Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Решение задачи Штурма-Лиувилля для Xk (r)Для функций Xk (r) мы получили задачу Штурма-Лиувилляλ = λk , ν = 0, α = 1 и β = 0:0 − (rX0k (r)) = λk rXk (r).|Xk (+0)| < ∞,Xk (R) = 0.вида(1.1.17)с(1.39.8)Воспользуемся результатом теоремы 1.1.3, стр. 4.Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.
Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и только тогда, когдаν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(x) ≡ const.В нашем случае α = 1, поэтому задача Штурма-Лиувилля (1.39.8) имеет только строго положительные собственные значения. Чтобы их найти,Применим теорему 1.1.4, стр. 4:Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие имсобственные функции имеют вид:"#!(ν) 2(ν)µkµk r(ν)λk =,Jν,k ∈ N,RR(ν)где µk – корни уравненияαRJν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.В нашем случае ν = 0, α = 1, β = 0, поэтомусобственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1.39.8) имеют вид: 2 λk = µRk ,Xk (r) = J0 µRk r ,k ∈ N,(1.39.9)где µk − корни уравненияJ0 (µ) = 0.Шаг 3.
Решение задачи для Zk (z)Для функций Zk (z) мы получили уравнение (1.39.4) Z00k (z) − λk Zk (z) = 0. Вспомним, что 2λk = µRk , и добавим к нему краевые условия, следующие из условий u(r, 0) = T ≡ ψ(r),u(r, l) = 0, 0 6 r < R, чтобы получить задачу Штурма-Лиувилля:2 Z00k (z) − Rµk2 Zk (z) = 0.(1.39.10)Z (0) = ψk , kZk (l) = 0.Общее решение уравнения Z00k (z) −µ2kZ (z)R2 k= 0 имеет видµ z µ z kkZk (z) = c1 sh+ c2 ch.RRc Д.С. Ткаченко-165-Задачи на модифицированные функции БесселяИз краевого условия Zk (0) = ψk следует, что c2 = ψk , откудаµ z µ z kkZk (z) = c1 sh+ ψk ch.RRТогда из краевого условия Zk (l) = 0 получаемψk ch µRk lµk lµk l .Zk (l) = c1 sh+ ψk ch= 0,=⇒c1 = −RRsh µRk lТаким образом, µ z µk lµk z kZk (z) = ψk ch− cthsh,RRRk ∈ N.(1.39.11)Шаг 4.
Разложение функции ψ(r) в ряд по собственным функциям задачи Штурма–ЛиувилляВ соответствии с теоремой 1.1.5, стр. 4, функция ψ(r) ≡ T разлагается в ряд Фурьеψ(r) =∞Xψk J0k=11ψk = 21J00 (µk ) + 12 1 −2| {z }02(µk )2J02 (µk )| {z }1· 2·Rµ rk,RZRrψ(r)J0(1.39.12)µ rkdr =R0=0=[−J1 (µk )]212·= 2· 2R J1 (µk )ZRµ rkrψ(r)J0dr.R0Ответ в общем виде:∞X µ r µ z µk z µk lkku(r, z) =ψk J0ch− cthsh,RRRRk=1где µk – положительные корни уравнения J0 (µ) = 0, а ψk задаются формулами:2ψk = 2 2·R J1 (µk )ZRµ rkrψ(r)J0dr.R(1.39.13)0Поскольку в нашем случае ψ(r, z) ≡ T , то для ψk мы получаем2ψk = 2 2·R J1 (µk )ZR0ZRµ rµ r2Tkkrψ(r)J0dr = 2 2· rJ0dr =RR J1 (µk )R0hµk r i2T= x== 2 2·Rµk J1 (µk )ZµkhixJ0 (x) dx = в силу (1.1.9) при ν = 0 =02T·= 2 2µk J1 (µk )Zµk0x=µk2T2T[xJ1 (x)] dx = 2 2· xJ1 (x) =µk J1 (µk )µk J1 (µk )x=00-166-1.40. № 786 Б)Ответ:u(r, z) = 2T∞Xk=1 µ r µ z µk lµk z 1kk· J0· ch− cthsh,µk J1 (µk )RRRRгде µk – положительные корни уравнения J0 (µ) = 0.1.40. № 786 б)Найти стационарное распределение температуры в однородном цилиндре0 6 r < R, 0 6 ϕ < 2π, 0 6 z 6 l для случая, когда нижнее основаниецилиндра имеет нулевую температуру, верхнее основание теплоизолировано,температура боковой поверхности равна f (z).Записав эти условия математически, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(r, z) из условий0 6 r < R, ∆u ≡ 1r · (rur )r + uzz = 0,|u(0, z)| < ∞, u(R, z) = f (z)0 < z < l;u(r, 0) = uz (r, l) = 0,0 6 r < R.0 < z < l;(1.40.1)Шаг 1.
Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.40.1) в видеu(r, z) =∞XXk (r)Zk (z),(1.40.2)k=...то, подставив (1.40.2) в уравнение∞ X1k=...r1r· (rur )r + uzz = 0, получим:0(rX0k (r))·Zk (z) +Xk (r)Z00k (z)= 0.Это равенство заведомо верно, если все члены ряда в левой части равны нулю:10· (rX0k (r)) Zk (z) + Xk (r)Z00k (z) = 0,r∀k.Поделив последнее равенство на Xk (r)Zk (z), получим:1r· (rX0k (r))0 Z00k (z)+= 0.Xk (r)Zk (z)Cумма дробей, одна из которых зависит только от r, а другая – только от z, может бытьнулём в том и только в том случае, если каждая из этих дробей – одинаковые константы сразным знаком. То есть ∃ λk :1r· (rX0k (r))0Z00 (z)=− k= λk .Xk (r)Zk (z)Таким образом, для функций Xk (r) и Zk (z) получаем уравнения10· (rX0k (r)) − λk Xk (r) = 0,rZ00k (z) + λk Zk (z) = 0.c Д.С. Ткаченко-167-(1.40.3)(1.40.4)Задачи на модифицированные функции БесселяРавенство (1.40.3) мы перепишем в виде:−10· (rX0k (r)) = −λk Xk (r).r(1.40.5)Это – почти в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0.
Выясним, какие краевыеусловия на X(r) следуют из условий задачи (1.40.1).Условие |u(0, z)| < ∞ превратится в|Xk (+0)| < ∞,(1.40.6)Xk (R) = fk .(1.40.7)а условие u(R, z) = f (z) – в условиеПоскольку неоднородность здесь задаётся функцией, зависящей от z, надо сначала решитьзадачу Штурма-Лиувилля для Zk (z), чтобы затем разложить f (z) в ряд по собственным функциям этой задачи. ПоэтомуШаг 2. Решение задачи Штурма-Лиувилля для Zk (z)Для функций Zk (z) мы получили уравнение (1.40.4) Z00k (z) + λk Zk (z) = 0. Добавим к немукраевые условия, следующие из условий u(r, 0) = 0, uz (r, l) = 0, 0 6 r < R, чтобы получитьзадачу Штурма-Лиувилля: 00 Zk (z) + λk Zk (z) = 0.Zk (0) = 0,(1.40.8) 0Zk (l) = 0.Эту задачу мы уже много раз решали. Воспользуемся результатом: собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1.40.8) имеют вид:2π(2k − 1)π(2k − 1)zλk =,Zn (z) = sin,k ∈ N.(1.40.9)2l2lШаг 3.
Разложение функции f (z) в ряд по собственным функциям задачи Штурма–ЛиувилляФункция f (z) разлагается в ряд Фурье по синусам следующим стандартным образом:f (z) =∞Xfk sink=12fk = ·lZlf (z) sinπ(2k − 1)z2lπ(2k − 1)z2l,(1.40.10)dz.(1.40.11)0Шаг 4. Решение задачи для Xk (r)Для функций Xk (r) мы получили уравнение − (rX0k (r))0 = −λk rXk (r).
