Лиувилля либо для Xk (r), либо для Zk (z), и соответственно вид ряда в ответе.Шаг 1. Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.37.4) в виде∞Xv(r, z) =Xk (r)Zk (z),(1.37.5)k=...1rто, подставив (1.37.5) в уравнение∞ X1k=...r·· (rvr )r + vzz = 0, получим:0(rX0k (r))Zk (z) +Xk (r)Z00k (z)= 0.Это равенство заведомо верно, если все члены ряда в левой части равны нулю:10· (rX0k (r)) Zk (z) + Xk (r)Z00k (z) = 0,r∀k.Поскольку сумма дробей, одна из которых зависит только от r, а другая – только от z, можетбыть нулём в том и только в том случае, если каждая из этих дробей – одна и та же константа,но с разным знаком, то ∃ λk ∈ R :−1r· (rX0k (r))0Z00 (z)= k= −λk .Xk (r)Z(z)Таким образом, для функций X(r) и Z(z) получаем уравнения10· (rX0k (r)) − λk Xk (r) = 0,rZ00k (z) + λk Zk (z) = 0.(1.37.6)(1.37.7)Равенство (1.37.6) мы перепишем в виде:−10· (rX0k (r)) = λk Xk (r).r(1.37.8)Это – почти в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0, только знак перед λk нетот.
Выясним, какие краевые условия на X(r) следуют из условий задачи (1.37.4).Условие |v(0, z)| < ∞ превратится в|Xk (+0)| < ∞,(1.37.9)а условие v(R, z) = ψ(z) с учётом, что для ψ(z) справедливо разложениеψ(z) =∞Xψk Zk (z),k=...c Д.С. Ткаченко-157-(1.37.10)Задачи на модифицированные функции Бесселяпрейдёт в условиеXk (R) = ψk .(1.37.11)Шаг 2. Решение задачи Штурма-Лиувилля для Zk (z)Для функций Zk (z) мы получили уравнение (1.37.7) Z00k (z) + λk Zk (z) = 0. Добавим к немукраевые условия, следующие из условий v(r, 0) = v(r, 2l) = 0, 0 6 r < R, чтобы получитьзадачу Штурма-Лиувилля: 00 Zk (z) + λk Zk (z) = 0.Zk (0) = 0,(1.37.12)Zk (2l) = 0.Эту задачу мы неоднократно решали, выпишем результат:собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1.37.12) имеют вид:πkπkz2λk = κk ,κ=,Zk (z) = sin,k ∈ N.(1.37.13)2l2lШаг 3.
Решение задачи для Xk (r)Для функций Xk (r) мы получили задачу Штурма-Лиувилля видаλ = −κk2 , ν = 0, α = 1 и β = 0, только с неоднородным краевым условием:0 − (rX0k (r)) = −κk2 rXk (r).|Xk (+0)| < ∞,Xk (R) = ψk .(1.1.17)с(1.37.14)Приведём наше уравнение − (rX0k (r))0 = −κk2 rXk (r) к виду (1.1.1). Сначала перепишем его ввиде 200− (rXk (r)) = iκk rXk (r)Далее в результате заменыx = iκr,X0k (r) = iκY0 (x),Y(x) = Y(iκr) = Xk (r)X00k (r) = (iκ)2 Y00 (x)получим, что−rX00k (r)−X0k (r)2=iκkrXk (r)превратится вx− · (iκ)2 Y00 (x) − iκY0 (x) =iκ2iκkx· Y(x),iκсократив на −iκ, получаем уравнение:xY00 (x) + Y0 (x) + xY(x) = 0,которое есть в точности уравнение Бесселя (1.1.1) с ν = 0.Воспользуемся результатом теоремы 1.1.1, стр.
2.Общее решение уравнения Бесселя (1.1.1) задаётся из формулойZν (x) = c1 Jν (x) + c2 Nν (x),ν ∈ R.В нашем случае ν = 0, а x = iκr, поэтомуXk (r) = c1 J0 (iκr) + c2 N0 (iκr).-158-№ 784В силу краевого условия |Xk (+0)| < ∞, поскольку N0 (+0i) = ∞, получаем, что c2 = 0,поэтомуhiXk (x) = c1 J0 (iκr) ≡ в силу (1.1.7), стр. 1 при ν = 0 ≡ c1 I0 (κr).Краевое условие Xk (R) = ψk даёт нам константу c1 :c1 I0 (κR) = ψk ,=⇒c1 =ψk.I0 (κR)Наконец, получаем, что решениями задачи (1.37.14) с неоднородным краевым условием являются функции:I0 (κk r)πkXk (r) =,где κk =,k ∈ N.(1.37.15)I0 (κk R)2lШаг 4.
