Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 5
Текст из файла (страница 5)
pRI KAKIH = const I '(x) SU]ESTWUET FUNKCIQ u(x t) 2+ + ) QWLQ@]AQSQ REENIEM W + + SLEDU@]EJ ZA-C 2(DA^I:(ut + ux )x=0 = 0 ut=0 = '(x)nAJTI \TU FUNKCI@.utt = uxxRRRRR3.26. pRI KAKIH ' 2 C 2(u 2 C 2 ( 2) W 2 ZADA^I:Rut t=0 = 0 ?) I 2 C 2( ) SU]ESTWUET REENIEut=x = '(x)ut t=x = (x)?3.27. pRI KAKIH A I ! SU]ESTWUETW + + KRAEWOJ ZADA^I:REENIE u 2 C 2(utt = uxxutt = uxxux=0 = cos !tnAJTI \TO REENIE.3.28. w ^ETWERTI PLOSKOSTI1utt = 4 uxxut=0 = A e;x2RRRR+ +)utt=0 = 0 ?RASSMATRIWAETSQ ZADA^A+ +(ux ; u) x=0 = (t) u t=0 = '(x) ut t=0 = 0:A) pUSTX '(x) I (t) | 2{PERIODI^ESKIE FUNKCII, RAWNYENUL@ NA OTREZKE =2 3=2].
nAJTI I NARISOWATX MAKSIMALXNOEMNOVESTWO, NA KOTOROM ; u(x t) ZAWEDOMO RAWNA 0.; FUNKCIQB) pUSTX '(x) = cos+ (x) , GDE f+ (x) = max(0 f(x)) : nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE NA FUNKCI@ (t) I KONSTANTU > 0, PRI KOTORYH SU]ESTWUET KLASSI^ESKOE REENIE\TOJ ZADA^I.pRI KAKIH k, I SU]ESTWUET REENIE u(x t) 2 C 2(D)W D = f(x t) j kt 6 x < +1 0 6 t < +1g SLEDU@]EJ ZADA^Iutt = uxx ux=kt = t ut=0 = utt=0 = 0?3.29.eDINSTWENNO LI ONO?33i]ETSQ REENIE u(x t) ZADA^Iutt = uxx ut=x = '(x) 2 C 2(0 1])ut=2x = (x) 2 C 2 (0 1=2])3.30.R0 6 x 6 10 6 x 6 1=2:zDESX '(k) (0) = (k) (0) = 0 DLQ k = 0 1 2.A) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEH ZNA^ENIJ(x t) 2 2, DLQ KOTORYH ODNOZNA^NO OPREDELENO REENIE u(x t)\TOJ ZADA^I.B) nARISOWATX \TO MNOVESTWO.W) nAJTI REENIE u(x t) RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I.oGRANI^ENNAQ STRUNA.
mETOD fURXEzADA^A {TURMA{lIUWILLQrASSMOTRIM SPEKTRALXNU@ ZADA^U DLQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA {TURMA{lIUWILLQ@ @L := @x p(x) @x ; q(x)uGDE q > 0 NA 0 l] I p(x) > p0 > 0 NA 0 l], SLEDU@]EGO WIDA:8PRI x 2 (0 1)< Lu] = ;uujx=0 = 0: ujx=l = 0:tEOREMA.1) oPERATOR L QWLQETSQ SIMMETRI^ESKIM OTRICATELXNO OPREDELENNYM, T.E.(Lu] v)L2 (0 1) = (u Lv])L2 (0 1)LXk ] = ;k Xk k > 0:pRI \TOM, jk j ;! +1, ESLI k ! +1.2) eSLI Lu] = u Lv] = v, TO u I v | LINEJNO ZAWISIMYESLI Lu] = u Lv] = v I 6= , TO (u v)L2 (0 1) = 0.3) mNOVESTWO fXk g OBRAZUET POLNU@ ORTOGONALXNU@ SISTEMU WL2 (0 1).34mETOD fURXEiZU^ENIE SOBSTWENNYH KOLEBANIJ OGRANI^ENNOJ STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI PRIWODIT K ZADA^Eutt = uxx x 2 (0 l) t > 0 ujx=0 = ujx=l = 0 (7)u t=0 = '(x)ut t=0 = (x)(8)|TO TAK NAZYWAEMAQ SMEANNAQ, ILI NA^ALXNO{KRAEWAQ, ZADA^ADLQ URAWNENIQ STRUNYW KLASSE; . rEENIE \TOJ; ZADA^I I]ETSQFUNKCIJ u(x t) 2 C 2 (0 l) + \ C 1 0 l] + .kRAEWYE USLOWIQ W (7) W KAVDOM IZ KONCOW x = 0 I x = lMOGUT BYTX ZAMENENY (NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA) NA USLOWIQODNOGO IZ TREH WIDOW, UKAZANNYH DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY.
