Семинар 11 для К-5. Метод Фурье для уравнения Лапласа в кольце (1127968), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Использование краевых условийВ нашей задаче на обеих частях границы задано краевое условие III-го рода:ur (a, ϕ) − hu(a, ϕ) = f1 (ϕ),ur (b, ϕ) + Hu(b, ϕ) = f2 (ϕ).Воспользуемся разложением функций f1,2 (ϕ) в тригонометрический ряд Фурье на промежутке ϕ ∈ (0, 2π):∞α10 Xf1 (ϕ) =+(α1k cos (kϕ) + β1k sin (kϕ)) ,2k=1(2.4)∞α20 X+f2 (ϕ) =(α2k cos (kϕ) + β2k sin (kϕ)) ,2k=11=παjk(2.5)Z2πfj (ϕ) cos(kϕ)dϕ,j ∈ {1, 2},k = 0, 1, 2, .

. . ;(2.6)j ∈ {1, 2},k = 1, 2, 3, . . .(2.7)0βjk1=πZ2πfj (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0Продифференцируем (2.8) по r и сложим ряд∞B0 X+ur (r, ϕ) =rk=1kAk rk−1 − kA−k r−k−1 cos (kϕ) + kBk rk−1 + kB−k r−k−1 sin (kϕ) , (3.2)взятый при r = a и r = b, с рядом (2.8), умноженным на (−h) при r = a и на H при r = b:∞B0 Xur (a, ϕ)−hu(a, ϕ) =+a k=1− hA0 − hB0 ln a − h∞XkAk ak−1 − kA−k a−k−1 cos (kϕ) + kBk ak−1 + kB−k a−k−1 sin (kϕ) −Ak ak + A−k a−k cos (kϕ) + Bk ak − B−k a−k sin (kϕ) =k=1= −hA0 + B0 X∞ 1− h ln a +Ak (k − ah)ak−1 − A−k (k − ah)a−k−1 cos (kϕ) +ak=1k−1−k−1+ Bk (k − ah)a+ B−k (k − ah)asin (kϕ)(4.2)∞B0 X+ur (b, ϕ)+Hu(b, ϕ) =b k=1+ HA0 + HB0 ln b + H∞XkAk bk−1 − kA−k b−k−1 cos (kϕ) + kBk bk−1 + kB−k b−k−1 sin (kϕ) +Ak bk + A−k b−k cos (kϕ) + Bk bk − B−k b−k sin (kϕ) =k=1= HA0 + B0∞X1+ H ln b +bk=1Ak (k + bH)bk−1 − A−k (k + bH)b−k−1 cos (kϕ) ++ Bk (k + bH)bc Д.С. Ткаченко-7-k−1+ B−k (k + bH)b−k−1sin (kϕ)(4.3)УМФ – семинар – К 5 – 11 (Ф 5 – 14)Чтобы использовать краевые условия, приравняем ряды (4.2), (4.3) к рядам (2.4) и (2.5):ur (a, ϕ) − hu(a, ϕ) = X∞ 1= −hA0 + B0− h ln a +Ak (k − ah)ak−1 − A−k (k − ah)a−k−1 cos (kϕ) +ak=1k−1−k−1+ Bk (k − ah)a+ B−k (k − ah)asin (kϕ) =∞=α10 X+(α1k cos (kϕ) + β1k sin (kϕ)) = f1 (ϕ);2k=1ur (b, ϕ) + Hu(b, ϕ) = X∞ 1+ H ln b +Ak (k + bH)bk−1 − A−k (k + bH)b−k−1 cos (kϕ) += HA0 + B0bk=1k−1−k−1+ Bk (k + bH)b+ B−k (k + bH)bsin (kϕ) =∞α20 X=+(α2k cos (kϕ) + β2k sin (kϕ)) = f2 (ϕ);2k=1Получаем при k = 0:−hA0 + B01− h ln aaα10=,2HA0 + B0откуда A0 и B0 находятся однозначно:α20 a1 − h ln a − α10 1b + H ln bA0 =,2 Ha + hb + Hh ln abB0 =1+ H ln bb2=α20,2Hα10 + hα20.+ hb + Hh ln abHa(4.4)При остальных k в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ):Ak (k − ah)ak−1 − A−k (k − ah)a−k−1 = α1k ;Bk (k − ah)ak−1 + B−k (k − ah)a−k−1 = β1k ;Ak (k + bH)bk−1 − A−k (k + bH)b−k−1 = α2k ;Bk (k + bH)bk−1 + B−k (k + bH)b−k−1 = β2k .Запишем эту систему в матричном виде: (k − ah)ak−1 −(k − ah)a−k−1Akα1k=,k ∈ N,(4.5)k−1−k−1(k + bH)b−(k + bH)bA−kα2k (k − ah)ak−1 (k − ah)a−k−1Bkβ1k=,k ∈ N.(4.6)(k + bH)bk−1 (k + bH)b−k−1B−kβ2k (k − ah)ak−1 −(k − ah)a−k−1(k − ah)ak−1 (k − ah)a−k−1Матрицы обеих системиоб(k + bH)bk−1 −(k + bH)b−k−1(k + bH)bk−1 (k + bH)b−k−1ратимы, так как при a 6= b и ah 6∈ N их определители не равны нулю: k−1(k − ah)ak−1 −(k − ah)a−k−1a−a−k−1det= (k − ah)(k + bH) · det k−1=(k + bH)bk−1 −(k + bH)b−k−1b−b−k−1b2k − a2k= (k − ah)(k + bH) −ak−1 b−k−1 + a−k−1 bk−1 = (k − ah)(k + bH) · k+1 k+1 6= 0,a bc Д.С.