Разложение функции ψ(z) в ряд по собственным функциям задачи ШтурмаЛиувилля (1.37.12)Функция ψ(z) может быть разложена в ряд по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля (1.37.12) следующим образом5 :ψ(z) =∞Xψk sin πnz 1ψk = ·lс коэффициентами2lk=1Z2lψ(z) sinπkz2l(1.37.16)dz.(1.37.17)0Ответ в общем виде:v(r, z) =∞Xψk ·k=1где κk =πk2lI0 (κk r)· sin (κk z) ,I0 (κk R)а ψk задаются формулами (1.37.17):1ψk = ·lZ2lψ(z) sinπkz2ldz.(1.37.17)0Поскольку в нашем случаеψ(z) ≡ ψ1 (z) − η(z) = −z2l2l−z2l(V2 − V1 ) ,0 < z < l,(1.37.3)(V2 − V1 ) ,l < z < 2lто для вычисления ψk нам надо найти интегралыZ2lsinπkz2ll52ldz = −cosπkz=2l πkz 2lπkk+1=(−1)+ cos=2lπk2z=l 2l(−1+(−1)m ),πk= 2l,πkПодобные задачи мы решали многократно и подробно, см., например, в № 705, semS1c Д.С.
Ткаченко-159-k = 2m,k = 2m − 1.Задачи на модифицированные функции БесселяZ2lz sinπkz2ldz =2l −z cosπk0z=2l Z2lπkz πkzdz =+ cos2l2lz=00z=2l2l4l2 (−1)k+12lπkzk+1==2l (−1)+sinπkπk2lπkz=0Тогда для ψk мы получаемZ2lπkzψ(z) sindz =2l0ZlZ2lZ2lπkzπkzπkz1 V2 − V1 · − z sindz + 2l sindz − z sindz == ·l2l2l2l2l0ll 2l2lZZV2 − V1 πkzπkz=dz − z sindz =· 2l sin22l2l2l0l 2m)4l(−1+(−1)4l2 (−1)k+1V2 −V1,k = 2m,·−2πkπk 2l=k+121 V2 −V· 2l · 2l − 4l (−1),k = 2m − 1.21ψk = ·l2lπkπkТаким образом,ψk =V2 −V1π0,· (−1)m ,k = 2m,(1.37.18)k = 2m − 1.Итак, мы уже знаем функциюv(r, z) =∞Xk=1ψk ·I0 (κk r)· sin (κk z) ,I0 (κk R), а ψk задаются формулами (1.37.18).где κk = πk2lЕсли перейти в этом ряде к суммированию по m, получим∞V2 − V1 X (−1)m I0 (κ2m r)··· sin (κ2m z) .v(r, z) =πmI0 (κ2m R)m=1Ответ:∞zV2 − V1 X (−1)m I0u(r, z) = V2 +··2lπmI0m=1πmrl πmRl· sin πmz l.1.38. № 785В конечной трубе b 6 r < d, 0 < z < l, 0 6 ϕ < 2π найти функцию u(r, z) изусловий:0 6 r < R, 0 < z < l; ∆u ≡ 1r · (rur )r + uzz = 0,u(b, z) = 0, u(d, z) = U0 < z < l;(1.38.1)u(r, 0) = u(r, l) = 0,b < r < d.-160-№ 785Шаг 1.
Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.38.1) в видеu(r, z) =∞XXk (r)Zk (z),(1.38.2)k=...1rто, подставив (1.38.2) в уравнение∞ X1k=...r·· (rur )r + vzz = 0, получим:0(rX0k (r))Zk (z) +Xk (r)Z00k (z)= 0.Это равенство заведомо верно, если все члены ряда в левой части равны нулю:10· (rX0k (r)) Zk (z) + Xk (r)Z00k (z) = 0,r∀k.Поскольку сумма дробей, одна из которых зависит только от r, а другая – только от z, можетбыть нулём в том и только в том случае, если каждая из этих дробей – одна и та же константа,но с разным знаком, то ∃ λk ∈ R :−1r· (rX0k (r))0Z00 (z)= k= −λk .Xk (r)Z(z)Таким образом, для функций X(r) и Z(z) получаем уравнения10· (rX0k (r)) − λk Xk (r) = 0,rZ00k (z) + λk Zk (z) = 0.(1.38.3)(1.38.4)Равенство (1.38.3) мы перепишем в виде:−10· (rX0k (r)) = λk Xk (r).r(1.38.5)Это – почти в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0, только знак перед λk нетот.
