Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 9
Текст из файла (страница 9)
sLEDOWATELXNO,NI PRI KAKOJ KONSTANTE C > 0 MY NE MOVEM UTWERVDATX, ^TOju(0)j 6 C kukH 1 (Q) DLQ WSEH FUNKCIJ u 2 C 1 (Q).zADA^A 2.8.A) oPREDELITX TIP URAWNENIQuxx ; 2uxy ; 32uyy + uy + ux = 0(2)W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA .B) pRIWESTI URAWNENIE (2) K KANONI^ESKOJ FORME.W) nAJTI OB]EE REENIE \TOGO URAWNENIQ.rEENIE.
A) D = 42. uRAWNENIE GIPERBOLI^ESKOE PRI 6= 0,PARABOLI^ESKOE PRI = 0.B) eSLI 6= 0. hARAKTERISTIKI: = y + 3x = y ; x.kANONI^ESKAQ FORMA: 162u ; 4u = 0.eSLI = 0, TO uxx + ux = 0.W) eSLI 6= 0. kANONI^ESKAQ FORMA: 162u ; 4u = 0.iNTEGRIRUEM PO . iMEEM 4u + u = C(): dALEE INTEGRIRUEMPO I PODSTAWLQEM WYRAVENIQ DLQ I . iMEEMy;xu(x y) = F(y + 3x)e 4 + G(y ; x):eSLI = 0, TOu(x y) = F (y) + G(y)e;x :76zADA^A 2.10.pUSTX = f(x y) 2 R2 j x2 + (y ; 2l)2 < l2 g, FUNKCIQ u 2 C 2()UDOWLETWORQET URAWNENI@y2uxx + sign2 uyy = 0W OBLASTI :A) wOZMOVNO LI, ^TO u 2= C 3() W SLU^AE l > 0? oTWET OBOSNOWATX.B) tOT VE WOPROS W SLU^AE l < 0.rEENIE. A). pRI l > 0 KRUG RADIUSA l I S CENTROM W (0 2l)LEVIT W POLUPLOSKOSTI y > 0, W KOTOROJ pURAWNENIEQWLQETSQp\LLIPTI^ESKIM I W PEREMENNYH (z w) = (x= 2 y 2) STANOWITSQURAWNENIEM lAPLASA uzz + uww = 0.
tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQu(z w) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ, I, SLEDOWATELXNO, BESKONE^NODIFFERENCIRUEMOJ KAK W PEREMENNYH (z w), TAK I W ISHODNYHPEREMENNYH (x y). oTWET: NEWOZMOVNO.B). eSLI l < 0, TO KRUG LEVIT W POLUPLOSKOSTI y < 0, WKOTOROJ URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOE | ONO QWLQETSQ URAWNENIEMSTRUNYuyy = 4uxx:pRIMEROM REENIQ u 2 C 2()nC 3 () MOVET SLUVITX, NAPRIMER, u(t x) = f(y ; 2x) ILI u = f(y + 2x), GDE FUNKCIQ ODNOGOPEREMENNOGO f() QWLQETSQ KLASSA C 2, NO NE C 3 W OKRESTNOSTITO^KI = 2l.
sKAVEM, f() = j ; 2lj3:zADA^A 2.11.nA PLOSKOSTI (t x) 2R2 RASSMATRIWA@TSQ URAWNENIQut ; ux = 0(4)2utt ; ( + 1)2 utx + 2uxx = 0:(5)A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4).B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE REENIE u(t x) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I REENIEM URAWNENIQ (5)?dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P. B) ZNA^ENIJ PARAMETRA :77W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5)G) UKAZATX NEKOTOROE REENIE u(t x) URAWNENIQ (5), KOTOROENE QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TO TAKOGOREENIQ NET.D) tOT VE WOPROS OB OGRANI^ENNOM REENII.rEENIE.
