Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 2
Текст из файла (страница 2)
23, gL III, x 30], 21,x 3.10] (ZADA^I 5.16, 5.17, 5.34, 5.35)5. tEORIQ POTENCIALOW. 23, gL. III, x 34], 21, x 3.12] (ZADA^I 5.36, 5.37)3.xxoBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ IW SMYSLE sOBOLEWA. oBOB]ENNOE REENIE ZADA^I dIRIHLE. wARIACIONNYJ METOD REENIQ ZADA^I dIRIHLE.
21, x 1.3], 20, gL.IV, x 1] (ZADA^I 5.48, 5.49, 5.50, 5.52, 5.51)6.bIBLIOGRAFIQ1. aRNOLXD w. i., lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mk nmu, 1995.2. bERS l., dVON f., {EHTER m. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1966. | 351 S.3. bICADZE a.w., kALINI^ENKO d.f. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA,1977. | 222 S.4. bUDAK b.m., sAMARSKIJ a.a., tIHONOW a.n. sBORNIK ZADA^PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: gOS. IZD-WO TEHNIKO{TEORETI^ESKOJ LITERATURY, 1956.
| 683 S.5. wLADIMIROW w.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. |5-OE IZDANIE. | m.: nAUKA, 1988. | 512 c.6. wLADIMIROW w.s. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA, 1982. | 256 S.7. wLADIMIROW w.s. oBOB]ENNYE FUNKCII W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. | 2-OE IZDANIE | m.: nAUKA, 1979. | 320 c.8.
gILBARG d., tRUDINGER n. |LLIPTI^ESKIE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WTOROGO PORQDKA | m.: iZD-WO nAUKA, 1989. | 463 S.9. gODUNOW s.k. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW FIZIKO{MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW. | 2-OE IZDANIE. | m.: nAUKA, 1979. | 392 c.710. gODUNOW s.k., zOLOTAREWA e.w. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE. | nOWOSIBIRSK: iZD-WO nOWOSIBIRSKOGO GOS.
UN-TA, 1987. | 96c.11. gORICKIJ a.`., kRUVKOW s.n., ~E^KIN g.a. uRAWNENIQ S^ASTNYMI PROIZWODNYMI PERWOGO PORQDKA (u^EBNOE POSOBIE) | m.: iZDATELXSTWO cENTRA PRIKL. ISSLEDOWANIJ PRIMEH-MAT F-TA mOSK. GOS. UN-TA, 1999. | 96 S.12. eGOROW `.w. lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. dOPOLNITELXNYE GLAWY. u^EBNOE POSOBIE DLQSTUDENTOW, OBU^A@]IHSQ PO SPECIALXNOSTI \MATEMATIKA". | m.: iZD-WO mOSK. GOS. UN-TA, 1985. | 164 c.13.
iLXIN a.m., kALANIKOW a.s., oLEJNIK o.a. lINEJ14.15.16.17.18.19.20.21.NYE URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA PARABOLI^ESKOGO TIPA//umn.{ 1962.{ T. 17, WYP. 3.{ S. 3{146 (SM. TAKVE tRUDYSEMINARA IM. i.g.pETROWSKOGO.{ 2001.{ T. 21.{ S. 9{193.)kOME^ a. i., pRAKTI^ESKOE REENIE URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI (u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE DLQ STUDENTOW UNIWERSITETOW) | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK.GOS. UN-TA, 1993.kURANT r. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI.
| m.:mIR, 1964.lADYVENSKAQ o.a. kRAEWYE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI | m.: nAUKA, 1973.mASLENNIKOWA w.n. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. u^EBNOE POSOBIE. | 2-E IZDANIE. |m.: iZD-WO rudn, 2000. | 229 c.mIZOHATA s., tEORIQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1977. | 504 S.mIHAJLOW w.p. lEKCII PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJFIZIKI: U^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW WUZOW. | m.: fIZMATLIT, 2001. |206 S.mIHAJLOW w.p. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W ^ASTNYHPROIZWODNYH.
| m.: nAUKA, 1984.oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. I ^ASTX. | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK. UN-TA,1976.822. oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 2004.23. pETROWSKIJ i.g. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | 3-E IZDANIE | m.: fIZMATGIZ, 1961. | 400 S.24. sMIRNOW w.i. kURS WYSEJ MATEMATIKI (DLQ MEHANIKOMATEMATI^ESKIH I FIZIKO{MATEMATI^ESKIH FAKULXTETOW UNIWERSITETOW.
| m.: fIZMATGIZ, 1959.25. sMIRNOW m.m. zADA^I PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJFIZIKI. u^EBNOE POSOBIE. | 6-OE IZDANIE. | m.: nAUKA,1975. | 126 c.26. sOBOLEW s.l. nEKOTORYE PRIMENENIQ FUNKCIONALXNOGOANALIZA W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. | 3-E IZDANIE. | m.:nAUKA, 1988. | 336 c.27. sOBOLEW s.l. iZBRANNYE WOPROSY TEORII FUNKCIONALXNYH PROSTRANSTW I OBOB]ENNYH FUNKCIJ.
