Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

pRI KAVDOM LI 2 u = 1@u = sin '@n r=1R1 ZADA^AW K = (r') 1 < r < 2@u + u = sin2 'r=2@nu 2 C 2 (K) \ C 1(K) IMEET HOTQ BY ODNO REENIE? (~n | WNENQQNORMALX K GRANICE KOLXCA K:)5.44.pRI KAKIH a 2R1 KRAEWAQ ZADA^Au + 2u = x ; a W u@ = 0 = (0 ) (0 ) IMEET HOTQ BY ODNO REENIE?645.45.C 2()pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2u = 0 W '(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ Ixlim!x u(x) = '(x0 )x20DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @: nAZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "REENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0u@ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNOLI REENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE?RpUSTX 3 | WNENOSTX EDINI^NOGO ARA. eDINSTWENNO LI REENIE u(x) 2 C 2() \ C() WNENEJ ZADA^I dIRIHLEu(x) = 0 jxj > 1ujxj=1 = 05.46.PRI DOPOLNITELXNOM USLOWIIZ 2u() d = O(1)A)j;xj<1B)Zj;xj<1 2u() d = o(1)PRI jxj ! +1?5.47. A) nAJTI REENIE u( ) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQlAPLASA W B12 (0) S GRANI^NYM USLOWIEMu=1 =1Xk=1k;p;1 sin(kq )GDE p I q { ZADANNYE NATURALXNYE ^ISLA.B) pRI KAKIH p, q \TO REENIE PRINADLEVIT PROSTRANSTWUH 1 (B12 (0))?65oBOB]ENNYE REENIQzADA^A dIRIHLErASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLE W OBLASTI W KLASSI^ESKOJ POSTANOWKEu = f W (13)u='NA @:pUSTX f 2 L2 () ' 2 H 1 ().fUNKCIQ u 2 H 1 () NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM REENIEMKRAEWOJ ZADA^I (13), ESLIZZrurvdx = ; fv dxDLQ L@BOJ v 2 H 1() I u ; ' 2 H 1 ().wARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (13) NAZYWAETSQ SLEDU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:ZZinfw2H () w;'2H () 1ILIinfZw2H 1 () 1jrwj2dx + 2jrwj2dx + 2ZzADA^A nEJMANAfw dx ; 2Zfw dxr'rwdx :rASSMOTRIM ZADA^U nEJMANA W OBLASTI W KLASSI^ESKOJ POSTANOWKE( u = f W (14)@u = NA @:@pUSTX f 2 L2 () 2 L2 (@).66fUNKCIQ u 2 H 1 () NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM REENIEMKRAEWOJ ZADA^I nEJMANA (14), ESLIZZZDLQrurvdx =@v ds ; fv dxL@BOJ v 2 H 1().wARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (13) NAZYWAETSQ SLE-DU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:ZZinfw2H 1 ()jrwj2dx + 2Zfw dx ; 2 w ds :@tRETXQ KRAEWAQ ZADA^A (ZADA^A fURXE)rASSMOTRIM TRETX@ KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI W KLASSI^ESKOJPOSTANOWKE( u = fW (15)@u + u = NA @:@pUSTX f 2 L2 () 2 L2 (@).fUNKCIQ u 2 H 1 () NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM REENIEMTRETXEJ KRAEWOJ ZADA^I (15), ESLIZZZZDLQrurvdx + uv ds =@@v ds ; fv dxL@BOJ v 2 H 1().wARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (15) NAZYWAETSQ SLE-DU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:ZZinfw2H 1 ()jrwj2dx + @w2ZZ@ds ; 2 w ds + 2 fw dx :mINIMIZANTpOSLEDOWATELXNOSTX fuk g NAZYWAETSQ MINIMIZIRU@]EJ DLQFUNKCIONALA F, ESLI F(uk ) ;! m PRI k ! 1 I m = inf F(v):67oTMETIM, ^TO ZADA^A nEJMANA IMEET EDINSTWENNOE REENIES TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ.

dLQ ODNOZNA^NOJ RAZREIMOSTI ZADA^I ^ASTO PREDPOLAGA@T, ^TO U REENIQ NULEWOE SREDNEE PO OBLASTI. pRI TAKOM DOPU]ENII ZADA^A STANOWITSQ ODNOZNA^NO RAZREIMOJ I W \TOM SLU^AE MOVNO PRIMENQTX OB]U@ SHEMU ISSLEDOWANIQ I KLASSI^ESKOJ POSTANOWKI, IOBOB]ENNOJ, I WARIACIONNOJ.eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fuk g QWLQETSQ MINIMIZIRU@]EJ,TO SU]ESTWUET TAKOE u 2 H 1 (), ^TO uk ;! u PRI k ! 1 IF(u) = m:mETOD rITCArASSMOTRIMZ WARIACIONNU@Z POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE.