A) nAJDEM HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4):dx + dt = 0x + t = const :oB]EE REENIE URAWNENIQ (4) IMEET WID u(t x) = f(x + t) GDEf() | PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ ODNOJ PEREMENNOJ.B) pODSTAWIM OB]EE REENIE URAWNENIQ (4) W URAWNENIE (5):utt = utx = uxx = f 00 (x + t)2 ; ( + 1)2 + 2f 00(x + t) = 0:uRAWNENIE (5) DOLVNO WYPOLNQTXSQ DLQ L@BOJ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII f(x + t) SLEDOWATELXNO,2 ; ( + 1)2 + 2 = 0 () = 1:1.()sLU^AJ = 1.W) pRI = 1 URAWNENIE (5) IMEET WID utt ; 2utx + uxx = 0:eGO HARAKTERISTIKAMI BUDUT LINIIdx2 + 2 dx dt + dt2 = 0()dx = ;1dt()x + t = const :G) uRAWNENIE (5) IMEET ODNO SEMEJSTWO HARAKTERISTIK, SLEDOWATELXNO, \TO URAWNENIE PARABOLI^ESKOGO TIPA.
zAMENOJ PEREMENNYH = x + t, = t, ONO PRIWODITSQ K KANONI^ESKOMUWIDUu = 0:(50 )oB]IM REENIEM URAWNENIQ (50) QWLQETSQ FUNKCIQ u( ) =f() + g() TOGDA OB]IM REENIEM URAWNENIQ (5) BUDET FUNKCIQ u(t x) = f(x+t)+t g(x+t): rEENIE URAWNENIQ (5), KOTOROENE QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (4), | \TO, NAPRIMER, FUNKCIQ u(t x) = t(x + t):78D) fUNKCIQ u(t x) = f(x +t)+t g(x +t) BUDET OGRANI^ENNOJ,TOLXKO ESLI g(x + t) 0, I f(x + t) OGRANI^ENA. sLEDOWATELXNO,L@BOE OGRANI^ENNOE REENIE URAWNENIQ (5) QWLQETSQ REENIEMURAWNENIQ (4).2.sLU^AJ = ;1.W) pRI = ;1 URAWNENIE (5) PRINIMAET WID utt ; uxx = 0:eGO HARAKTERISTIKAMI BUDUT LINIIdx2 ; dt2 = 0()dx = 1dt()x t = const :G) uRAWNENIE (5) IMEET DWA SEMEJSTWA HARAKTERISTIK, SLEDOWATELXNO, \TO URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOGO TIPA. zAMENOJ PEREMENNYH = x + t, = x ; t, ONO PRIWODITSQ K KANONI^ESKOMUWIDUu = 0:(500 )oB]IM REENIEM URAWNENIQ (500) QWLQETSQ FUNKCIQ u( ) =f()+g() TOGDA OB]IM REENIEM URAWNENIQ (5) BUDET FUNKCIQu(t x) = f(x + t) + g(x ; t): fUNKCIQ u(x t) = x ; t QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (5), NO NE QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (4).D) fUNKCIQ u(x t) = sin(x ; t) SLUVIT PRIMEROM OGRANI^ENNOGO REENIQ URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ REENIEMURAWNENIQ (4).zADA^A 2.24.rASSMOTRIM ZADA^U kOI W POLOSE =u + u= 0 W uy=0 = '(x)RR1 0 y0] W 2xxyu 2 C 2 () \ C 1()uy y=0 = (x)R'(x) (x) | OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA 1x: kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW u 2 E0 (' ) 2E1 GDEE0 = C()kukE0 = sup ju(x t)jR RE1 = C( 1x) C( 1x)k kE1RR= sup j'(x)j + sup j(x)j?79rEENIE.
dOKAVEM, ^TO ZADA^A NEKORREKTNA. dLQ \TOGO POSTROIM PRIMER, ANALOGI^NYJ PRIMERU aDAMARA. bUDEM ISKATX ^ASTNOE REENIE URAWNENIQ W WIDE u(x y) = X(x)Y (y) GDE FUNKCIQY (y) DOLVNA BYTX NEOGRANI^ENNOJ PRI y > 0: pODSTAWIM u(x y)W URAWNENIE:X 00 (x)Y (y) + X(x)Y 00(y) + X(x)Y (y) = 0Y 00 (y) = ; X 00 (x) ; 1 :Y (y)X(x)dLQ FUNKCII Y (y) POLU^IM URAWNENIE Y 00(y) ; Y (y) = 0 pKOTOROE IMEET NEOGRANI^ENNOE REENIE PRI > 0 : Y (y) = e y :tOGDA REENIEM ;URAWNENIQpX 00 (x)+(+1)X(x);p = 0 BUDET FUNKCIQ X(x) = A sin + 1 x +B cos + 1 x : wOZXMEM = n2n 2 I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ;pun(x y) = n12 eny sin n2 + 1 x :fUNKCII un(x y) BUDUT REENIQMI ZADA^un + un = 0 x 2 1 y p2 (0 y ); 2 0 1un(x 0) = 'n (x) = n2 sin n + 1 x@un (x 0) = (x) = 1 sin ;pn2 + 1 x:n@ynNRRpRI n ! 1 POSLEDOWATELXNOSTX NA^ALXNYH FUNKCIJ STREMITSQ K NUL@ PO NORME PROSTRANSTWA C( 1) : max'(x)!0nx2maxn (x) ! 0 NO POSLEDOWATELXNOSTX REENIJ un (x y) NEx2STREMITSQ K NUL@.
