Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 10
Текст из файла (страница 10)
A)Z 10Z 10u2t (x t) + 4u2x (x t) dx.f (t) =2ut(x t)utt(x t) + 8ux (x t)utx(x t) dx =0= f IZ URAWNENIQ utt = 4uxx g ==8Z 1ut (x t)uxx(x t) + ux (x t)utx(x t) dx =0x=1= fPO ^ASTQMg = 8ut(x t)ux(x t)x=0 ;;8Z10utx(x t)ux(x t)dx + 8Z10ux(x t)utx(x t)dx = 0PODSTANOWKA RAWNA NUL@ IZ GRANI^NYH USLOWIJ:ux=0 = ux=1 = 0 =) ut x=0 = utx=1 = 0:tAK KAK f 0 (t) = 0 TO f(t) const, IZ 1; 122f3= f(0) =0ut (x 0) + ux(x 0) dx:dLQ TOGO, ^TOBY NAJTI ux (x 0) PRODIFFERENCIRUEM NA^ALXNOEUSLOWIE u(x 0) = 4 sin3 x PO x. pOLU^IM; 1 Z 1 2222f3=0(30x(1 ; x)) + 4(12 sin x cos x) dx = 30 + 36 :B) nAJDEM OB]EE REENIE ZADA^I METODOM fURXE:1 Xu(x t) =n=1An cos 2nt + Bn sin 2nt sin nx:tOGDA REENIE u(x t) 1{PERIODI^NO PO WREMENI, I1 Xu(x 2) ==n=11Xn=1An cos 4n + Bn sin 4n sin nx =An sin nx = u(x 0) = 4 sin3 x:85zADA^A 3.39.RA) nAJTI WSE k > 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII'(x) 2 C 1 ((0 )) SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE REENIE W 0 ] +ZADA^Iutt = 9uxxux=0 = (ux ; ku)x= = 0u t=0 = 0utt=0 = '(x):B) dLQ k = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 ((0 l)), DLQKOTORYH REENIE u(t x) \TOJ ZADA^I OGRANI^ENO.rEENIE.
A) rAZDELQQ PEREMENNYE, POLU^AEM, ^TO REENIE ZA-DA^I I]ETSQ W WIDE RQDAu(t x) =1Xj =1Tj (t)Xj (x)GDE SISTEMA FUNKCIJ Xj (x) 6 0 | REENIE ZADA^I {TURMA{lIUWILLQXj00 (x) = j Xj (x)Xj (0) = 0 Xj0 () ; kXj () = 0 (17)A FUNKCII Tj (t) | REENIQ ZADA^IT 00 = 9j TjjTj (0) = 0 Tj0 (0) =Z0.Z '(x)Xj (x)dx0Xj2 (x)dx:(18)rASTU]IE PO t REENIQ U ZADA^I (18) MOGUT BYTX LIX WSLU^AE j > 0, PRI^EM OBQZATELXNO ONI I BUDUT, ESLI TOLXKOTj0 (0) 6= 0.
tAKIM OBRAZOM, NEOBHODIMO PONQTX, KOGDA U ZADA^I{TURMA{lIUWILLQ (17) BYWA@T NEOTRICATELXNYE SOBSTWENNYEZNA^ENIQ j .nENULEWOE REENIE Xj (x) ZADA^I (17) S j = 0 S TO^NOSTX@DO UMNOVENIQ NA KONSTANTU IMEET WID Xj (x) = x (KAK LINEJNAQFUNKCIQ S NULEWYM ZNA^ENIEM W NULE) I SU]ESTWUET TOLXKO WSLU^AE, ESLI \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET GRANI^NOMU USLOWI@ WTO^KE , TO ESTX1 ; k = 086()k = 1=:w SLU^AE j = !2 > 0, ! > 0, WWIDU USLOWIQ Xj (0) = 0\TO REENIE IMEET WID Xj (x) = sh !x (OPQTX-TAKI S TO^NOSTX@DO UMNOVENIQ NA KONSTANTU), I ONO SU]ESTWUET W SLU^AE, ESLISLEDU@]EE URAWNENIE OTNOSITELXNO ! IMEET REENIE! ch ! ; k sh ! = 0()k th ! = !(19)^TO, W SWO@ O^EREDX, BUDET, ESLI PROIZWODNAQ FUNKCII f(!) =k th ! W NULE MENXE 1, TO ESTX k > 1.