Воспользуемся краевыми условиями (1.40.6) – (1.40.7) и получим задачу0 − (rX0k (r)) = −λk rXk (r).|Xk (+0)| < ∞,(1.40.12)Xk (R) = fk .По теореме 1.1.1, стр. 2Общее решение уравнения Бесселя (1.1.1)x2 Y00 (x) + xY0 (x) + x2 − ν 2 Y(x) = 0-168-(1.1.1)1.41. № 786 В)задаётся формулойYν (x) = c1 Jν (x) + c2 Nν (x),ν ∈ R.0Наше уравнение rX0k (r) = λk rXk (r) обычной уже заменойx=p−λk r ≡ iµk r,µk =π(2k − 1)2lсводится к уравнениюx2 Y00 (x) + xY0 (x) + x2 Y(x) = 0,которое совпадает с (1.1.1) при ν = 0.
Поэтому его общее решение задаётся формулойppλ k r + c 2 N0λk r = J0 (iµk r) + c2 N0 (iµk r) .(1.40.13)Xk (r) = c1 J0Из краевого условия |Xk (+0)| < ∞ получаем, что c2 = 0 иihXk (r) = c1 J0 (iµk r) = по определению 1.1.2 = c1 I0 (µk r) .Наконец, из краевого условия Xk (R) = fk получаем, что c1 = I0 (µfkk R) иПоэтомуπ(2k − 1)fkI0 (µk r) ,µk =.Xk (r) =I0 (µk R)2l(1.40.14)Поскольку в нашем случае f (z) в явном виде не задана, мы можем записать ответ только вобщем виде:Ответ:∞∞XXfkXk (r)Zk (z) =u(r, z) =I0 (µk r) sin (µk z) ,I0 (µk R)k=1k=1где µk =π(2k−1),2lk ∈ N, а fk задаются формулой (1.40.11).1.41. № 786 в)Найти стационарное распределение температуры в однородном цилиндре0 6 r < R, 0 6 ϕ < 2π, 0 6 z 6 l для случая, когда температура основанийцилиндра нулевая, а температура боковой поверхности равна f (z) = U z(l − z).Записав эти условия математически, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(r, z) из условий ∆u ≡ 1r · (rur )r + uzz = 0,|u(0, z)| < ∞, u(R, z) = f (z) = U z(l − z)u(r, 0) = u(r, l) = 0,0 6 r < R,0 < z < l;0 6 r < R.0 < z < l;(1.41.1)Шаг 1.
Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.41.1) в видеu(r, z) =∞XXk (r)Zk (z),(1.41.2)k=...то, подставив (1.41.2) в уравнение∞ X1k=...c Д.С. Ткаченкоr·1r· (rur )r + uzz = 0, получим:0(rX0k (r))Zk (z) +-169-Xk (r)Z00k (z)= 0.Задачи на модифицированные функции БесселяЭто равенство заведомо верно, если все члены ряда в левой части равны нулю:10· (rX0k (r)) Zk (z) + Xk (r)Z00k (z) = 0,rПоделив последнее равенство на Xk (r)Zk (z), получим:1r∀k.· (rX0k (r))0 Z00k (z)+= 0.Xk (r)Zk (z)Cумма дробей, одна из которых зависит только от r, а другая – только от z, может бытьнулём в том и только в том случае, если каждая из этих дробей – одинаковые константы сразным знаком. То есть ∃ λk :1r· (rX0k (r))0Z00k (z)=−= λk .Xk (r)Zk (z)Таким образом, для функций Xk (r) и Zk (z) получаем уравнения10· (rX0k (r)) − λk Xk (r) = 0,rZ00k (z) + λk Zk (z) = 0.(1.41.3)(1.41.4)Равенство (1.41.3) мы перепишем в виде:10· (rX0k (r)) = −λk Xk (r).(1.41.5)rЭто – почти в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0.
Выясним, какие краевыеусловия на X(r) следуют из условий задачи (1.41.1).Условие |u(0, z)| < ∞ превратится в−|Xk (+0)| < ∞,(1.41.6)Xk (R) = fk .(1.41.7)а условие u(R, z) = f (z) – в условиеПоскольку неоднородность здесь задаётся функцией, зависящей от z, надо сначала решитьзадачу Штурма-Лиувилля для Zk (z), чтобы затем разложить f (z) в ряд по собственным функциям этой задачи. ПоэтомуШаг 2. Решение задачи Штурма-Лиувилля для Zk (z)Для функций Zk (z) мы получили уравнение (1.41.4) Z00k (z) + λk Zk (z) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
