Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 11
Текст из файла (страница 11)
zDESX2'(x y) = (x1 +sin2xy)2 = '1 (x)'2 (y)2'2 (y) = sin2 y'1 (x) = 1 +x 2x2SLEDOWATELXNO,lim u(x y t) = tlimt!1!1 u1 (x t) tlim!1 u(y t):96nOlim u (xt!1 1t) = 21 (TEOREMA 1),Z112A tlim!1 u2(y t) = 2 sin ydy = 2 (TEOREMA 3).;1tAKIM OBRAZOM, tlim!1 u(x y t) = 4 :zADA^A 5.3.nAJTI WSE GARMONI^ESKIE WR2 FUNKCII u(xux (x y) < uy (x y)8 (xRy) DLQ KOTORYHy) 22:RrEENIE.
eSLI u(x y) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W 2, TO I EEPROIZWODNYE | GARMONI^ESKIE FUNKCII. pO\TOMU v = ux ; uy| GARMONI^ESKAQ WO WSEJ PLOSKOSTI. pO TEOREME lIUWILLQ |\TO KONSTANTA. tAKIM OBRAZOM, ux ; uy = C:rEAEM \TO LINEJNOE NEODNORODNOE URAWNENIE S ^ASTNYMIPROIZWODNYMI 1{GO PORQDKA STANDARTNYM OBRAZOM.
uRAWNENIQHARAKTERISTIK:dx = ;dy = duC:|TA SISTEMA IMEET DWA NEZAWISIMYH PERWYH INTEGRALAx + y = C1u ; Cx = C2T.E. REENIE IMEET WID u = Cx + '(x + y) S PROIZWOLXNOJ GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ '. tAKIM OBRAZOM,0 = 'xx + 'yy = 2'00:a \TO OZNA^AET, ^TO '(x + y) = K1 (x + y) + K2 ILI u(x y) =M1 x + M2 y + M3 : t.K.
ux < uy , TO M1 < M2 :97zADA^A 5.4.pUSTX = (x y) 2u = 0 W R2 0 < x < 10<y<1u 2 C 2()uy=0 = uy=1 = 0 PRI 0 6 x 6 1:Z1mOVET LI FUNKCIQ f(x) := u2 (x y) dy IMETX TO^KU PEREGIBAWNUTRI INTERWALA (0 1)?rEENIE. fUNKCIQu2(x0y)2 C 2(),PO\TOMUZ10u2(x y) dyMOVNO DWAVDY DIFFERENCIROWATX PO PEREMENNOJ x. tOGDA, ISPOLXZUQ GARMONI^NOSTX FUNKCII u, IMEEMZ1 ;Z1 ;f 00 (x) = 20u2x + uuxx dy = 20u2x ; uuyy dy:iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM WTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI, SU^ETOM KRAEWYH USLOWIJ POLU^AEMZ1 ;00f (x) = 2 u2x + u2y dy > 0x 2 0 1]:0|TO OZNA^AET, ^TO PEREGIBA BYTX NE MOVET.zADA^A 5.7.pUSTX u(x) 2 C 2(B12 (0)) \ C(B12 (0))nAJTIZB (0)21=298u(x) = 0u(x) = x22u(x) = x2u(x) dx:x := (x1 x2) 2 B12 (0)x 2 S12 (0) x2 > 0x 2 S12 (0) x2 < 0:rEENIE. sOGLASNO TEOREME O POWERHNOSTNOM SREDNEM DLQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII PRI n = 2 IMEEM, ^TO1 Zu(0) = R2SR2 (0)u()dRGDE n | PLO]ADX EDINI^NOJ SFERY W n 2 = 2: pODSTAWLQQZNA^ENIQ u(x) NA OKRUVNOSTI SR2 (0) (S U^ETOM TOGO, ^TO NA RAZNYH EE ^ASTQH \TI ZNA^ENIQ ZADA@TSQ RAZNYMI WYRAVENIQMI)I PEREHODQ K POLQRNYM KOORDINATAM, POLU^IM, ^TO2Z3Z21u(0) = 4 sin2 'd' + sin 'd'5 = 1 ; 1 :240s DRUGOJ STORONY, PO TEOREME O PROSTRANSTWENNOM SREDNEM2 Zu(0) = R22tAKIM OBRAZOM,ZB12=2(0)BR2 (0)u(x)dx: ; 1:u(x)dx = 164zADA^A 5.8.pUSTX u(x) = 1 x 2 B22 (0)nB12 (0): ~TO BOLXE:Z @uZ @u()dsILI@@ ( ) ds?S12 (0)S22 (0)rEENIE.