pUSTX2F(w) = jrwj dx + 2 fw dx. rASSMOTRIM LINEJNO NEZAWISIMU@ SISTEMU 1 : : :j : : :, KONE^NYE LINEJNYE OBOLO^KI KOTORYH PLOTNY W H 1 ():ktOGDA fuk g uk = P j j , BUDET MINIMIZIRU@]EJ POSLEDOj =1WATELXNOSTX@, k = 1 2 : : : ESLI j | REENIQ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJZZ8 Z>rrdx+rrdx+:::+1 122 1k rk r1dx => 1>Z >>= ; f1 dx>><ZZZ>>1 r1rk dx + 2 r2rkdx + : : : + k rk rk dx =>>>Z >>=;fk dx>:68;5.48. pUSTX u 2 C B12 (0) u(x y) > 0x2 + y2 = 1W B12 (0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE sOBOLEWA uxx I uyy , PRI^EMuxx + uyy 6 0 PO^TI WS@DU W B12 (0):dOKAZATX, ^TO u(x y) > 0 8(x y) 2 B12 (0):;5.49. pUSTX u 2 C B12 (0) W B12 (0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYEPROIZWODNYE W SMYSLE sOBOLEWA uxx I uyy , PRI^EMuxx + uyy = 0 PO^TI WS@DU W B12 (0): dOKAZATX, ^TO u(x y) 6 Smaxu 8(x y) 2 B12 (0):2 (0)15.50.

A) sFORMULIROWATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO REENIQZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQu = h W S USLOWIEMu = f NA @:B) nAJTI OBOB]ENNOE REENIE \TOJ ZADA^I W SLU^AE, KOGDAh(x) 0 f(x) = jxj2 = B1n (0) n > 3:W) tOT VE WOPROS W SLU^AE, KOGDA = B1n (0)nf0g:5.51. pUSTX B = B14 (0) ` = x 2 4 : x1 = 0 x2 = 0 x3 = 00 < x4 < 12 { OTREZOK W 4 Q = B n `: nAJDITE OBOB]ENNOEREENIE ZADA^I dIRIHLE u(x) :ZRRQ8 v 2 H 1 (Q)(ru rv) dx = 0u ; '(x) 2 H 1(Q)'(x) 2 C01 (B) I '(x) = 1 PRI x 2 `:695.52.nAJTIZ grad w(x)2 dxinfNA MNOVESTWE wf(x1 x2) = x22:5.53.B12 (0)2H 1 (B12 (0)) w ; fwY^ISLITXinfZ;w;(jxj;1)2H 1 () jrwj2 ; 2wESLI = fx = (x1 x2) : 1 < jxj < 2g:5.54.

wY^ISLITXZ;2infw;x1 2H 1 () ESLI = B12 (0):70jrwj2H 1 (B12 (0)) GDEdx+ 2(x21 ; x2)w dx6 rEENIQ OTDELXNYH ZADA^zADA^A 1.5.nAJTI FUNDAMENTALXNOE REENIE OPERATORALu(xy) = uxx (x y) ; uyy (x y)OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y < 0.rEENIE. sNA^ALA REIM (W OBOB]ENNYH FUNKCIQH) URAWNE-NIELE (xy) = Exx ; Eyy = (x y)SDELAW ZAMENU PEREMENNYH (POWOROT NA =4):z = xp; yw = xp+ y :22tOGDA PROIZWODNYE PERES^ITYWA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:@1 @ @@1 @ @pp@x = 2 @z + @w@y = 2 @z ; @w@2 ; @2 = 2 @2 :@x2 @y2 @z@wpRI ORTOGONALXNYH PREOBRAZOWANIQH -FUNKCIQ OSTAETSQ FUNKCIEJ, I URAWNENIE W NOWYH KOORDINATAH PRIMET WID@ 2 E (z w) = 1 (z w) = 1 (z) (w):@z@w22iNTEGRIRUQ SNA^ALA PO PEREMENNOJ z PRI FIKSIROWANNOM w, APOTOM NAOBOROT, IMEEM@ E (z w) = 1 ((z) + C )(w)1@w21E (z w) = ((z) + C1)((w) + C2):2tEPERX SREDI WSEH NAJDENNYH FUNDAMENTALXNYH REENIJNADO WYBRATX TO (ILI TE), KOTOROE PRI y < 0 OBRA]AETSQ WNOLX.

