Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 4
Текст из файла (страница 4)
eDINSTWENNO LI \TO REENIE?B) NE IMELA BY REENIJ.3.5. pUSTX Q = 0 1] 0 1], f 2 C 2(@Q). eDINSTWENNO LI REENIE u(x t) 2 C 2(Q) SLEDU@]EJ ZADA^I:utt = uxx (x t) 2 Q u@Q = f ?zADA^A kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQRkLASSI^ESKIM REENIEM ZADA^I kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQn t>0utt = a2 xu + f(x t) (a > 0) x 2u t=0 = '(x)ut t=0 = (x)GDE '(x), (x), f(x t) | ZADANNYE FUNKCII, NAZYWAETSQ FUNKCIQ u(x t) 2 C 2(x 2 n t > 0) \ C 1(x 2 n t > 0).25RRRRRRRR RReSLI WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ'(x) 2 C 2( 1) (x) 2 C 1 ( 1) f(x t) 2 C 1 ( 1 + ) (n = 1)'(x) 2 C 3 ( n) (x) 2 C 2( n) f(x t) 2 C 2( n + ) (n = 2 3),TO REENIE ZADA^I kOI SU]ESTWUET, EDINSTWENNO I ZADAETSQ:PRI n = 1 FORMULOJ dALAMBERAhi 1 xZ+at1u(x t) = 2 '(x + at) + '(x ; at) + 2a() d +1+ 2ax;atZt x+Za(t; )0 x;a(t; )f( ) d d PRI n = 2 FORMULOJ pUASSONA1 Z p () du(x t) = 2a2j;xj<at"@ 1+ @t2aZ(at); j ; xj2+#dp '()+2(at); j ; xj2j;xj<attZZ1p 2 f( )2d d 2 + 2a(a (t ; ) ; j ; xj0 j;xj<a(t; )PRI n = 3 FORMULOJ kIRHGOFAZ1u(x t) = 4a2t+Zt0j;xj=at"@ 1() dS + @t4a2t124a (t ; )Zj;xj=a(t; )Zj;xj=at#'() dS +f( ) dS d :zAME^ANIE.
rEENIE ODNORODNOGO WOLNOWOGO URAWNENIQ W L@BOJ TO^KE (x t) ZAWISIT OT ZNA^ENIJ NA^ALXNYH FUNKCIJ ' I PRI n = 1 | NA OTREZKE x ; at x + at]PRI n = 2 | W KRUGE S CENTROM W TO^KE x RADIUSA atPRI n = 3 | NA SFERE S CENTROM W TO^KE x RADIUSA at.I NE ZAWISIT OT IH ZNA^ENIJ WNE DANNOGO MNOVESTWA.26RRpUSTX u(x t), (x t) 2 +, | REENIE ZADA^I kOIutt = uxxut=0 = 0 utt=0 = (1 + x2) ex2 :nAJTI WSE , PRI KOTORYH sup ju(x t)j < +1.3.6.RRRR+pUSTX u(x t), (x t) 2 +, | REENIE ZADA^I kOIutt = uxxut=0 = 0 ut t=0 = (x3 + 2x4 )(1 + x2 ) :nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET KONE^NYJ t!limu(0 t).+13.7.RRRR3.8.
nAJTI WSE KOMPLEKSNYE a, PRI KOTORYH OGRANI^ENO REENIE u(x t) W POLUPLOSKOSTI + \ADA^Iutt = uxxut=0 = 0 ut t=0 = (1 + x2)Im a eax23.9.pUSTX u(x t a), (x t) 22utt = a uxx+,| REENIE ZADA^I kOIu t=0 = 1 +1 x2RRutt=0 = 0:dOKAZATX, ^TO u(x t a) UBYWAET PO a.3.10. pUSTX u(x t), (x t) 2 +, | REENIE ZADA^I kOIutt = a2 uxxut=0 = '(x) ut t=0 = (x)PRI^EM '(x) = (x) = 0 DLQ jxj > 1.dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO x0 SU]ESTWU@T TAKIE ^ISLA t0 I c,^TO u(x0 t) = c PRI WSEH t > t0. nAJTI \TI ^ISLA.3.11.