zAMETIM, ^TO W SILU STROGOJ WYPUKLOSTI WWERH FUNKCII f(!) NA POLOVITELXNOJPOLUOSI URAWNENIE (19) IMEET NE BOLEE ODNOGO REENIQ ! > 0.sLEDOWATELXNO, NEOGRANI^ENNOE PO WREMENI REENIE ISHODNOJ ZADA^I SU]ESTWUET PRI k > 1=.B). eSLI k = 1, TO, KAK UKAZANO WYE, ZADA^A {TURMA{lIUWILLQ (17) IMEET ROWNO ODNO POLOVITELXNOE SOBSTWENNOEZNA^ENIE 1 > 0, I REENIE u(t x) BUDET OGRANI^ENO TOGDAI TOLXKO TOGDA, KOGDA SOOTWETSTWU@]AQ SOBSTWENNAQ FUNKCIQX1 (x) NE BUDET U^ASTWOWATX W RAZLOVENII \TOGO REENIQ, TOESTX T10 (0) = 0.
|TO OZNA^AET, ^TOZ0'(x)X1 (x)dx = 0:zADA^A 4.9.; pRI KAKIH USLOWIQH NA FUNKCI@ ' 2 C01 (0 1) L@BOE REENIEu(t x) ZADA^I8 u = u x 2 (0 1) t > 08 u = u x 2 (0 1) t > 0< t xx < t xx A) : ux=0 = uxx=1 = 0B) : ux x=0 = uxx=1 = 0ut=0 = '(x)ut=0 = '(x)OBLADAET SWOJSTWOM u(t x) ! 0 PRI t ! +1?rEENIE.A) nAJDEM REENIE ZADA^I METODOM fURXEu(t x) =1Xn=0;2 n+ 1 2 t'n e ( 2 ) sin n + 12 x87GDERAZLOVENIQFUNKCII '(x) PO BAZISU 'n; | KO\FFICIENTYsin n + 21 x n = 0 1 ::: : sLEDOWATELXNO, u(t x);;!0 PRIt!11L@BOJ FUNKCII '(x) 2 C0 (0 1):B) pRI GRANI^NYH USLOWIQH WTOROGO RODA REENIE IMEET WID1X;2 n2 tu(t x) = '0 +n=1'n ecos(nx)GDE 'n | KO\FFICIENTY fURXE RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) PO BAZISU 1 cos(nx) n=1 2 ::: : sLEDOWATELXNO, tlim!1 u(t x) = '0A KO\FFICIENT '0 =0 PRI SLEDU@]EM USLOWII NA FUNKCI@ '(x) :Z10'(x) dx = 0:s TO^KI ZRENIQ FIZIKI \TO USLOWIE OZNA^AET, ^TO PREDELXNAQ TEMPERATURA STERVNQ S TEPLOIZOLIROWANNYMI KONCAMI RAWNA SREDNEMU ZNA^ENI@ NA^ALXNOJ TEMPERATURY.
tEMPERATURASTERVNQ STREMITSQ K NUL@ S TE^ENIEM WREMENI TOLXKO W TOMSLU^AE, ESLI SREDNEE ZNA^ENIE NA^ALXNOJ TEMPERATURY RAWNONUL@.zADA^A 4.21.pUSTX u(t x) | REENIE W Q1(0 ) ZADA^Iut = uxxu x=0 = ux x= = 0GDE '(0) = '0 () = 0.A) dOKAZATX, ^TO sup ju(1 x)j 6 sup0<x<ut=0 = '(x)0<x<j'(x)j:B) wERNO LI, ^TO sup ju(1 x)j 6 21 sup j'(x)j ?0<x<0<x<rEENIE.