zAMETIM, ^TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ E (z w) | REGULQRNAQ,71KUSO^NO POSTOQNNAQ, RAWNAQ W I, II, III I IV ^ETWERTQH (OTNOSITELXNO KOORDINAT (z w)) SOOTWETSTWENNO (C1 + 1)(C2 + 1)=2,(C1 +1)C2=2, C1(C2 +1)=2 I C1C2 =2. pOLUPLOSKOSTX y < 0 PERESEKAETSQ S TREMQ IZ ^ETYREH (KROME II) \TIH ^ETWERTEJ. pO USLOWI@ TAM E (z w) = 0, TO ESTX(C1 + 1)(C2 + 1)=2 = C1(C2 + 1)=2 = C1 C2=2 = 0() C1 = 0 C2 = ;1:tAKIM OBRAZOM, ISKOMOE REENIE EDINSTWENNO I IMEET WID11E (z w) = (z)((w) ; 1) = ; (z)(;w):22wOZWRA]AQSX K STARYM KOORDINATAM, IMEEM1 x ; y ;xp; y = ; 1 (x ; y)(;x ; y):E (x y) = ; p2222pROIZWEDENIE DWUH -FUNKCIJ RAWNO NUL@ WEZDE, KROME MNOVES-TWAx;y > 0;x ; y> 0 () y < x < ;y () jxj < yGDE ONO RAWNO EDINICE. tAKIM OBRAZOM, OTWET ZAPISYWAETSQ WWIDE1E (x y) = ; (y ; jxj) :2zADA^A 1.12.pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y) = ln(x2 +y2 ) PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1(), ESLIA) = B12=2 (0)B) = B22 (0) n B12=2(0)? 2 2 rEENIE.A)fUNKCIQu=ln(x + y ) = j2 lnrj, GDEp2 2r = x + y , W OBLASTI = B12=2 (0) IMEET OSOBENNOSTX LIXW NA^ALE KOORDINAT.

|TA FUNKCIQ PRINADLEVIT PROSTRANSTWUL2 () PRI L@BOM , TAK KAKZ Z 1= 22 2 2 272ln(x + y ) dxdy = 20j2 lnrjrdr < +1WWIDU TOGO, ^TO j ln rj2r ! 0 PRI r ! +0.dALEE IMEEM:2rru = j2 lnrj;1 rrjruj = Cj lnrj;1r:fUNKCIQ u 2 H 1(), ESLI SHODITSQ SLEDU@]IJ INTEGRAL:ZZ 1=2 j ln rj;1 2jruj2dxdy= 2C 2= 2C 20r0rZ 1=2 j lnrj2(;1)rdrdr:sDELAW ZAMENU s = 1=r, dr = ;ds=s2 , SWEDEM WOPROS K SHODIMOSTIINTEGRALAZ 1=2 j lnrj2(;1)Z +1 ln2(;1) s0rdr =ds:s2kAK IZWESTNO IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, POSLEDNIJINTEGRAL SHODITSQ PRI 2( ; 1) < ;1, TO ESTX < 1=2. (sTROGOGOWORQ, SLU^AJ = 0, TO ESTX KOGDA C = 0, RASSMATRIWAETSQOTDELXNO.)B) w OBLASTI = B22 (0)nB12=2(0) U FUNKCII u = j2 ln rj I EEPROIZWODNYH OSOBENNOSTI MOGUT BYTX LIX NA MNOVESTWE r = 1,GDE LOGARIFM OBRA]AETSQ W NOLX.tAK KAK ln r = ln(1+(r ; 1)) (r ; 1) PRI r ! 1, TO INTEGRALZ Z22 2 2 2ln(x + y ) dxdy = 2SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAZ21=21=2j2 lnrjrdrjr ; 1j2dr < +1TO ESTX PRI > ;1=2.

w \TOM SLU^AE u 2 L2 ().iSSLEDUEM, KOGDAZ 2 j lnrj2(;1)Zjruj2dxdy = 2C 21=2rdr < +1:73pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ PRI r ! 1 \KWIWALENTNA jr ; 1j2(;1),PO\TOMU INTEGRAL SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA2( ; 1) > ;1 TO ESTX > 1=2:(nA \TOT RAZ OTDELXNO RASSMATRIWAEMYJ SLU^AJ = 0 \TOMUNERAWENSTWU NE UDOWLETWORQET, NO W OTWET DOLVEN BYTX WKL@^EN.)oTWET: A) < 1=2 B) > 1=2 ILI = 0.zADA^A 1.15.pRI KAKIH FUNKCIQ f(x) = jxj cos x PRINADLEVIT PRO;STRANSTWU H 1 (;1 1) ?rEENIE.iZWESTNO, ^TO H 1 (a b) SOSTOIT IZ FUNKCIJ f(x) 2 H 1(a b) TAKIH, ^TO f(a) = f(b) = 0 (SM.