pUSTX u(x t), (x t) 2 +, | REENIE ZADA^I kOIutt = a2 uxxut=0 = '(x) ut t=0 = 0RRRRPRI^EM j'(x)j 6 1 DLQ WSEH x 2 , '(x) = 0 DLQ jxj > 1.nAJTI NIVN@@ GRANX MNOVESTWA TAKIH ZNA^ENIJ , ^TO PRIWSEH t > , x 2 I L@BYH ' S UKAZANNYMI SWOJSTWAMI WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO ju(x t)j 6 1=2.273.12. pUSTX fuk (x t)g (k = 1 2 : : :) | POSLEDOWATELXNOSTXFUNKCIJ KLASSA C 2, UDOWLETWORQ@]IH SOOTNOENIQMR@ 2 uk = k @ 2 ukx20 6 t 6 k@t2@x2uk t=0 > 0 PRI k < x < +1 uk t=0 = 0 PRI ; 1 < x 6 k @uk = 0 x 2 :@t t=0pRI KAKIH > 0, > 0 NAJDETSQ TAKOE x0, NE ZAWISQ]EE OT k,^TO uk (x t) = 0 DLQ (x t) 2 (;1 x0] 0 k] (k = 1 2 : : :)?RRRnAJTI REENIE u(x y t) W 2 + ZADA^I:2utt = uxx +uyyut=0 = e;x +arctg y ut t=0 = cos x+sin y:3.13.RRRRnAJTI REENIE u(x t), x = (x1 x2 x3), W 3 utt = x uut=0 = 0 ut t=0 = jxj7:+ ZADA^I:nAJTI REENIE u(x t), x = (x1 x2 x3), W 3 utt = xu ut=0 = 0 ut t=0 = 1 + (x +1x + x )2123+ ZADA^I:3.14.3.15.3.16.nAJTI REENIE ZADA^I kOI;x2R3:t > 0 u t=0 = '(x y z) utt=0 = 0PRI SLEDU@]IH FUNKCIQH '(x y z):utt = 4 uxx + uyy + uzzA) ' = sin x+e2zB) ' = (yz)2W) ' = (3x ; y+z)e3x;y+z :RRpUSTX u(x t) | REENIE W 3 + ZADA^I kOI:utt = x uut=0 = 0utt=0 = (1 + 4jxj2);1=2:3.17.nAJTI t!limu(0 t).+128RRRRpUSTX u(x1 x2 t) | REENIE W 2 + ZADA^I kOI:utt = ux1 x1 + ux2x2 ut=0 = 0 utt=0 = (x1 x2) 2 C 2 ( 2)3.18.GDE (x1 x2) > 0 W B12 (0), (x1 x2) = 0 W 2 n B12 (0).A) pRI KAKIH (x1 x2 t) FUNKCIQ u(x1 x2 t) RAWNA NUL@?B) nAJTI t!limtu(x1 x2 t) W SLU^AE, KOGDA+1(x1 x2) = (1 ; x21 ; x22)3+ :RRRpUSTX u(x1 x2 t) | REENIE W 2 + ZADA^I kOI:utt = ux1 x1 + ux2 x2 ut=0 = 0 utt=0 = (x1 x2) 2 C 2 ( 2)3.19.GDE (x1 x2) = 0 PRI (x1 x2) 2 0 1] 0 2], (x1 x2) > 0 PRIOSTALXNYH (x1 x2).A) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEH ZNA^ENIJ(x1 x2 t) 2 2 + , DLQ KOTORYH u(x1 x2 t) = 0.B) nARISOWATX \TO MNOVESTWO.3.20.
pUSTX u(x t) | REENIE W 3 + ZADA^I kOI:utt = xuut=0 = 0 utt=0 = (x)RRRRGDE (x) = 0 PRI 0:9 6 jxj 6 1, (x) > 0 DLQ OSTALXNYH x.pRI KAKIH (x t) FUNKCIQ u(x t) RAWNA NUL@?3.21. pUSTX fu"(x y t)g (0 < " 6 12 ) | SEMEJSTWO FUNKCIJKLASSA C 2, UDOWLETWORQ@]IH SOOTNOENIQMRR222" @@tu2" = @@xu2" + @@yu2"(x y) 2 2 0 6 t 6 ";m u" t=0 = 0 (x y) 2 2@u" = 0 PRI x2 + y2 6 ";q @u" > 0 PRI x2 + y2 > ";q:@t t=0@t t=0pRI KAKIH m > 0, q > 0 NAJDETSQ TAKOE > 0, NE ZAWISQ]EE OT ",^TO u" (x y t) = 0 DLQ x2 + y2 6 2 , 0 6 t 6 ";m (0 < " 6 12 )?29RpUSTX u(x t) | REENIE ZADA^I kOIutt = u x 2 n t > 0ut=0 = 0 utt=0 = (x)3.22.R R RRPRI^EM (x) > 0.
pRI KAKIH n 2 f1 2 3g SPRAWEDLIWO UTWERVDENIE: ESLI MNOVESTWO fx 2 n j (x) = 0g SWQZNO, TO I MNOVESTWOf(x t) 2 n + j u(x t) = 0g TAKVE SWQZNO?; ;3.23. pUSTX u(x t) 2 C 2 3 (0 +1) \ C 1 3 0 +1) |REENIE ZADA^I kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = uut=0 = 0 ut t=0 = '(x) 2 C01( 3):RRmOVET LI NOSITELX FUNKCII u LEVATX W CILINDREBR3 (0) 0 +1)?sMEANNAQ ZADA^A DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNYsMEANNOJ ILI NA^ALXNO{KRAEWOJ ZADA^EJ DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x t)UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@utt = a2uxx (a > 0)x>0t>0NA^ALXNYM USLOWIQM PRI t = 0ut=0 = '(x) utt=0 = (x) x > 0I GRANI^NOMU USLOWI@ PRI x = 0ux=0 = (t)(USLOWIE I RODA),ILI ux x=0 = (t)(USLOWIE II RODA),ILI (ux ; u) x=0 = (t)(USLOWIE III RODA).w SLU^AE KOGDA (t) 0, KRAEWOE USLOWIE NAZYWAETSQ ODNORODNYM.