Выясним, какие краевые условия на X(r) следуют из условий задачи (1.38.1).Условие u(b, z) = 0 превратится вXk (b) = 0,(1.38.6)а условие u(d, z) = ψ(z) ≡ U с учётом, что для ψ(z) справедливо разложениеψ(z) =∞Xψk Zk (z),(1.38.7)k=...прейдёт в условиеXk (d) = ψk .(1.38.8)Шаг 2. Решение задачи Штурма-Лиувилля для Zk (z)Для функций Zk (z) мы получили уравнение (1.38.4) Z00k (z) + λk Zk (z) = 0. Добавим к немукраевые условия, следующие из условий u(r, 0) = u(r, l) = 0, b < r < d, чтобы получитьзадачу Штурма-Лиувилля: 00 Zk (z) + λk Zk (z) = 0.Zk (0) = 0,(1.38.9)Zk (l) = 0.c Д.С.
Ткаченко-161-Задачи на модифицированные функции БесселяЭту задачу мы неоднократно решали, выпишем результат:собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1.38.9) имеют вид:πkzπk2,Zk (z) = sin,k ∈ N.(1.38.10)λ k = µk ,µ=llШаг 3. Решение задачи для Xk (r)Для функций Xk (r) мы получили задачу Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя с ν = 00b < r < d; − rX0k (r) = −λk rXk (r),(1.38.11)X (b) = 0, kXk (d) = ψk .Воспользуемся результатом теоремы 1.1.1, стр. 2.Общее решение уравнения Бесселя (1.1.1)x2 Y00 (x) + xY0 (x) + x2 − ν 2 Y(x) = 0(1.1.1)задаётся формулойYν (x) = c1 Jν (x) + c2 Nν (x),ν ∈ R.0Наше уравнение rX0k (r) = λk rXk (r) обычной уже заменойx=p−λk r ≡ iµk r,µk =πklсводится к уравнениюx2 Y00 (x) + xY0 (x) + x2 Y(x) = 0,которое совпадает с (1.1.1) при ν = 0. Поэтому его общее решение задаётся формулойppXk (r) = c̃1 J0−λk r + c̃2 N0−λk r = c̃1 J0 (iµk r) + c̃2 N0 (iµk r) .(1.38.12)По определению 1.1.2, а точнее из формул (1.1.5), (1.1.7), стр.
1,Hν(1) (x) = Jν (x) + iNν (x)Iν (x) = e−πiν2Jν (ix),Kν (x) = eπiν2(1.1.5)Hν(1) (ix).(1.1.7)получаем, что при ν = 0(1)K0 (x) = e0 H0 (ix) ≡ J0 (ix) + iN0 (ix)=⇒N0 (ix) = i (I0 (x) − K0 (x)) .Тогдаc̃1 J0 (iµk r) + c̃2 N0 (iµk r) = c̃1 I0 (µk r) + ic̃2 I0 (µk r) − ic̃2 K0 (µk r)Поэтому, переобозначив константыc2 = −ic̃2 ,c1 = c̃1 + ic̃2 ,из (1.38.12) получим:Xk (r) = c1 I0 (µk r) + c2 K0 (µk r) .В силу краевых условий Xk (b) = 0, Xk (b) = ψk имеемc1 I0 (µk b) + c2 K0 (µk b) = 0,c1 I0 (µk d) + c2 K0 (µk d) = ψk .-162-(1.38.13)(1.38.14)№ 785Если рассматривать (1.38.14) как систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно переменных c1 и c2 , то в случае, когда её определитель не равен нулю6 I0 (µk b) K0 (µk b) = I0 (µk b) K0 (µk d) − I0 (µk d) K0 (µk b) 6= 0∆ ≡ (1.38.15)I0 (µk d) K0 (µk d) эта система имеет единственное решение (его можно найти, например, по правилу Крамера)c1 = −ψk K0 (µk b),∆c2 =ψk I0 (µk b).