ZADA^U 1.11). tAK KAK FUNKCIIIZ H 1(a b) NEPRERYWNY, TO H 1(a b) SOSTOIT IZ NEPRERYWNYH NA(a b) FUNKCIJ, TAKIH, ^TO f(a) = f(b) = 0 DLQ KOTORYH KONE^NAIH H 1{NORMA.1) f(x) NEPRERYWNA NA (0 1) PRI > 0:2) uSLOWIQ NA TOGO, ^TO f(1) = 0 WYGLQDQT TAK:Z = 2 + kk2 :3) w OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI x0 INTERWALA (;1 1) ZA ISKL@^ENIEM, WOZMOVNO, x0 = 0 f(x) QWLQETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, PO\TOMU EE H 1{NORMA KONE^NA W OKRESTNOSTIKAVDOJ TAKOJ TO^KI. oSTALOSX ISSLEDOWATX TO^KU x0 = 0 I KONCEWYE TO^KI.tAK KAK f(x) jxj PRI x !Z0 TO f(x) 2ZH 1(; ) > 0 1 ESLI SHODQTSQ INTEGRALY jxj2dx I jxj2;2dx ^TO00IMEET MESTO PRI > 21 :dALEE, PRI x ! 1 ; 0 FUNKCIQ f(x) cos x: sDELAEM ZAMENUz = 1 ; x: tOGDA PRI x ! 1 ; 0 (z ! 0+0), U^ITYWAQ NAJDENNYE74ZNA^ENIQ IMEEM, ^TOf(z) = cos(;z + ) = cos z cos + sin z sin =hi= (;1)k sin 2 + k z Ck zCk = (;1)k 2 + k :tAKIM OBRAZOM, f(x) 2 H 1 (1 ; 1) >Z0 1 ESLIZ f(z) 2H 1 (0 ) TO ESTX SHODQTSQ INTEGRALY Ck2 z 2dz I Ck2 dz: iH00SHODIMOSTX IMEET MESTO PRI WSEH ZNA^ENIQHk:pODWODQ ITOG, POLU^IM, ^TO f(x) 2 H 1 (;1 1) PRI; > 21 = 2 1 + 2k k 2 :ZzADA^A 1.19.pUSTX Q = B13 (0).

sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TOju(0)j 6 C kukH 1(Q) 8u(x) 2 C 1(Q) ?RrEENIE. uTWERVDENIENEWERNO. pUSTX u(x) | PROIZWOLXNAQ1FUNKCIQ IZ C0 (Q), NE RAWNAQ 0 W NA^ALE KOORDINAT, PRODOLVENNAQ NULEM WNE Q. tAKIM OBRAZOM, u 2 C 1 ( 3), u(x) = 0 PRIjxj > 1, u(0) 6= 0.rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ un(x) = u(nx).iMEEM un 2 C 1 (Q), un (x) = 0 PRI jxj > 1=n, un (0) = u(0),run(x) = nru(nx). iZ NERAWENSTWA fRIDRIHSA DLQ FUNKCIIun(x) 2 C01 (Q), POLU^AEMZkunk2H 1 (Q)=Q(jun (x)j2 + jrun(x)j2)dx6 (C(Q) + 1)Zjrun(x)j2dxQZ= (C(Q) + 1) n2jxj<1=njru(nx)j2dx:75sDELAEM ZAMENU PEREMENNYH y = nx, dx = dy=n3 (TAK KAK RAZMERNOSTX PROSTRANSTWA RAWNA TREM):C(Q) + 1 Z jru(y)j2dy 6 C(Q) + 1 kuk2kun k2H 1 (Q) 6H 1 (Q) :nnjyj<1tAKIM OBRAZOM, POSTROENA POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ fung,un 2 C 1 (Q), DLQ KOTORYH ZNA^ENIE W NULE POSTOQNNO I NE RAWNONUL@, I PRI \TOM kunkH 1 (Q) ! 0 PRI n ! 1.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)