A). pRODOLVIM FUNKCI@ u(t x) ^ETNYM OBRAZOM ^EREZ TO^KU NA MNOVESTWO x 2 ( 2), TO ESTX POLOVIM u~(t x) =u(t 2 ; x) PRI x 2 ( 2). pOSTROENNAQ FUNKCIQ u~(t x) QWLQETSQ REENIEM KRAEWOJ ZADA^Iu~t = u~xxx 2 (0 2) t > 0u~jx=0 = u~jx=2 = 0 u~jt=0 = '(x)~88GDE FUNKCIQ '(x)~ QWLQETSQ ANALOGI^NYM PRODOLVENIEM '(x) NAOTREZOK 0 2]. w SILU PRINCIPA MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OGRANI^ENNOJ OBLASTI, REENIE u~(t x) PRINIMAET MAKSIMALXNOE PO MODUL@ ZNA^ENIE PRI t = 0 (TAK KAK u~RAWNO 0 NA BOKOWOJ GRANICE x = 0 I x = 2). iTAK,sup ju(1 x)j = sup ju~(1 x)j 6 sup j'(x)~ j = sup j'(x)j:0<x<0<x<20<x<20<x<B). nEWERNO. pRIMER: '(x) = sin(x=2) SOOTWETSTWU@]EE REENIE u(t x) = e;t=4 sin(x=2), TOGDAsup ju(1 x)j = e;1=4sup j'(x)j = 10<x<0<x<e;1=4 > 1=2, TAK KAK e < 24.zADA^A 4.33.pUSTX u(x t) | REENIE Wut = 4uxxnAJTI t!limu(x t):+1zADA^A 4.34.pUSTX u(x t) | REENIE Wut = uxxnAJTI t!limu(x t):+1RR+ZADA^I kOI2 + sin xut=0 = x1 +2x2 :RR+ ZADA^I kOIu t=0 = arcctg x:RR R RzADA^A 4.35.pUSTX u(x t) | OGRANI^ENNOE REENIE W + ZADA^I kOIut = uxxut=0 = '(x) 2 C( ) \ L1 ( ):1 Z l '(x) dx = A:nAJTI t!limu(0t),ESLIlim+1l!+1 l;l89rEENIE ZADA^ 4.33{4.35 OSNOWANO NA TEOREMAH O STABILIZACII:R RRpUSTX u(x t) | OGRANI^ENNOE REENIE ZADA^I kOI:(ut = uxxW +u t=0 = '(x)x2R R'(x) 2 C( ) \ L1 ( ): tOGDA1.
eSLIlim '(x) = Alim '(x) = Bx!+1(20)x!;1TO t!limu(x t) = A +2 B :+12. eSLIZ1lim'(x)dx = Al!+1 ll(21);lTO t!limu(x t) = A2 :+13. eSLI '(x) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO lim u(x t) = '0t!+1GDE '0 | NULEWOJ KO\FFICIENT RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) W RQDfURXE, TO ESTX PROSTRANSTWENNOE SREDNEE FUNKCII '(x).dOKAZATELXSTWA.pREDSTAWIM ' W WIDE SUMMY SWOEJ ^ETNOJ I NE^ETNOJ SOSTAWLQ@]IH '+ = '(x) +2'(;x) '; = '(x) ;2'(;x) : w SILUFORMULY pUASSONA POLU^IM, ^TO1 ( ; x)2 1 Z1.u(x t) ='+ () exp;4td+ ( ; x)2 ; xZ1' () exp ; 4t+ pd = = p =2 t ;1 ;2 t190p2 t ;1Zp1=p'+ (x + 2 t) exp(;2 )d+t ;11Zp1+p'; (x + 2 t) exp(;2 )d =t ;11ZZpp112=p'+ (2 t) exp(; )d+ p'; (2 t) exp(;2 )d+t ;1t ;1111 Z h' (x + 2pt) ; ' (2pt)i exp(;2 )d++t ;1 ++p1Z hpp i+ p1'; (x + 2 t) ; '; (2 t) exp(;2 )d:t ;11wTOROJ INTEGRAL RAWEN NUL@, TAK KAK BERETSQ OT NE^ETNOJFUNKCII PO SIMMETRI^NOMU PROMEVUTKU.