Ткаченко-8-УМФ – семинар – К 5 – 11 (Ф 5 – 14)(k − ah)ak−1 (k − ah)a−k−1det(k + bH)bk−1 (k + bH)b−k−1Найдём M1−1ak−1 a−k−1= (k − ah)(k + bH) · det k−1 −k−1 =bba2k − b2k= (k − ah)(k + bH) ak−1 b−k−1 − a−k−1 bk−1 = (k − ah)(k + bH) · k+1 k+1 6= 0.a b−1−1(k − ah)ak−1 −(k − ah)a−k−1(k − ah)ak−1 (k − ah)a−k−1−1=и M2 =:(k + bH)bk−1 −(k + bH)b−k−1(k + bH)bk−1 (k + bH)b−k−1M1−1ak+1 bk+1=(k − ah)(k + bH)(b2k − a2k )M2−1ak+1 bk+1=(k − ah)(k + bH)(a2k − b2k )−(k + bH)b−k−1 (k − ah)a−k−1,−(k + bH)bk−1 (k − ah)ak−1(k + bH)b−k−1 −(k − ah)a−k−1−(k + bH)bk−1(k − ah)ak−1Тогда из систем (4.5), (4.6) получаем: ak+1 bk+1Akα1k−(k + bH)b−k−1 (k − ah)a−k−1=,k−1k−12k2kA−k(k − ah)aα2k(k − ah)(k + bH) (b − a ) −(k + bH)b ak+1 bk+1Bk(k + bH)b−k−1 −(k − ah)a−k−1β1k=,k−1k−12k2kB−kβ−(k+bH)b(k−ah)a(k − ah)(k + bH) (a − b )2kили1k+1k+1Ak = (k−ah)(k+bH)−(k+bH)aα+(k−ah)bα;1k2k2k2k(b −a )ak+1 bk+1k−1k−1 A−k =−(k+bH)bα+(k−ah)aα;1k2k2k2k(k−ah)(k+bH)(b −a )1Bk = (k−ah)(k+bH)(k + bH)ak+1 β1k − (k − ah)bk+1 β2k ;2k −b2ka()ak+1 bk+1k+1k+1 B−k =−(k+bH)bβ+(k−ah)aβ.1k2k(k−ah)(k+bH)(a2k −b2k )(4.7)Ответ:u(r, ϕ) = A0 + B0 ln r +∞XAk rk + A−k r−k cos (kϕ) + Bk rk − B−k r−k sin (kϕ) ,(4.8)k=1где коэффициенты A±k и B±k определяются из формул (4.4), (4.7), аαjk1=πZ2πfj (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, .