nARUAETSQ USLOWIE NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI REENIQ OT NA^ALXNYH DANNYH IZ OPREDELENIQ KORREKTNOSTI, SLEDOWATELXNO, ZADA^A QWLQETSQ NEKORREKTNOJ.RzADA^A 3.4.RRpRIWESTI PRIMER FUNKCIJ ' 2 C 2( ) TAKIH, ^TO ZADA^A kOIuxx + 5uxy ; 6uyy = 0uy=6x = '(x) uy y=6x = (x)80A) IMELA BY REENIE. eDINSTWENNO LI \TO REENIE?B) NE IMELA BY REENIJ.rEENIE.nAJDEM HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx + 5uxy ; 6uyy = 0 :(dy)2 ; 5 dy dx ; 6(dx)2 = 0I ZAPIEM EGO OB]EE REENIEy + x = C1y ; 6x = C2Ru(x y) = f(y + x) + g(y ; 6x)GDE f() g() 2 C 2 ( ) | PROIZWOLXNYE FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ. pODSTAWIM OB]EE REENIE W NA^ALXNYE USLOWIQ, ZADANNYENA ODNOJ IZ HARAKTERISTIK( uy=6x = f(7x) + g(0) = '(x)(16)uy y=6x = f 0 (7x) + g0 (0) = (x):nEOBHODIMOE USLOWIE RAZREIMOSTI SISTEMY (16) IMEET WID'0 (x) = 7(x) + constPRI^EM IZ SISTEMY (16) NAJTI MOVNO TOLXKO FUNKCI@ f() AFUNKCIQ g() NE OPREDELQETSQ.A) pRIMER NA^ALXNYH DANNYH, PRI KOTORYH ZADA^A kOIIMEET REENIE:'(x) = 7x2(x) = 2x:rEENIE ZADA^I NEEDINSTWENNO:u(t x) = 71 (x + y)2 + g(y ; 6x)GDE g() 2 C 2( ) | L@BAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQMg(0) = g0 (0) = 0:B) pRIMER NA^ALXNYH USLOWIJ, PRI KOTORYH ZADA^A kOINE IMEET REENIQ:'(x) = x2(x) = 2x:w \TOM SLU^AE SISTEMA (16) PROTIWORE^IWA.81RRRzADA^A 3.14.nAJTI REENIE u(x t), x = (x1 x2 x3), W 3 + ZADA^I:utt = x uut=0 = 0 ut t=0 = jxj7:rEENIE.