pRIMENIM FORMULU gAUSSA{oSTROGRADSKOGO, IMEQ WWIDU, ^TO@u = @u PRI s 2 S 2 (0)@u = ; @u PRI s 2 S 2 (0)21@ @@@GDE | WNENQQ NORMALX K GRANICE OBLASTI. iMEEMZZ @uZ @uZ1 dxdy =u dxdy =3 =@ ds ; 2 @ ds:2B22 (0)nB12 (0)B22 (0)nB12 (0)S2 (0)S1 (0)99i, SLEDOWATELXNO,Z @uS22 (0)Z @uZ @u@ ds = 2 @ ds + 3 > 2 @ ds:S1 (0)S1 (0)zADA^A 5.11.pUSTX u 2 C 2() \ C() q 2 C()u(x) + q(x) u(x) = 0 x 2 u(x):M = max u(x) m = max@wOZMOVNO LI, ^TO M > m, ESLIA) q(x) 0B) q(x) > 0W) q(x) < 0 M > 0G) q(x) < 0 M < 0?rEENIE. A) NEWOZMOVNO (PRINCIP MAKSIMUMA)B) WOZMOVNO, PRIMER (W SLU^AE n = 1)u00 + u = 0 PRI x 2 (; 2 2 )PRI \TOM FUNKCIQ u = cos x QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ, DLQKOTOROJ WERNO UTWERVDENIE.W) NEWOZMOVNO, T.K.
ESLI WO WNUTRENNEJ TO^KE x0 2 DOSTIGAETSQ MAKSIMUM (u(x0 ) = M), TO u 6 0G) WOZMOVNO, PRIMER (W SLU^AE n = 1)u00 ; u = 0 PRI x 2 (;1 1)PRI \TOM FUNKCIQ u = ; ch x QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ, DLQKOTOROJ WERNO UTWERVDENIE.zADA^A 5.12.pUSTX = (x y) 2100R2 1 6 x2 + 2y2 6 2u(x y) = 0u(x y) = x + y@u(x y) + (1 ; x)u(x y) = 0@u 2 C 2 ()(x y) 2 x2 + 2y2 = 2x2 + 2y2 = 1:nAJTI max u(x y):rEENIE. pO PRINCIPU MAKSIMUMA maxju(x y)j DOSTIGAETSQNA GRANICE OBLASTI.
sLEDOWATELXNO, NEOBHODIMO SRAWNITX ZNA^ENIQ REENIQ NA GRANICE.pOKAVEM, ^TO NA U^ASTKE GRANICY x2 + 2y2 = 1 WYPOLNQETSQTOVDESTWO u 0. pO LEMME hOPFA{oLEJNIK W TO^KE MAKSIMUMAmax 2 @ (MINIMUMA min 2 @) NA GRANICE @u@ (max) > 0 @u@ (min) 6 0 . s U^ETOM TOGO, ^TO(1 ; x) > 0PRI x2 + 2y2 = 1ZAKL@^AEM, ^TO W TO^KE MAKSIMUMA NA \TOM U^ASTKE GRANICYZNA^ENIE FUNKCII DOLVNO BYTX NEPOLOVITELXNYM, A W TO^KEMINIMUMA NEOTRICATELXNYM.
|TO OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ DOLVNA BYTX NULEWOJ KONSTANTOJ.tEPERX NAJDEM MAKSIMUM REENIQ NA WTOROJ ^ASTI GRANICY,T.E.max x + y:x2 +2y2 =2lEGKO WIDETX, ^TO MAKSIMUM DOSTIGAETSQ W PERWOM KWADRANTE. |TO OZNA^AET, ^TO NADO ISKATX MAKSIMUM FUNKCII f(y) =p2 ; 2y2 +y DLQ POLOVITELXNYH y: oN DOSTIGAETSQ PRI y = p13pI RAWEN 3:zADA^A 5.30.pRI KAKIH SU]ESTWUET REENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE B22 (0)nB12 (0) S GRANI^NYMI USLOWIQMI @u@u = 1@ =1@ + u =2 = ?nAJTI REENIE WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONO SU]ESTWUET.101rEENIE.