sOOTWETSTWENNO, DLQ SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGO REENIQZADA^I (7){(8) NEOBHODIMO WYPOLNENIE USLOWIJ SOGLASOWANIQ WDWUH TO^KAH: (0 0) I (l 0).rEENIE NA^ALXNO{KRAEWOJ ZADA^I NA OTREZKE, KAK PRAWILO, STROITSQ STANDARTNYM METODOM fURXE W WIDE RAZLOVENIQ WRQD PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM Xk (x) SOOTWETSTWU@]EJ ZADA^I{TURMA{lIUWILLQ. w SLU^AE ODNORODNYH KRAEWYH USLOWIJ I III RODA NA OBOIH KONCAH BAZISNYE FUNKCII Xk IME@T WID:Xk (x) = sin kx(k2 )WSLU^AEu=ux=0x=l = 0lWSLU^AEu=uX0 (x) 1 Xk (x) = cos kxxxx=0x=l = 0lRRN; k ; 21 xXk (x) = sin; l k ; 21 xXk (x) = coslW SLU^AEux=0 = uxx=l = 0W SLU^AE ux x=0 = ux=l = 0nAPRIMER, REENIE ZADA^I (7){(8) DAETSQ FORMULOJ1 Xkatkat kxu(x t) =Ak cos l + Bk sin l sin lZl2 Z l (x) sin kx dx:Ak = 2l '(x) sin kxdxB=k 2kall00k=135iNTEGRALOM \NERGII DLQ RASSMATRIWAEMOJ SMEANNOJ ZA-DA^I NAZYWAETSQ FUNKCIQZ l h1E(t) =02i2(x t) + a u2 (x t) dx:u2 t2 xw SLU^AE, ESLI W OBOIH KONCAH x = 0 I x = l IME@TSQ ODNORODNYE KRAEWYE USLOWIQ I ILI II RODA, WYPOLNENO \NERGETI^ESKOETOVDESTWO:E(t) constDLQ L@BOGO KLASSI^ESKOGO REENIQ u(x t) \TOJ ZADA^I.3.31.pUSTX u(x t) | REENIE WRR+ +ZADA^I:u =uux x=0 = 0( tt 3 xxut=0 = sin x < x < 2ut t=0 = 0:0x 2= ( 2)RA) nARISOWATX GRAFIK u(x 2).B) tOT VE WOPROS DLQ SLU^AQ, KOGDA URAWNENIE RASSMATRIWAETSQ DLQ x 2 0 2], t 2 + I STAWITSQ DOPOLNITELXNOE USLOWIEux=2 = 0.W) tOT VE WOPROS DLQ SLU^AQ, KOGDA POSLEDNEE USLOWIE ZAMENQETSQ USLOWIEM ux x=2 = 0.3.32.