pEREJDEM W SFERI^ESKIE KOORDINATY. tAK KAK NA-^ALXNYE USLOWIQ ZADA^I ZAWISQT TOLXKO OT jxj = r TO I REENIE,W SILU EDINSTWENNOSTI, QWLQETSQ FUNKCIEJ TOLXKO PEREMENNYHr I t:dLQ FUNKCIJ, ZAWISQ]IH TOLXKO OT RADIUSA, OPERATOR lAPLASA W PROSTRANSTWE x 2 n IMEET WIDR@2 + n ; 1 @ :x = @r2r @rsLEDOWATELXNO, ZADA^A DLQ FUNKCII u = u(r t) PEREPIETSQ TAK27utt = urr + r urr > 0 t > 0u t=0 = 0ut t=0 = r :dOMNOVIM URAWNENIE NA r :rutt = rurr + 2urI SDELAEM ZAMENU v(r t) = ru(r t): tOGDA vtt = rutt vr = rur +uvrr = rurr + 2ur : tAK KAK u(0 t) OGRANI^ENA, TO v(0 t) = 0:pOLU^IM ZADA^U DLQ FUNKCII v(r t)r > 0 t > 0 vt=0 = 0 vt t=0 = r8 vr=0 = 0:pRIMENIM METOD D'aLAMBERA DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY,PRODOLVIW NA^ALXNYE USLOWIQ NE^ETNO W OBLASTX r < 0 (SM.TEORI@ K PARAGRAFU 3):vtt = vrr8 Zr+t>1 8 d = 1 (r + t)9 ; (r ; t)9 >>18<2v(r t) = > r;Zr+t t11>899>: 2 d = 18 (r + t) ; (t ; r)82t;rr>tr < t:tOGDA1 (r + t)9 ; jt ; rj9 r 6= 0:u(r t) = r1 v(r t) = 18rnAJTI u(0 t) MOVNO LIBO KAK rlim!0 u(r t) LIBO PO FORMULE kIR-HGOFAZ7 Ztt7 4t2 = t8:17j j dS =dS=u(0 t) = 4t4t4tjj=tjj=toTWET:; u(x t) = 181jxj jxj + t 9 ; t ; jxj9 x 6= 0u(0 t) = t8:RR RRzADA^A 3.27.pRI KAKIH A I ! SU]ESTWUET REENIE u 2 C 2( + + ) W + KRAEWOJ ZADA^I:2utt = uxx ux=0 = cos !t ut=0 = A e;x utt=0 = 0 ?+nAJTI \TO REENIE.rEENIE.
oB]EE REENIE URAWNENIQ STRUNY IMEET WIDu(x t) = f(x ; t) + g(x + t):pRI x > t REENIE OPREDELQETSQ PO FORMULE dALAMBERA:A ; ;(x;t)2 ;(x+t)2 u(x t) = f(x ; t) + g(x + t) = 2 epRI x < t IMEEM+e:u(x t) = f(x ; t) + g(x + t) = f(x ; t) + A2 e;(x+t)2GDE PADA@]AQ WOLNA g() TA VE, ^TO PRI x > t, A OTRAVENNAQWOLNA f(), < 0, NAHODITSQ IZ GRANI^NOGO USLOWIQ:A ;t2A ; 2u x=0 = f(;t) + 2 e= cos !t()f() = cos ! ; 2 e:83tOGDA PRI x < t;u(x t) = A2 e;(x+t)2 ; e;(x;t)2 + cos !(x ; t):RRfUNKCIQ u(x t) PRINADLEVIT KLASSU C 2( + + ), ESLI ONA IMEET DWE NEPRERYWNYE PROIZWODNYE NA UGLOWOJ HARAKTERISTIKE;2 =2 PRIx = t. dLQ \TOGO FUNKCIQf(),ZADAWAEMAQf()=Ae > 0 I f() = ;Ae;2 =2 + cos ! PRI < 0, DOLVNA BYTX KLASSA C 2 W NULE, TO ESTXf(+0) = f(;0)f 0 (+0) = f 0 (;0)f 00 (+0) = f 00(;0)TAK KAK()()A=1()!= 2(WYPOLNENO WSEGDA),() ;1 = 1 ; !2f 0 (+0) = ;e;2 A = 1; A22=0p=0f 0 (;0) = e;2 ; ! sin !t =0 = 0f 00 (+0) = ; e;2 + 2 2 e;2 =0 = ;1 22f 00 (;0) = e; ; 2 2 e; ; !2 cos ! =0 = 1 ; !2pRI NAJDENNYH ZNA^ENIQH A I ! POLU^IM DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE REENIE ZADA^I:(; ;(x+t)2 ;(x;t)2 ;p x>tu(t x) = ;e;(x+t)2 + e;(x;t)2 =2ezADA^A 3.33.;e=2 + cosR2 (x ; t)x < t:pUSTX u(x t) | REENIE W 0 1] + SMEANNOJ ZADA^Iutt = 4uxxux=0 = ux=1 = 0ut=0 = 4 sin3 xut t=0 = 30x(1 ; x):84; 1A) nAJTI f 3 , GDE f(t) =B) nAJTI u(x 2).rEENIE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