oB]IJ WID REENIQ URAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE:u( ) = A0 + B0 ln ++1;Xk=11;XAk k + Bk ;k cos k +k=1Ck k + Dk ;k sin k:sOOTWETSTWENNO,1;@u ( ) = B0 + Xk ;1;k;1 cos k +@ k=1 kAk ; kBk +1 ;Xk=1kCk k;1 ; kDk ;k;1 sin k:tOGDA W SILU GRANI^NYH USLOWIJ11XXB0 +Ik=1(kAk ; kBk ) cos k +k=1(kCk ; kDk ) sin k = 11 ;B0 + Xk;1 ; kBk 2;k;1 cos k +kA2k2 k=1+1 ;Xk=1kCk 2k;1 ; kDk 2;k;1 sin k ++ A0 + B0 ln 2 ++1 ;Xk=11 ;XAk 2k + Bk 2;k cos k +k=1k;kCk 2 + Dk 2 sin k = :oTS@DA NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TO8 B =10>>>< B0>2 + A0 + B0 ln 2 = >>: A =B =0k2k102kNtAKIM OBRAZOM, ESLI = 0 TO = 21 I REENIE IMEET WIDu( ) = A0 + ln (T.E.
S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ KONSTANTY).1eSLI 6= 0 TO A0 = ; 2 ; ln2, PRI \TOM | L@BOE Iu( ) = 22; 1 + ln 2 :zADA^A 5.33.A) eDINSTWENNO LI REENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: u 2 C 2(), GDE = B23 (0)nB13 (0)u(x) = 0@u(x) ; u(x) = f (x)11@@u(x) + u(x) = f (x)22@x 2 x 2 S13 (0)x 2 S23 (0)k = const > 0 (k = 1 2)?B) tOT VE WOPROS PRI k = const < 0 (k = 1 2):rEENIE. pUSTX u1(x) I u2(x) | DWA REENIQ POSTAWLENNOJZADA^I. rASSMOTRIM RAZNOSTX v(x) = u1(x) ; u2(x), KOTORAQ QW-LQETSQ REENIEM ANALOGI^NOJ ZADA^I S ODNORODNYMI KRAEWYMIUSLOWIQMI.pRIMENIM PERWU@ FORMULU gRINA DLQ FUNKCII v(x): iMEEMZ @vZZZ @v0=vv dx = ;S13 (0)@ v ds +S23 (0)s U^ETOM GRANI^NYH USLOWIJZZ1S13 (0)v2 ds + 2S23 (0)v2 ds +@ v ds ;Zjrvj2dx:jrvj2dx = 0:tAKIM OBRAZOM, PRI 1 > 0 2 > 0 \TO TOVDESTWO MOVETWYPOLNQTXSQ TOLXKO DLQ v 0:103eSLI VE 1 < 0 I 2 < 0, TO REENIEM ZADA^I S ODNORODNYMIKRAEWYMI USLOWIQMI BUDET FUNKCIQ v(x) = A0 + B0 , PRI \TOM8< B0 + 1(A 0 + B0 ) = 0B0 ; A + B0 = 0(22): 4 2 0 2i, SLEDOWATELXNO, KO\FFICIENTY 1 I 2 DOLVNY UDOWLETWORQTXSOOTNOENI@1 + + 12 = 0:242(23)w \TOM SLU^AE REENIE ISHODNOJ ZADA^I NEEDINSTWENNO.lEGKO UWIDETX, ^TO W PROTIWNOM SLU^AE (ESLI NE WYPOLNQETSQ SOOTNOENIE (23)) SISTEMA (22) IMEET TOLXKO ODNO NULEWOEREENIE, ^TO PRIWODIT K SOWPADENI@ u1 I u2 (T.E.