uKAZATX WSE ZNA^ENIQ POSTOQNNYH , I , PRI KOTORYHSU]ESTWUET REENIE u 2 C 2(Q) SMEANNOJ ZADA^Iutt = uxxux=0 = ux= = 0ut=0 = x4 + x3 + sin xut t=0 = cos xW KWADRATE Q = 0 ] 0 ]. nAJTI \TO REENIE.36RpUSTX u(x t) | REENIE W 0 1] + SMEANNOJ ZADA^Iutt = 4uxxux=0 = ux=1 = 0ut=0 = 4 sin3 xut t=0 = 30x(1 ; x):Z 1A) nAJTI f( 13 ), GDE f(t) =u2t (x t) + 4u2x (x t) dx.0B) nAJTI u(x 2).3.33.RpUSTX u(x t) | REENIE W 0 ] + SMEANNOJ ZADA^Iutt = uxx ux=0 = ux= = 0 ut=0 = sin100 x utt=0 = 0:3.34.wERNO LI, ^TO jut(x 2 )j > 100 NA MNOVESTWE, MERA KOTOROGOBOLXE 1?RpUSTX u(x t) | REENIE W 0 1] + SMEANNOJ ZADA^Iutt = uxx ux=0 = ux=1 = 0 ut=0 = 0 utt=0 = x2(1 ; x):Z 1nAJTI t!limu2t (x t) + u2x (x t) dx.+13.35.R0pUSTX u(x t) | REENIE W 0 1] + SMEANNOJ ZADA^Iutt = uxx ux=0 = ux=1 = 0 ut=0 = 0 ut t=0 = x2(1 ; x)2 :Z 1=2 2(x t) + u2 (x t) dx.nAJTI t!limutx+13.36.03.37.pUSTX u(x t) | REENIE W 0 ] R+SMEANNOJ ZADA^I utt = uxx + sin x cos 5x sin !tu x=0 = u x= = 0 u t=0 = utt=0 = 0:nAJTI WSE !, DLQ KOTORYH sup ju(x t)j < +1.Q37RpUSTX u(x t) | REENIE W 0 1] + SMEANNOJ ZADA^Iutt = uxx ux=0 = 0 ux=1 = sin t ut=0 = 0 utt=0 = x3.38.nAJTI WSE , DLQ KOTORYH sup ju(x t)j < +1.RQ3.39.
A) nAJTI; WSE k > 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII'(x) 2 C 1 (0 ) SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE REENIE W 0 ] +ZADA^Iutt = 9uxxux=0 = (ux ; ku)x= = 0u t=0 = 0utt=0 = '(x):; B) dLQ k = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 (0 l) , DLQKOTORYH REENIE u(x t) \TOJ ZADA^I OGRANI^ENO.; ;3.40.
pUSTX u(x t) 2 C 2 (0 ) (0 +1) \ C 1 0 ] 0 +1)| REENIE W 0 ] + KRAEWOJ ZADA^I:utt = uxx ux=0 = f(t) ux= = 0 ut=0 = utt=0 = 0Rf(t) | GLADKAQ FUNKCIQ I f(t)! 0 PRI t ! 1: mOVET LIREENIE \TOJ ZADA^I NEOGRANI^ENNO WOZRASTATX PO WREMENI, TOESTX PO PEREMENNOJ t?384 uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPAkRAEWAQ ZADA^ApERWOJ SMEANNOJ, ILI NA^ALXNO{KRAEWOJ, ZADA^EJ DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NAZYWAETSQZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x t) 2 C 2(QT ) \ C(Q T ), T > 0ILI T = +1, UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQMut = a2x uux2@ = 0ut=0 = '(x) 2 C()GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ. kRAEWOE USLOWIE MOVET BYTX INEODNORODNYM.eSLI WMESTO USLOWIJ NA ZNA^ENIQ FUNKCII u PRI x 2 @ZADANY ZNA^ENIQ EE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ ILI LINEJNOJ KOMBINACII SAMOJ FUNKCII I EE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ, ZADA^ANAZYWAETSQ SOOTWETSTWENNO II I III KRAEWOJ.pRINCIP MAKSIMUMA W CILINDRE. eSLI FUNKCIQ u(x t) 2C 2(QT ) \ C(Q T ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI WCILINDRE QT , TO SWOE MAKSIMALXNOE (I MINIMALXNOE) ZNA^ENIEW QT ONA PRINIMAET LIBO NA NIVNEM OSNOWANII CILINDRA t = 0,LIBO NA EGO BOKOWOJ POWERHNOSTI x 2 @.rEENIE DANNOJ ZADA^I, KAK PRAWILO, STROITSQ METODOM fURXE.