tRETIJ I ^ETWERTYJDOPUSKA@T OCENKU PO MODUL@ WELI^INAMIpp phx i;' (2pt ): := ' (x+2 t );' (2 t ) = ' 2 t + p2 t~ = f(kx) k = const 6=eSLI FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA, TO f(x)~~ x ! 0:0 | TOVE NEPRERYWNA, TO ESTX f(x + x) ! f(x)wYBEREM W KA^ESTWEf(x) L@BU@ IZ FUNKCIJ ' (x), W KA^ESTWEpx . tAKIMk | WELI^INU 2 t, W KA^ESTWE x | WELI^INU p2txOBRAZOM, ! 0 PRI p ! 0 TO ESTX PRI t ! 1:2 trASSMOTRIM OSTAWIJSQ PERWYJ INTEGRAL. oN MOVET BYTXPREOBRAZOWAN KAK1pp1 Z '(2 t) + '(;2 t) A + B A+Bpt ;12;2exp(;2 )d +2 :91w \TOM WYRAVENII INTEGRAL STREMITSQ K NUL@ W SILU (20)PRI t ! 1: tAKIM OBRAZOM, OKON^ATELXNO POLU^IM, ^TOlim u(x t) = A +2 B :t!+1Zx2.
oBOZNA^IM F(x) =0'()d: uSLOWIE (21) OZNA^AET, ^TOlim F (l) ;l F (;l) = A:(21 )l!1oBOZNA^IM F+ (x) I F; (x) ^ETNU@ I NE^ETNU@ SOSTAWLQ@]IEFUNKCII F (x):sOGLASNO FORMULE pUASSONAZ121' () exp ; ; x) d+u(x t) = p2 t ;1+4tZ2+ p1'; () exp ; ( ;4tx) d =2 t ;11 ; x)2 =l;4t =;l ;x ; ; x)2 1p F () exp= llim!1 2 t1 Z F ()exp2 t ;1 + 2t1; pZ;1F;() x 2texp; p2 t ;11;4td ; ; x)2 ;d:4toBOZNA^IM \TI WYRAVENIQ L I1 I2 I PREOBRAZUEM IH, SDELAWZAMENU = ;p x :2 t=lp=L = lim p1 F(x + 2 t ) exp(;2 )92l!1 2t=;l1 hF (2pt l) ; F (;2pt l)i exp(;l2 )+p= llim!1 2 t1 hF(x + 2pt l) ; F (2pt l)i exp(;l2 );p+ llim!1 2 t1 hF(;x ; 2pt l) ; F (;2pt l)i exp(;l2 ) =; lim pl!1 2 tAlx ;pp exp(;l2 ) + lim p ' 2 t l + 1 x exp(;l2 );= llim!1 l!1 2 tx ; p; lim p ' ; 2 t l ; 2 x exp(;l2 )l!1 2 t1 2 2 (0 1) (MY WOSPOLXZOWALISX ZDESX TEOREMOJ lAGRANVA).eSLI WSPOMNITX, ^TO FUNKCIQ ' OGRANI^ENA, TO POLU^IM, ^TOL = 0 DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO x: dALEE,Z F(x + 2 t) + F(;x ; 2 t)1I1 = p exp(;2 )d =2t ;11ppZ F (2 t) + F(;2 t)1=p exp(;2 )d+2t ;11ppZ F(x + 2 t) ; F (2 t)+ p1 exp(;2 )d+2t ;11ppZ F (;x ; 2 t) ; F(;2 t) exp(;2 )d:+ p12t ;11ppw PERWOM IZ INTEGRALOW PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ,PO\TOMU ON RAWEN NUL@.
