Семинар 1. Основные уравнения и постановка задач математической физики (1127955), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Условие II-го рода в одномерном случае принимает видu0 (0) = u0 ,u0 (l) = u1в силу того факта, что под нормалью к границе в случае одномерной ограниченной области (отрезка) понимается вектор, направленный вправо, на правом конце отрезка, и вектор,направленный влево, на левом его конце, откуда:∂u(0) = −u0 (0),∂~nc Д.С. Ткаченко-7-∂u(l) = u0 (l).∂~nУМФ – семинар – К 5 – 12.5. Третья краевая задачаКроме условий Дирихле, на границе могут быть условия других видов. Например,Опр. 2.7. ПустьΩ ⊂ Rn − ограниченная область с гладкой границей[Ω = Ω ∂Ω − её замыкание.Краевой задачей III-го рода)T называется задача:2Найти функцию u(x) ∈ C (Ω) C(Ω) из условий:−div (k(x)grad u) + q(x)u = F (x),∂uα ∂~(x) + βu(x) = χ(x),n∂Ω ∈ C 3 ;x ∈ Ω;x ∈ ∂Ω,(2.14)где ~n – вектор внешней нормали к поверхности Ω, χ(x) – заданная непрерывная функция,называемая функцией краевого условия, а для заданных функций k(x), q(x) и F (x) выполнены условия (1.1) и:q(x) > 0,k ∈ C 1 (Ω),q, F ∈ C(Ω).В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:∂k(x) ∂u+ q(x)u = F (x),x ∈ (0, l); − ∂x∂x0−αu (0) + βu(0) = u0 ,αu0 (l) + βu(l) = u1 .(2.15)(Минус перед α во второй строчке возник в силу рассуждений, приведённых в замечании 2.3.)Самый простой случай, когдаk(x) ≡ a2 = const > 0,q(x) ≡ 0,n = 1,получим краевую задачу III-го рода для уравнения Пуассона:∆u = f (x) = −F (x),x ∈ Ω;∂uα ∂~n (x) + βu(x) = χ(x),x ∈ ∂Ω,(2.16)а если и F ≡ 0, – задачу III-го рода для уравнения Лапласа.2.6.

Начально-краевые задачиНаконец, если нестационарный процесс колебаний или телообмена происходит в ограниченнойобласти, для корректной постановки задач нам потребуются как данные Коши, так и краевыеусловия.c Д.С. Ткаченко-8-УМФ – семинар – К 5 – 1Опр. 2.8. ПустьΩ ⊂ Rn − ограниченная область с гладкой границей[Ω = Ω ∂Ω − её замыкание;∂Ω ∈ C 3 ;Q = Ω × (0, +∞) = {(x, t) | x ∈ Ω, t > 0} ;Q∗ = Ω × [0, +∞) = {(x, t) | x ∈ Ω, t > 0} ;Q = Ω × [0, +∞) = (x, t) | x ∈ Ω, t > 0 .Начально-краевой задачей Tдля уравнения колебаний называется задача:2Найти функцию u(x) ∈ C (Q) C(Q∗ ) из условий:2ρ(x) ∂∂t2u − div (k(x)grad u) + q(x, t)u = F (x, t),(x, t) ∈ Q;x ∈ Ω; u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (0, l);∂u ∂t (x, 0) = ψ(x),x ∈ Ω, ∂uα ∂~n (x) + βu(x) = χ(x, t),x ∈ ∂Ω(2.17)где χ(x, t) – заданная непрерывная функция, называемая функцией краевого условия,ϕ(x), ψ(x) ∈ C(Ω) – данные Коши, а для заданных функций ρ(x), k(x), q(x) и F (x, t)выполнены условия (1.1) и:ρ ∈ C(Ω),k ∈ C 1 (Ω),q, F ∈ C(Q).В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:∂2u∂∂uρ(x)−k(x)+ q(x, t)u = F (x, t),x ∈ (0, l);2∂t∂x∂xu(x,0)=ϕ(x),x∈ (0, l);ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (0, l);∂u−α (0) + βu(0) = µ(t), ∂u∂~xα ∂~x (l) + βu(l) = ν(t).(2.18)В случае, когда α = 0 получаем I-ю начально-краевую задачу, в случае β = 0 – II-ю, а приα · β 6= 0 – III-ю.Самый простой случай, когда краевые условия I-го рода,ρ(x) = ρ0 = const > 0,k(x)≡ a2 = const > 0,ρ0q(x) ≡ 0,получим I-ую начально-краевую задачу для волнового уравнения:t)utt − a2 ∆u = f (x, t) = F (x,,x ∈ Ω;ρ0u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ Ω;u (x, 0) = ψ(x),x ∈ Ω; tu(x, t) = µ(t),x ∈ ∂Ω.c Д.С.