nAPRIMER, REENIE ODNOMERNOJ PO PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ x 2 (0 l) ZADA^Iut = a2 uxxux=0 = ux=l = 0ut=0 = '(x)DAETSQ FORMULOJ1X;u(x t) =k=1Ck eka 2 t kxlsinlZl2Ck = l '(x) sin kxl dx:0394.1. mOVET LI OTLI^NOE OT POSTOQNNOJ REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI PRINIMATX NAIMENXEE ZNA^ENIE WO WNUTRENNEJ TO^KE?4.2. pUSTX u 2 Cx2 t1(Q) | REENIE W Q := 0 1] 0 1] ZADA^Iut = uxxux=0 = ux=1 = 0 ut=0 > 0:Z1mOVET LI FUNKCIQ f(t) := u2 (x t) dx IMETX MAKSIMUM WNUT0RI INTERWALA (0 1)?4.3. pUSTX u 2 Cx2 t1(Q) \ C(Q) | REENIE W Q := (;1 1) (0 1]URAWNENIQut = uxx + q(x t) u GDE q 2 C(Q):oBOZNA^IM M := max u m := maxu, GDE ; := Q n Q.;QwOZMOVNO LI, ^TO M > m, ESLI:A) q(x t) 0 B) q(x t) > 0 W) q(x t) < 0, M > 0?4.4.
pUSTX Q := (0 1) (0 1]. sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u(x t)SO SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: u 2 Cx2 t1(Q) \ C(Q)ut = uxx (x t) 2 Qu t=0 = 2 sinxut=1 = 3 sin xux=0 = sin tux=1 = sin t + 2 sintR0 6 x 6 10 6 t 6 1?pUSTX Q = f(x t) 2 2 j x2 +t2 6 1g: sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u 2 C 2(Q), UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ut = uxx + 1 W Q I USLOWI@ xux = tu NA @Q?4.5.pUSTX FUNKCIQ u(x t) 2 Cx2 t1(Q) \ C 3(Q) QWLQETSQ REENIEM W Q := (0 3) (0 1] KRAEWOJ ZADA^Iput = uxx ux=0 = e;t=4 ux=3 = 2e;t=64 ut=0 = x + 14.6.wERNO LI, ^TO u(x t) W Q UBYWAET PO t?40pUSTX FUNKCII uk (x t) 2 Cx2 t1(Qk ) \ C(Qk ), k = 1 2, QWLQ@TSQ REENIQMI W Qk := QT(;k k) KRAEWYH ZADA^(uk )t = (uk )xxuk x=k = 0uk t=0 = '(x) jxj 6 k:4.7.zDESX ' 2 C 1(;2 2]) '(x) > 0 PRI jxj 6 1 I '(x) = 0 PRI1 6 jxj 6 2 ' 6 0.dOKAZATX, ^TO u1 (x t) < u2 (x t) 8(x t) 2 ;1 1] (0 T ]:4.8. pUSTX u 2 Cx2 t1(Q) \ C(Q) | REENIE W Q := Q1(; )KRAEWOJ ZADA^Iut = uxxux= = 0ut=0 = sin2 x:ZnAJTI t!limu(x t) dx:+1 0; 4.9.
pRI KAKIH USLOWIQH NA FUNKCI@ ' 2 C01 (0 1) L@BOEREENIE u(x t) W POLUPOLOSE Q1(0 1) ZADA^IA) ut = uxxu x=0 = ux x=1 = 0ut=0 = '(x)B) ut = uxxuxx=0 = ux x=1 = 0ut=0 = '(x)OBLADAET SWOJSTWOM u(x t) ! 0 PRI t ! +1?4.10. pUSTX u 2 Cx2 t1(Q)\C(Q) | REENIE W Q := Q1(0 1) ZADA^Iut = uxx + uu x=0 = u x=1 = 0u t=0 = '(x):nAJTI WSE TAKIE 2 , ^TO DLQ L@BOJ NA^ALXNOJ FUNKCII ' 2C(0 1]), '(0) = '(1) = 0, WYPOLNENORu(xt!lim+1t) = 08x 2 01]:pUSTX u(x t) | REENIE W Q1(0 ) KRAEWOJ ZADA^Iut = uxxu x=0 = u x= = 0ut=0 = '(x)GDE ' 2 C 1(0 ]), '(0) = '() = 0. uKAZATX KLASS WSEH TAKIHFUNKCIJ '(x), DLQ KOTORYH4.11.t u(xet!lim+1t) = 08x 2 0]:41pUSTX u(x t) | REENIE W POLUPOLOSE Q1(0 3) ZADA^Iut = uxxux=0 = ux=3 = 0ut=0 = '(x)GDE ' 2 C 1(0 3]), '(0) = '(3) = 0.