mODULI SLEDU@]IH DWUH INTEGRALOWMOGUT BYTX OCENENY S U^ETOM TEOREMY lAGRANVA KAK 1 Z1 F(x 2pt) ; F (2pt) exp(;2 )d 6 pt2;193 1Z; p6 p2t x ' 2 t + x exp(;2 )d 60 !2 +1 2jxj sup '()=p6 p2jxj sup '() ; exp(2; ) t 2t 20 2 (0 1): tAKIM OBRAZOM, W SILU OGRANI^ENNOSTI ' W KAVDOJFIKSIROWANNOJ TO^KE x INTEGRALY STREMQTSQ K NUL@ PRI t !+1:dALEE,RRZ F(x + 2 t) ; F(;x ; 2 t)I2 = p1 exp(;2 )d =2t ;11ppZ F (2 t) ; F(;2 t)= p1 exp(;2 )d+22t ;11ppZ hp ip1+ pF(x + 2 t) ; F(2 t) exp(;2 )d;2 t ;111 Z hF(;x ; 2pt) ; F(;2pt)i exp(;2 )d:; p2 t ;11pOSLEDNIE DWA INTEGRALA STREMQTSQ K NUL@ PRI t ! +1, KAKBYLO POKAZANO WYE, A PERWYJ MOVET BYTX PREOBRAZOWAN KAK1pp1 Z F (2 t) ; F (;2 t) pp2t ;1p2 t2 t2 exp(;2 )d =Z1 F (2pt) ; F (;2pt) 1p= p; A 2 exp(;2 )d+2 t;194Z1A+ p 2 exp(;2 )d:;1wTOROE SLAGAEMOE RAWNO NUL@ W SILU TOGO, ^TOpZ1;12 exp(;2 )d = 2A PERWOE MOVET BYTX OCENENO PO MODUL@ KAK Z1 ppt); F(;2 t)1F(2p p; A 2 exp(;2 )d 62 t;1pp6 12 sup F (2 t) ;pF(;2 t) ; A :2 t2nO POSLEDNEE WYRAVENIE STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 1 W SILUUSLOWIQ (21 ): sOBRAW WMESTE WSE OCENKI, POLU^IM, ^TO u(x t) !A t ! +1:2R3.
oBOZNA^IM PERIODFUNKCII '(x) ZA 2l TOGDA+1h ikx iX'(x) =k=;1ck exp:lrQD SHODITSQ RAWNOMERNO W SILU NEPRERYWNOSTI '(x) ^TO POZWOLQET EGO PO^LENNO INTEGRIROWATX.pREDSTAWIM REENIE ZADA^I kOI SOGLASNO FORMULE pUASSONA:1h ( ; x)2 i1 Zu(x t) =p2 t ;1'() exp;4td =Z h ; x)2 ic0= pexp ; 4t d+2 t ;11Z+1h i h ( ; x)2 iX1+ pck exp ikxl exp ; 4t d:2 t k=;1 ;1195pERWYJ INTEGRAL RAWEN c0: pOKAVEM, ^TO WTOROJ STREMITSQK NUL@ PRI t ! +1: dEJSTWITELXNO, WYDELQQ POLNYJ KWADRATPOD ZNAKOM \KSPONENTY, POLU^IM, ^TO1h ikx i h ( ; x)2 i1 Zp2 t ;1explexp;4td =Z1 h 4ikt 4k2t2 i h ( ; ;x + 2ikt )2 i1ld =exp l ; l2 exp ;= p4t2 t ;1h4k2t2 i ! 0 t ! 1:= exp 4ikt;ll2Zl1tAKIM OBRAZOM, u(x t) ! c0 = 2l '(x)dx:;lzADA^A 4.36.RRnAJTI t!limu(x y t) GDE u(x y t) | REENIE W+1kOIut = uxx + uyyut=0 = '(x y)PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH:2 + ZADA^I22A) '(x y) = 1 +x 2x2 B) '(x y) = sin2 y W) '(x y) = (x1 +sin2xy)2 :rEENIE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