EDINSTWENNOSTI REENIQ).RRzADA^A 5.34.nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO REENIE u(x y) ZADA^I dIRIHLE DLQURAWNENIQ lAPLASA W POLUPLOSKOSTI + UDOWLETWORQ@]EENERAWENSTWU;u(x y) 6 M 1 + x + jyj GDE M = const > 0, EDINSTWENNO.rEENIE. pUSTX SU]ESTWUET DWA REENIQ u1 I u2. oBOZNA^IMv(x y) = u1 (x y) ; u2(x y): lEGKO WIDETX, ^TO v UDOWLETWORQET ODNORODNOJ ZADA^E dIRIHLE. oB]EE REENIE TAKOJ ZADA^I WPOLUPLOSKOSTI IMEET WID1 Xk;kv( ) =k=1s U^ETOM USLOWIQjvj 6 ju1j + ju2j 6 M1104;Ck + Dk sin k:1 + cos + j sin j 6 M2 (1 + )KZAKL@^AEM, ^TO REENIE IMEET WID v( ) = P Ck k sin k:k=1zDESX KONSTANTA K RAWNA CELOJ ^ASTI :tAKIM OBRAZOM, PRI > 1 SU]ESTWUET NENULEWAQ FUNKCIQ vI, SLEDOWATELXNO, REENIE ISHODNOJ ZADA^I NEEDINSTWENNO. pRI < 1 SU]ESTWUET TOLXKO NULEWOE v, PO\TOMU REENIE ISHODNOJZADA^I EDINSTWENNO.zADA^A 5.35.RnAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO REENIEo DLQn u(x y) ZADA^I dIRIHLEURAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI (x y) 2 2 jyj < px UDOWLE3TWORQ@]EE NERAWENSTWU;u(x y) 6 M 1 + x2 + y2 GDE M = const > 0 EDINSTWENNO.rEENIE.
pEREJDEM W POLQRNYE KOORDINATY. oBLASTX, W KOTOROJ RASSMATRIWAETSQZADA^A dIRIHLE, PREDSTAWLQET SOBOJ UGLOWOJ SEKTOR j'j < 6 , NERAWENSTWO PEREPIETSQ W WIDEju(r ')j 6 M(1 + r2 ) :(24)eSLI w(r ') | DRUGOE REENIE DANNOJ ZADA^I dIRIHLE, TOv(r ') = u(r ') ; w(r ') - GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W DANNOJOBLASTI, UDOWLETWORQ@]AQ NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM.
oNATOVE POD^INENA NERAWENSTWU (24) (WOZMOVNO, S BOLXEJ KONSTANTOJ), TAK KAK jvj = ju ; wj 6 juj + jwj: tAKIM OBRAZOM,NAM NADO NAJTI USLOWIQ, PRI KOTORYH v - TOVDESTWENNYJ NULX.fUNKCIQ v IMEET OB]IJ WIDX kX k;k;kv(r ') =k=3(Ak r + Bk r ) cos k' +(Ck r + Dk r ) sin k':k=6tAK KAK W SILU NERAWENSTWA () \TA FUNKCIQ OGRANI^ENA W NULE,TO WSE KO\FFICIENTY Bi i = 3 ::: I Di i = 6 ::: RAWNY NUL@.~TOBY ISKL@^ITX REENIQ ZADA^I dIRIHLE S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI, OTLI^NYE OT TOVDESTWENNOGO NULQ, NADOPOTREBOWATX, ^TOBY ROST jv(r ')j NA BESKONE^NOSTI BYL STROGOMENXE, ^EM U r3: tAKIM OBRAZOM, < 23 :105zADA^A 5.45.pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2 C 2()u = 0 W '(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ Ixlim!x u(x) = '(x0 )x20DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @: nAZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "REENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0u@ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNOLI REENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE?rEENIE2.
rASSMOTRIM OBLASTX = f0 < r < 1 0 < ' <=2g GDE (r ') | POLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI, IGRANI^NU@ TO^KU x = 0 2 @: rASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLEu = 0 x 2 u(x)x2@ x6=0 = 0:RrEENIE1 DANNOJ ZADA^I NEEDINSTWENNO: u1(r ') 0 u2(r ') =r2 ; r2 sin 2':RzADA^A 5.46.pUSTX 3 | WNENOSTX EDINI^NOGO ARA. eDINSTWENNO LIREENIE u(x) 2 C 2() \ C() WNENEJ ZADA^I dIRIHLEu(x) = 0 jxj > 1ujxj=1 = 0PRI DOPOLNITELXNOM USLOWIIZ 2u() d = O(1)A)j;xj<1B)Z 2u() d = o(1)j;xj<1PRI jxj ! +1?RrEENIE. iZWESTNO, ^TO REENIE WNENEJ ZADA^I dIRIHLE W3106EDINSTWENNO PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII u(x)!0 PRI+1: oCENIM u(x): pO TEOREME O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ PO ARU S CENTROM W TO^KE x RADIUSA 12 2 1 Zu(x) = 4=3u() d 6jxj !j;xj<116 (4=3)2NERAWENSTWO kOI{bUNQKOWSKOGOZZ 2Z 2u() d = 1u() d:d 4=3j;xj<1j;xj<1j;xj<1 uSLOWIE (A) \KWIWALENTNO USLOWI@ u(x) = O(1) PRI jxj !+1 KOTOROGO NEDOSTATO^NO DLQ EDINSTWENNOSTI REENIQ W3: rEENIE TAKOJ ZADA^I NEEDINSTWENNO.