uKAZATX KLASS WSEH TAKIHFUNKCIJ '(x) DLQ KOTORYHptA) SU]ESTWUET KONE^NYJ t!limeu(x t)+1tB) SU]ESTWUET KONE^NYJ t!lime u(x t)+1W) SU]ESTWUET KONE^NYJ t!limet2 u(x t):+14.12.pUSTX u(x t) | REENIE W Q1(0 =2) KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx ux=0 = 1 ux==2 = 4 u(x 0) = cos4 x + 4 sin5 x:nAJTI t!limu(x t).+14.13.pUSTX u 2 Cx2 t1(Q) \ C(Q) | REENIE W Q := Q1 , GDE = (0 1) (0 1), ZADA^I4.14. ut = ux1 x1 + ux2 x2u x1 =0 = u x2 =0 = 0 u x1 =1 = x2 ux2 =1 = x1:nAJTI t!limu(x1 x2 t).+14.15.pUSTX u(x t) | REENIE W POLUPOLOSE Q1(0 l) ZADA^Iut = uxxu x=0 = u x=l = tu t=0 = '(x)GDE ' 2 C 1(0 l]), '(0) = '(l) = 0.nAJTI t!limt;1 u(x t):+14.16.
pUSTX FUNKCII u1 I u2 UDOWLETWORQ@T SOOTNOENIQM(uk )t = (uk )xx0 6 x 6 0 6 t < +12u= sin x ; sin4 x (k = 1 2) k t=0u1 x=0 = u1 x= = 0 (u2)x x=0 = (u2 )x x= = 0 0 6 t < +1:pRI KAKIH SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOu (xt!lim+1 142t) < t!limu (x t)+1 28x 2 0]?pUSTX FUNKCIQ u(x t) | REENIE W Q1(0 2) ZADA^Iut = uxxuxx=0 = ux x=2 = 3ut=0 = x3 ; 3x2 + 3x:4.17.nAJTI t!limu(x t).+1pUSTX FUNKCIQ u(x t) | REENIE W Q1(0 2) ZADA^Iut = uxxux x=0 = 1 uxx=2 = 13ut=0 = x3 + x:4.18.nAJTI t!limu(x t).+14.19. A) nAJTI; WSE l > 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII'(x) 2 C 1 (0 l) SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE REENIE W Q1(0 l)KRAEWOJ ZADA^Iut = 2uxxux=0 = (ux ; 3u)x=l = 0ut=0 = '(x):; B) dLQ l = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 (0 l) , DLQKOTORYH REENIE \TOJ ZADA^I OGRANI^ENO.4.20.
A) fUNKCIQ u(x t) 6 const UDOWLETWORQET URAWNENI@ut = uxxW OBLASTI T = f(x t) j 0 < t < T 0 < x < 5 ; exp(;t)g.dOKAZATX, ^TO MAKSIMUM \TOJ FUNKCII NA T NE MOVET DOSTIGATXSQ NI WO WNUTRENNIH TO^KAH OBLASTI T , NI PRI t = T .B) pUSTX u(x t) QWLQETSQ REENIEM ZADA^Iut = uxx W OBLASTI t > 0 0 < x < 5 ; exp(;t)(9)ux=0 = ux=5;exp(;t) = 0 ut=0 = '(x); GDE '(x) 2 C01 (0 4) . dOKAZATX, ^TO ju(x t)j ;< Ce;t=4 .W) pRIWESTI PRIMER FUNKCII '(x) 2 C01 (0 4) TAKOJ, ^TODLQ REENIQ u(x t) ZADA^I (9) WYPOLNENOmaxx2(05;exp(;t))u(x t) > e;t8t > 0W PREDPOLOVENII, ^TO TAKOE REENIE SU]ESTWUET.434.21.pUSTX u(x t) | REENIE W Q1(0 ) ZADA^Iut = uxxux=0 = ux x= = 0ut=0 = '(x)GDE '(0) = '0 () = 0.A) dOKAZATX, ^TO sup ju(x 1)j 6 sup j'(x)j:B) wERNO LI, ^TO0<x<0<x<sup ju(x 1)j 6 12 sup j'(x)j ?0<x<0<x<pUSTX FUNKCIQ u(x t) 2 C 2(Q) \ C(Q) QWLQETSQ REENIEM W Q := QT KRAEWOJ ZADA^Iut = u + f(x)ux2@ = 0ut=0 = 04.22.GDE f(x) 6 0 PRI x 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