. . ;(2.6)k = 1, 2, 3, . . .(2.7)0βjk1=πZ2πfj (ϕ) sin(kϕ)dϕ,05. № 721 а)Найти функцию u(r, ϕ), гармоническую в кольце 0 < a < r < b, удовлетворяющую краевым условиям:u(a, ϕ) = 0,c Д.С. Ткаченкоu(b, ϕ) = A cos ϕ.-9-УМФ – семинар – К 5 – 11 (Ф 5 – 14)Запишем условия задачи:Найти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условий∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,0 < a 6 r < b, 0 < ϕ < 2π;|u(r, ϕ)| < ∞,u(a, ϕ) = f1 (ϕ) = 0,u(b, ϕ) = f2 (ϕ) = A cos ϕ.(5.1)Шаг 1.

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольцеМы уже решили разделе 2 общую задачу Дирихле в кольце. Воспользуемся результатом:u(r, ϕ) = A0 + B0 ln r +∞XAk rk + A−k r−k cos (kϕ) + Bk rk − B−k r−k sin (kϕ) ,(2.12)k=1где коэффициенты A±k и B±k определяются из формул (2.9), (2.11), аA0 =α10 ln b − α20 ln a,2 ln abαjk1=πα20 − α10.2 ln ab1Ak = a2k −bak α1k − bk α2k ;2kk bkA−k = a2ka −b−bk α1k + ak α2k ;2k1ak β1k − bk β2k ;Bk = a2k −b2kk bkB−k = a2ka −bbk β1k − ak β2k .2kB0 =(2.9)(2.11)Z2πfj (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.6)k = 1, 2, 3, .

. .(2.7)0βjk1=πZ2πfj (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0Шаг 2. Использование данных функций краевых условийЗаданные функции f1,2 (ϕ) имеют уже вид рядов Фурье, поэтому коэффициенты αjk , βjk находятся тривиально:α1k = β1k = 0,k = 0, 1, 2, . . .α21 = A,а остальные α2k , β2k = 0.(5.2)(5.3)Поэтому из формул (2.9), (2.11) получаем:A0 =c Д.С.

Ткаченкоα10 ln b − α20 ln aα20 − α10= 0,B0 == 0,b2 ln a2 ln ab1−bAA1 = a2 −b2 (aα11 − bα21 ) = a2 −b2 ;2 bAA = ab (−bα11 + aα21 ) = aa2 −b2; −1 a2 −b2A±k = 0,при k 6= 1;Bk = 0;B−k = 0.-10-(5.4)(5.5)УМФ – семинар – К 5 – 11 (Ф 5 – 14)Подставляя эти коэффициенты в (2.12), получаем:1−bAa2u(r, ϕ) = A1 r + A−1cos ϕ = 2cos ϕ.· r−ra − b2rОтвет:bAa2· r−cos ϕ.u(r, ϕ) = 2b − a2r6.

№ 721 б)Найти функцию u(r, ϕ), гармоническую в кольце 0 < a < r < b, удовлетворяющую краевым условиям:u(a, ϕ) = A,u(b, ϕ) = B sin 2ϕ.7. № 721 в)Найти функцию u(r, ϕ), гармоническую в кольце 0 < a < r < b, удовлетворяющую краевым условиям:ur (a, ϕ) = q cos ϕ,u(b, ϕ) = Q + T sin 2ϕ.8. № 721 г)Найти функцию u(r, ϕ), гармоническую в кольце 0 < a < r < b, удовлетворяющую краевым условиям:u(a, ϕ) = T + U cos ϕ,c Д.С. Ткаченкоur (b, ϕ) + hu(b, ϕ) = 0.-11-(5.6).

Характеристики

Список файлов семинаров