rASSMATRIWA@TSQ I DRUGIE WIDY GRANI^NYH USLOWIJ.dLQ SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGO REENIQ u 2 C 2 ( + +)NUVNY DOPOLNITELXNYE USLOWIQ SOGLASOWANIQ NA^ALXNYH I GRANI^NYH USLOWIJ W TO^KE (0 0). nAPRIMER, KLASSI^ESKOE REENIERR30ZADA^I S GRANI^NYM USLOWIEM I RODA SU]ESTWUET, ESLI(0) = '(0) (= u(0 0))0 (0) = (0) (= ut(0 0))00(0) = a2'00 (0) (utt(0 0) = a2uxx (0 0)):oB]EE REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ STRUNY IMEET WIDu(x t) = f(x ; at) + g(x + at)f(x ; at) | WOLNA, BEGU]AQ WPRAWO, g(x + at) | WLEWO.fUNKCII f() I g() PRI POLOVITELXNYH ZNA^ENIQH ARGUMENTA OPREDELQ@TSQ IZ NA^ALXNYH USLOWIJ, I TEM SAMYM PRI x > atREENIE NAHODITSQ PO FORMULE dALAMBERAi 1 xZ+at1hu(x t) = 2 '(x + at) + '(x ; at) + 2ax;at() d:dLQ NAHOVDENIQ REENIQ PRI 0 < x < at I]EM FUNKCI@f() PRI < 0 IZ GRANI^NOGO USLOWIQ PRI x = 0.
nAPRIMER, WSLU^AE USLOWIQ PERWOGO RODA IMEEMux=0 = f(;at)+g(at) = (t) f() = (;=a) ; g(;) < 0:w SLU^AE GRANI^NOGO USLOWIQ WTOROGO ILI TRETXEGO RODA FUNKCIQ f(), < 0, QWLQETSQ REENIEM OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ PERWOGO PORQDKA I ZAWISIT OT ODNOJ PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ, KOTORAQ NAHODITSQ IZ USLOWIQ NEPRERYWNOSTI REENIQ u(x t) NA GLAWNOJ HARAKTERISTIKE x = at.zAME^ANIE. eSLI URAWNENIE QWLQETSQ NEODNORODNYM, TOSLEDUET NAJTI L@BOE ^ASTNOE REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ w(x t) PREDSTAWITX ISKOMOE REENIE u(x t) W WIDE SUMMY u(x t) = v(x t) + w(x t) I PODSTAWITX u(x t) W URAWNENIE,NA^ALXNYE I GRANI^NOE USLOWIQ. tOGDA DLQ NOWOJ NEIZWESTNOJFUNKCII v(x t) POLU^ITSQ ODNORODNOE URAWNENIE S NOWYMI NA^ALXNYMI I GRANI^NYMI DANNYMI.~ASTNYE SLU^AI.dLQ ODNORODNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ PERWOGO RODAux=0 = 031ROB]IJ METOD DAET TOT VE REZULXTAT, ^TO I METOD NE^ETNOGOPRODOLVENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ.
fUNKCI@ u(x t) MOVNO NAJTIPO FORMULE dALAMBERA KAK REENIE ZADA^I kOI (x 2 ) SNE^ETNO PRODOLVENNYMI W OBLASTX x < 0 FUNKCIQMI ' I '(x) x > 0(x) x > 0~ ='~(x) =(x);'(;x)x<0;(;x)x < 0POLU^ENNOE REENIE SLEDUET RASSMATRIWATX TOLXKO PRI x > 0:w SLU^AE ODNORODNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ WTOROGO RODAuxx=0 = 0RUDOBNO PRIMENITX METOD ^ETNOGO PRODOLVENIQ NA^ALXNYHUSLOWIJ. fUNKCI@ u(x t) MOVNO NAJTI PO FORMULE dALAMBERA KAK REENIE ZADA^I kOI (x 2 ) S ^ETNO PRODOLVENNYMIW OBLASTX x < 0 FUNKCIQMI ' I '(x) x > 0 (x) x > 0~'(x)~ =(x) ='(;x) x < 0:R(;x) x < 0RPOLU^ENNOE REENIE RASSMATRIWATX TOLXKO PRI x > 0:uSLOWIQ SOGLASOWANIQ ZDESX PEREPISYWA@TSQ W WIDE USLOWIJNA GLADKOSTX W NULE FUNKCIJ '~ 2 C 2 ( ) I ~ 2 C 1( ).3.24.pUSTX u(x t) | REENIE WRR+ +ZADA^I:u =uux x=0 = 0( tt 3 xxut=0 = ; sin x < x < 2utt=0 = 0:0x 2= ( 2)RRA) nAJTI MNOVESTWO f(x t) 2 + + j u(x t) 6= 0g.B) nARISOWATX \TO MNOVESTWO.W) nARISOWATX GRAFIKI u(x 32 ) u(x 52 ).32RRRR3.25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