Ткаченко-9-(2.19)УМФ – семинар – К 5 – 1Опр. 2.9. Пусть Ω, Ω, Q и Q∗ такие же, как в определении 2.8.Начально-краевой задачей длятеплопроводности называется задача:T уравнения2,1∗Найти функцию u(x) ∈ C (Q) C(Q ) из условий:− div (k(x)grad u) = F (x, t),(x, t) ∈ Q; c(x)ρ(x) ∂u∂tu(x, 0) = ϕ(x),x ∈ Ω;(2.20) ∂uα ∂~n (x) + βu(x) = χ(x, t),x ∈ ∂Ωгде χ(x, t) – заданная непрерывная функция, называемая функцией краевого условия,ϕ(x) ∈ C(Ω) – данные Коши, а для заданных функций c(x), ρ(x), k(x) и F (x, t) выполненыусловия (1.1) и:c(x) > c0 > 0,ρ(x) > ρ0 > 0,k(x) > k0 > 0,ρ ∈ C(Ω),k ∈ C 1 (Ω),F ∈ C(Q).В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:∂∂u−k(x)+ q(x)u = F (x),x ∈ (0, l);∂x∂xu(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (0, l);∂u(0)+βu(0)=µ(t),t > 0;−α ∂u∂~xα ∂~x (l) + βu(l) = ν(t)t > 0.(2.21)В случае, когда α = 0 получаем I-ю начально-краевую задачу, в случае β = 0 – II-ю, а приα · β 6= 0 – III-ю.Самый простой случай, когда краевые условия I-го рода,c(x) = c0 = const > 0,ρ(x) = ρ0 = const > 0,получим I-ую начально-краевую задачу вида: ut − a2 ∆u = f (x, t) =u(x, 0) = ϕ(x),u(x, t) = µ(t),k(x)≡ a2 = const > 0,c 0 ρ0F (x, t),c 0 ρ0x ∈ Ω;x ∈ Ω;x ∈ ∂Ω.(2.22)Пример 2.1.

Поставить начально-краевую задачу для уравнения колебаний струны на отрезке x ∈ [0, l] с начальным отклонением ϕ(x), нулевой начальной скоростью струны иоднородными краевыми условиями• I-го рода на левом конце и• II-го рода на правом.Уравнение колебаний на отрезке [0, l] принимает вид:∂2u∂∂uρ(x) 2 −k(x)+ q(x, t)u = F (x, t),∂t∂x∂xНачальное отклонение ϕ(x) означает, что:u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (0, l).Начальная скорость равна нулю, то есть:ut (x, 0) = 0,c Д.С. Ткаченко-10-x ∈ (0, l).x ∈ (0, l).УМФ – семинар – К 5 – 1Однородное краевое условие I-го рода на левом конце (при x = 0) имеет вид:u(0, t) = 0,t > 0,а однородное краевое условие II-го рода на правом конце (при x = l), соответственно, вид:ux (0, t) = 0,t > 0.Собрав все эти условия воедино,задачу:T получаем2∗Найти функцию u(x) ∈ C (Q) C(Q ), где Q и Q∗ заданы в определении 2.8, из условий:ρ(x) utt − (k(x)ux )x + q(x, t)u = F (x, t),x ∈ (0, l);x ∈ (0, l); u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = 0,x ∈ (0, l);u(0, t) = 0,t > 0;ux (l, t) = 0,t > 0.где ϕ(x), ψ(x) ∈ C[0, l], а для заданных функций ρ(x), k(x), q(x) и F (x, t) выполненыобычные условия:ρ(x) > ρ0 > 0, k(x) > k0 > 0,ρ ∈ C[0, l], k ∈ C 1 [0, l],q, F ∈ C [0, l] × [0, +∞) .Пример 2.2.

Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке x ∈ [0, l] с начальным распределением температуры ϕ(x) и однородными краевымиусловиями• III-го рода на левом конце и• I-го рода на правом.Уравнение теплопроводности на отрезке [0, l] принимает вид:c(x)ρ(x) ut − (k(x)ux )x = F (x, t),x ∈ (0, l).Начальное распределением температуры ϕ(x) означает, что:u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (0, l).Однородное краевое условие III-го рода на левом конце (при x = 0) имеет вид:−αux (0, t) + βu(0, t) = 0,t > 0,а однородное краевое условие I-го рода на правом конце (при x = l), соответственно, вид:u(0, t) = 0,t > 0.Собрав все эти условия воедино,Tполучаем задачу:Найти функцию u(x) ∈ C 2,1 (Q) C(Q∗ ), где Q и Q∗ заданы в определении 2.8, из условий:c(x)ρ(x) utt − (k(x)ux )x = F (x, t),x ∈ (0, l);u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (0, l);−αu(0,t)+βu(0,t)=0=0,t > 0;xu(l, t) = 0,t > 0,где α, β – заданные числа, ϕ(x) ∈ C[0, l], а для заданных функций c(x), ρ(x), k(x) и F (x, t)выполнены обычные условия:c(x) > c0 > 0,ρ(x) > ρ0 > 0,k(x) > k0 > 0,F ∈ C [0, l] × [0, +∞) .c Д.С.

Ткаченко-11-ρ ∈ C[0, l],k ∈ C 1 [0, l],УМФ – семинар – К 5 – 1Задание на самостоятельную работу:1) подставить размерность всех физических величин, входящих в одномерные уравненияколебаний (1.3), теплопроводности (1.7) и двумерное уравнение (1.10) стационарногораспределения температуры и убедиться, что эти уравнения не нарушают равенстваразмерностей;2) Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезкеx ∈ [0, l] с нулевым начальным распределением температуры и однородными краевымиусловиями III-го рода на левом конце и II-го рода на правом;3) Поставить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке x ∈ [0, l] снулевым начальным отклонением, начальной скоростью ψ(x) и однородными краевымиусловиями II-го рода на левом конце и I-го рода на правом;4) Поставить краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольникеx ∈ [0, l], y ∈ [0, s]однородными краевыми условиями II-го рода на левой и нижней сторонах и III-го родана правой и верхней;5) Поставить краевую задачу Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольникеx ∈ [0, l], y ∈ [0, s];6) Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезкеx ∈ [0, l] с нулевым начальным распределением температуры и однородными краевымиусловиями Дирихле на обоих концах;7) Поставить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке x ∈ [0, l] с, начальной скоростью 1 и однородными краевыми услоначальным отклонением sin πxlвиями Неймана на обоих концах;8) Поставить краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольникеx ∈ [0, l], y ∈ [0, s]однородными краевыми условиями Дирихле на левой и правой сторонах и Неймана нанижней и верхней;9) Поставить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольникеx ∈ [0, l], y ∈ [0, s].c Д.С.

Ткаченко-12-.

Характеристики

Список файлов семинаров