| m.: nAUKA,1989. | 254 c.28. sOBOLEW s.l. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 5-EIZDANIE. | m.: nAUKA, 1992. | 432 S.29. tIHONOW a.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 6-E IZDANIE. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA,1999. | 798 S.30. {ILOW g.e. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. wTOROJ SPECIALXNYJ KURS. | 2-OE IZDANIE | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA,1984. | 208 S.31. {UBIN m.a. lEKCII OB URAWNENIQH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI | m.: iZD-WO mcnmo, 2001.
| 302 S.32. |WANS l.k. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | nOWOSIBIRSK.: iZD-WO tAMARA rOVKOWSKAQ, 2003.91 wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO ANALIZAoBOB]ENNYE FUNKCII I FUNDAMENTALXNYE REENIQoBOB]ENNYMIFUNKCIQMINAZYWA@TSQ \LEMENTY PROSTRAN0 n0RR RSTWA D ( ) (ILI D ()), T. E. PROSTRANSTWA LINEJNYH NEPRERYWNYH FUNKCIONALOW NAD D( n) = C01 ( n) (SOOTWETSTWENNO,NAD D() = C01 ()). dEJSTWIE FUNKCIONALA f 2 D0 NA ' 2 DOBOZNA^AETSQ f(') ILI (f ').w PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ WYDELQETSQ KLASS REGULQRNYH OBOB]ENNYHFUNKCIJ, TO ESTX OBY^NYH FUNKCIJf(x) 2 L1 loc( n) (ILI f(x) 2 L1 loc()), DEJSTWIE KOTORYH OPREDELQETSQ TAK:ZR(f ') =f(x)'(x)dxR8' 2 D(INTEGRIROWANIE IDET PO PROSTRANSTWU n ILI PO OBLASTI SOOTWETSTWENNO).
oBOB]ENNYE FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ REGULQRNYMI, NAZYWA@TSQ SINGULQRNYMI. pRIMEROM SINGULQRNOJOBOB]ENNOJ FUNKCII QWLQETSQ {FUNKCIQ.pROIZWODNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII f 2 D0 PO PEREMENNOJ xiNAZYWAETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM @f @' @xi ' = ; f @xi 8' 2 D:pO INDUKCII OPREDELQ@TSQ PROIZWODNYE OBOB]ENNOJ FUNKCIIPROIZWOLXNOGO PORQDKA.fUNDAMENTALXNYM REENIEM DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA L NAZYWAETSQ (WOOB]E GOWORQ, OBOB]ENNAQ) FUNKCIQ ETAKAQ, ^TO L(E ) = , TO ESTX (L(E ) ') = '(0) 8' 2 D.10pRIWEDEM PRIMERY FUNDAMENTALXNYH REENIJ NEKOTORYHDIFFERENCIALXNYH OPERATOROW.fUNDAMENTALXNOE REENIE OPERATORA lAPLASA L = W PROSTRANSTWE RAZMERNOSTI n IMEET WID1!n (2 ; n)jxjn;21E2 (x) =2 ln jxjn>3En (x) =n = 2:dLQ OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI L = @t@ ; a2 FUNDAMENTALXNYM REENIEM QWLQETSQ FUNKCIQ(t) ; jxj2E (x t) = ; p n e 4a t :2a t22wOLNOWOJ OPERATOR L = @t@ 2 ; a2 W ZAWISIMOSTI OT RAZMERNOSTI n, n = 1 2 3, PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ x IMEETSLEDU@]IE FUNDAMENTALXNYE REENIQ1 (at ; jxj)t) = 2a(atp ; jxj)E2 (x t) =2a a2t2 ; jxj21E3 (x t) =4a2 t (jxj ; at)E1 (xn=1n=2n = 3:w OTLI^IE OT SLU^AEW ODNOJ ILI DWUH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH, E3 QWLQETSQ SINGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ, DEJSTWIE KOTOROJ NA OSNOWNYE FUNKCII OPREDELENO RAWENSTWOMZ 1 Z4(E3 ') =R4a2 tjxj=at'(x t) dSx dt8'(xRt) 2 D( )dSx | \LEMENT PLO]ADI NA SFERE Sat3 (0).11pUSTX u(x y) | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ KWADRATA@ 2 u W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH(;1 1) (;1 1).