pRIMER: u1 (x) 0 u2(x) = 1 ; jxj;1 u2(x) 6 1 PRI jxj > 1u2(x) = 0 jxj > 1u2jxj=1 = 0Z 2Zu2 () d 6d = 43 = O(1) PRI jxj ! +1:Rj;xj<1j;xj<1iZ USLOWIQ (B) SLEDUET, ^TO u(x) ! 0 PRI jxj ! +1 ZNA^IT,REENIE TAKOJ ZADA^I EDINSTWENNO.zADA^A 5.47.A) nAJTI REENIE u( ) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W B12 (0) S GRANI^NYM USLOWIEM1X;p;1qu =1 =k=1ksin(k )GDE p I q { ZADANNYE NATURALXNYE ^ISLA.B) pRI KAKIH p, q \TO REENIE PRINADLEVIT PROSTRANSTWUH 1 (B12 (0))?rEENIE. a) oB]IJ WID REENIQ ZADA^I dIRIHLE W KRUGEu(1XX) = A0 + Ann cos n + Cnn sin n:n=1n=11107iZ GRANI^NOGO USLOWIQ WYTEKAET, ^TO An = 0, n = 0 1 : : : PRI\TOM n = kq I Cn = k;p;1:tAKIM OBRAZOM, REENIE1X;p;1 kqqu( ) =k=1k sin k :B) lEGKO POS^ITATX KWADRAT GRADIENTA REENIQ (PRI 6= 0) @u 2 1 @u 2 X12;2p+2q;2 2kq ;2jru()j = @+ 2 @eSLI u 2 H 1 (B12 (0)), TO^TO 0 < < 1, TOGDAZ2Z X10 0 k=1=1Xk=1ZB12 (0)=jruj2dxk=1<k1::wYBEREM TAKOE,1 k;2p+2q;2 q Xq ;1;2p+2q;22kkd d = 22k =k=11Xq;2p+q;22kk ;! k;2p+q;2k=12kq0PRI ! 1:rQD SHODITSQ, ESLI ;2p + q ; 2 < ;1 T.E.q < 1 + 2p:tAKVE MOVNO PROWERITX, ^TO KLASSI^ESKIJ GRADIENT FUNKCII uQWLQETSQ OBOB]ENNYM W ARE B12 (0) I ^TO PRI POLU^ENNOM SOOTNOENII SAMA FUNKCIQ u PRINADLEVIT PROSTRANSTWU L2 (B12 (0)):108oTWETY.1.1.
(1 1) + (;1 ;1) ; (1 ;1) ; (;1 1) . 1.2. a = ;1.1.4. (x)(1 ; e;x ) + C1 + C2e;x . 1.5. ;(y ; jxj)=2. 1.7. nET.1.8. a) dA B) DA W) NET. 1.9.p nET, PRIMER: u = sin(1=jxj).1.10. B) nET, PRIMER: u = x ; x2.1.12. a) < 1=2 B) > 1=2, = 0. 1.13. < 1=2.1.14. A) L@BOE, ESLI n > 7 < ;1=2, ESLI n = 6.ZB) > 1=2 ILI = 0, ESLI n > 7.1.15. > 1=2, = 0 = (2k ; 1)=21.16. = (2k ; 1) k 2 Zk2 . L@BOE, ESLI n > 3 < 1=2, ESLI n = 2 = 0, ESLI n = 1.1.18. dA. 1.19. nET. 1.20. 0.2.1. nET.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