∆(1.38.16)ПоэтомуXk (r) = ψk ·I0 (µk b) K0 (µk r) − I0 (µk r) K0 (µk b),I0 (µk b) K0 (µk d) − I0 (µk d) K0 (µk b)µk =πk.l(1.38.17)Ответ в общем виде:u(r, z) =∞Xψk ·k=1где µk =πklI0 (µk b) K0 (µk r) − I0 (µk r) K0 (µk b)· sin (µk z) ,I0 (µk b) K0 (µk d) − I0 (µk d) K0 (µk b)а ψk задаются формулами:2ψk = ·lZlψ(z) sinπkzldz.(1.38.18)0Поскольку в нашем случае ψ(z) ≡ U , то для вычисления ψk мы получаем2ψk = ·lZlψ(z) sinπkzl2U·dz =l0Zlsinπkzldz =02U l·cos= −l πkz=l 0,2Uπkz k= −(−1) − 1 =lπkz=04U,π(2m−1)k = 2m,k = 2m − 1.Так как все коэффициенты с чётными номерами у рядаu(r, z) =∞Xk=1ψk ·I0 (µk b) K0 (µk r) − I0 (µk r) K0 (µk b)· sin (µk z)I0 (µk b) K0 (µk d) − I0 (µk d) K0 (µk b)оказались равными нулю, уместно перейти к суммированию по m, где k = 2m − 1:Ответ:∞4U X1I0 (µ2m−1 b) K0 (µ2m−1 r) − I0 (µ2m−1 r) K0 (µ2m−1 b)u(r, z) =·· sin (µ2m−1 z) ,π m=1 2m − 1 I0 (µ2m−1 b) K0 (µ2m−1 d) − I0 (µ2m−1 d) K0 (µ2m−1 b)где µ2m−1 =6π(2m−1).lСлучай ∆ = 0 мы рассматривать не будем.c Д.С.
Ткаченко-163-Задачи на модифицированные функции Бесселя1.39. № 786 а)Найти стационарное распределение температуры в однородном цилиндре0 6 r < R, 0 6 ϕ < 2π, 0 6 z 6 l для случая, когда нижнее основаниецилиндра имеет температуру T , а остальная поверхность – температуру,равную нулю.Записав эти условия математически, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(r, z) из условий0 6 r < R, 0 < z < l; ∆u ≡ 1r · (rur )r + uzz = 0,|u(0, z)| < ∞, u(R, z) = 00 < z < l;(1.39.1)u(r, 0) = T, u(r, l) = 0,0 6 r < R.Шаг 1. Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.39.1) в видеu(r, z) =∞XXk (r)Zk (z),(1.39.2)k=...то, подставив (1.39.2) в уравнение∞ X1k=...r·1r· (rur )r + uzz = 0, получим:0(rX0k (r))Zk (z) +Xk (r)Z00k (z)= 0.Это равенство заведомо верно, если все члены ряда в левой части равны нулю:10· (rX0k (r)) Zk (z) + Xk (r)Z00k (z) = 0,r∀k.Поделив последнее равенство на Xk (r)Zk (z), получим:1r· (rX0k (r))0 Z00k (z)+= 0.Xk (r)Zk (z)Cумма дробей, одна из которых зависит только от r, а другая – только от z, может бытьнулём в том и только в том случае, если каждая из этих дробей – одинаковые константы сразным знаком.
То есть ∃ λk :1r· (rX0k (r))0Z00 (z)=− k= −λk .Xk (r)Zk (z)Таким образом, для функций Xk (r) и Zk (z) получаем уравнения10· (rX0k (r)) + λk Xk (r) = 0,rZ00k (z) − λk Zk (z) = 0.(1.39.3)(1.39.4)Равенство (1.39.3) мы перепишем в виде:−10· (rX0k (r)) = λk Xk (r).r(1.39.5)Это – в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0. Выясним, какие краевыеусловия на X(r) следуют из условий задачи (1.39.1).-164-№ 786 а)Условие |u(0, z)| < ∞ превратится в|Xk (+0)| < ∞,(1.39.6)Xk (R) = 0.(1.39.7)а условие u(R, z) = 0 – в условиеШаг 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