nAJTI @x@yFUNKCIJ.1.1.1.2.RpRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 1 FUNKCIQ(u(x t) = 1 PRI t 6 ax(x t) 2 20 PRI t > axRQWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ ut = ux W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ?RpUSTX FUNKCIQ y(x) 2 D0 ( ) I UDOWLETWORQET URAWNENI@KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ. dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ Cex , C = const.1.3.y0 = y1.4.nAJTI WSE FUNDAMENTALXNYE REENIQ OPERATORALu(x) =1.5.d2 u(x) + du(x) :dx2dxnAJTI FUNDAMENTALXNOE REENIE OPERATORALu(xy) = uxx (x y) ; uyy (x y)OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y < 0.1.6.dOKAVITE, ^TO FUNKCIQpE(x x0) = ; cos(4rc r)r = jx ; x0 jQWLQETSQ FUNDAMENTALXNYM REENIEM OPERATORA+c12GDE c = const > 0 n = 3:pROSTRANSTWA sOBOLEWAoBOB]ENNOJ PROIZWODNOJ W SMYSLE sOBOLEWA FUNKCII u(x)PO PEREMENNOJ xi W OBLASTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ v(x) (OBOZNA^ENIE: v(x) = @u=@xi ), UDOWLETWORQ@]AQ INTEGRALXNOMU TOVDESTWUZZ@'(x)v(x)'(x) dx = ; u(x) @x dxi8' 2 C01 ():pROSTRANSTWOM sOBOLEWA H 1() NAZYWAETSQ PROSTRANST-WO FUNKCIJ u(x), PRINADLEVA]IH PROSTRANSTWU L2 () WMESTESO SWOIMI OBOB]ENNYMI PROIZWODNYMI @u=@xi , i = 1 : : : n, WSMYSLE sOBOLEWA PERWOGO PORQDKA.pROSTRANSTWO H 1() QWLQETSQ BANAHOWYM (T.
E. POLNYM NORMIROWANNYM) PROSTRANSTWOM. nORMA W NEM OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:Zn @u 2X dx:kuk2H 1 () = kuk2L2() + kruk2(L2())n =juj2 +@xi=1ipROSTRANSTWOM1 sOBOLEWA H1() NAZYWAETSQZAMYKANIEPODPROSTRANSTWA C0 () W PROSTRANSTWE H 1().nERAWENSTWO fRIDRIHSA. dLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI SU]ESTWUET KONSTANTA C(), TAKAQ ^TOZZXn @u 2 dx 8u 2 H1 ():2juj dx 6 C()@x i=11iw SILU NERAWENSTWA fRIDRIHSA SLEDU@]IJ FUNKCIONAL WH ()kuk2H 1 ()= kruk2(L2())n =ZXn @u 2 dx@xi i=1ZADAET NORMU, \KWIWALENTNU@ ISHODNOJ NORME PROSTRANSTWAH 1 ().13pROSTRANSTWO H 1() QWLQETSQ GILXBERTOWYM OTNOSITELXNOSKALQRNOGO PROIZWEDENIQZXn @u @vu v] = (ru rv)(L2())n = i=1@xi @xi dx:pROSTRANSTWO H 1() TAKVE QWLQETSQ GILXBERTOWYM SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEMZ(u v)H 1 () = (u v) + u v] GDE (u v) = u(x)v(x) dx| STANDARTNOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE W L2 ().pUSTX f(x) 2 H 1(), a(x) 2 C 1().
dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f(x)a(x) QWLQETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W SMYSLE sOBOLEWA, IDLQ NAHOVDENIQ EE PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA SPRAWEDLIWAOBY^NAQ FORMULA lEJBNICA. wERNO LI, ^TO f(x)a(x) 2 H 1()?1.8. pUSTX f 2 H 1(B1n (0)). wOZMOVNO LI, ^TO f 2= L1 (B1n (0))A) PRI n = 3 B) PRI n = 2 W) PRI n = 1?1.9. pUSTX u(x) | OGRANI^ENNAQ W B13 (0) FUNKCIQ, GLADKAQ WB13 (0) n f0g. mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO u 2 H 1 (B13 (0))?;1.10.
A) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H 1 (0 1) QWLQETSQNEPRERYWNOJ.B) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE 0 1],;TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0, PRINADLEVIT H 1 (0 1) ?1.11. pUSTX u 2 C() \ H 1() I u(x) = 0 PRI x 2 @. dOKAZATX,^TO u 2 H 1().1.12. pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y) = ln(x2 + y2 ) PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1(), ESLIA) = B12=2 (0)B) = B22 (0)nB12=2(0)?1.7.14pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y) = ln(x2 + xy + 2y2 ) PRINADLEVIT H 1(), GDE = (;1=4 1=4) (;1=4 1=4)?1.14. A) pRI KAKIH I n FUNKCIQ f(x) = (ln jxj)=jxj2 PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 (B1n=2(0))?B) tOT VE WOPROS DLQ PROSTRANSTWA H 1(B1n (0)).1.15. pRI KAKIH FUNKCIQ f(x) = jxj cos x PRINADLEVIT;PROSTRANSTWU H 1 (;1 1) ? 1.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
