Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(4) pOSTROJTE PRIMER OBLASTI NA PLOSKOSTI 2 TAKOJ ^TOFUNKCII C 1 () NE SOSTAWLQ@T WS@DU PLOTNOGO MNOVESTWA WPROSTRANSTWE H 1 () T.E. C 1 () 6= H 1 ():wSEGO 26 BALLOWR2001 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTORa.s.{AMAEWRR1. A) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU kOWALEWSKOJ O SU]ESTWOWANIII EDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGO REENIQ.B) (3) pUSTX n | OBLASTX W n I2u = 0 W u(x) 2 C 4 (): dOKAVITE, ^TO u(x) | WE]ESTWENNOANALITI^ESKAQ FUNKCIQ.1342. (3) pUSTXRRut = uxx W POLOSE = (0 T) 1xu 2 C 2() \ C()ut=0 = 0 8x 2 1x I u(t x) 6 C jxj:dOKAVITE, ^TO u 0 W :3. A) (1) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1():B) (3) pUSTX u(x) | OGRANI^ENNAQ W EDINI^NOM ARE { = jxj <1 x 2 3 FUNKCIQ, GLADKAQ W { n f0g: mOVNO LI UTWERVDATX,^TO u 2 H 1({)? eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITEOPROWERGA@]IJ PRIMER.4.
(2) sU]ESTWUET LI REENIE URAWNENIQRRRutt ; uxx = 0 WRR2TAKOE, ^TO u 2 C 2001( 2) NO u 62 C 2002( 2)?5. (3) eDINI^NAQ SFERA W 3 RAWNOMERNO ZARQVENA S POSTOQNNOJPLOTNOSTX@ Q (POTENCIAL PROSTOGO SLOQ). nAJDITE POTENCIALWNUTRI I WNE SFERY.6. (4) pUSTX FUNKCIQ u(x) x 2 3 UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u(x) W 3A TAKVE OCENKER RRR R u(x) 6 C x 2 3:dOKAVITE, ^TO u 0 W 3:7. (4) pUSTX FUNKCIQ y(x) 2 D0 ( ) I UDOWLETWORQET URAWNENI@y0 = y KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ.
dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCII CexRRC = const :8. (3) pUSTX | PROIZWOLXNAQ OBLASTX W 2 SODERVA]AQSQ WPOLOSE 0 1] 1: dOKAVITE DLQ NERAWENSTWO fRIDRIHSAZu2 dx dy 6Z2 dx dyjruju 2 H 1():wSEGO 27 BALLOW135?? GOD, POTOK MATEMATIKOW,a.s.{AMAEW??\KZAMEN, LEKTOR1. A) (1) dAJTE OPREDELENIEPROSTRANSTWA H 1():B) (2) pRI KAKIH > 0 FUNKCIQ sin x PRINADLEVIT H 1 0 ]?oTWET OBOSNUJTE.2. (3) pUSTX u(x t) | REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTIut = uxx W POLOSE = 0 1] ++ ft > 0g u 2 C 2 () \ C 1() UDOWLETWORQ@]EE KRAEWYMUSLOWIQMux x=0 = 1ux x=1 = ;1I NA^ALXNYM USLOWIQMut=0 = '(x)'(x) 2 C01(0 1):RRoGRANI^ENO LI \TO REENIE NA ? (T.E.
RASTET LI TEMPERATURA?)oTWET OBOSNUJTE.3. (4) pUSTX u(x y) | REENIE URAWNENIQ lAPLASA W POLUPOLOSE = (0 1) + NA PLOSKOSTI (x y) + fy > 0g u 2 C 2() \C() UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQMux=0 = ux=1 = 0 y > 0RRPRI^EM u(x y) ! 0 PRI y ! +1 RAWNOMERNO PO x: dOKAVITE,^TOu(x y) 6 Ce;3:14 yGDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.4. (4) pUSTX u(x y) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W POLUPLOSKOSTIP = fy > 0gu(x y) 6 Mx2R Ry2+I uy=0 = 08x 2R1xu 2 C(P) GDE M | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. dOKAVITE, ^TO u 0W P:5.
(3) rASSMOTRIM ZADA^U kOI S DANNYMI NA HARAKTERISTIKEft = xg DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = uxx NA PLOSKOSTI (x t)136ut=x = '(x)ux t=x = (x):pRIDUMAJTE TAKIE GLADKIE FUNKCII '(x) (x) ^TOBY DANNAQZADA^A NE IMELA REENIQ.6. (3) kORREKTNA LI ZADA^Aut = uxx W = (0 1) 1x u 2 C 2 () \ C() ut=0 = '(x)('(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ) W PARE PROSTRANSTW (E0 E1) GDEE0 = C( 1x) \ B( 1x) E1 = C 2 () \ C() \ B()S NORMAMIRR Rk'kE0Rx= sup1 j'(x)jkukE1= sup ju(x t)j:(x t)2oTWET OBOSNUJTE.7. A) (1) dAJTE OPREDELENIE POTENCIALA PROSTOGO SLOQ.B) (3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL PROSTOGO SLOQ UBYWAET PRI r !1 KAK Cr GDE r | RASSTOQNIE OT TEKU]EJ TO^KI DO POWERHNOSTIS S | OGRANI^ENNAQ POWERHNOSTX.wSEGO 24 BALLA2002 GOD, POTOKa.s.{AMAEW1.
(2) rEITEMATEMATIKOW,??\KZAMEN, LEKTORwARIANT 1 (PERWAQ ^ASTX).KRAEWU@ ZADA^Uutt ; uxx = 0t < 2x x > 0utt = u(t x)x2ut=2x = sin x x > 0ut=0 = 0 utt=0 = 1:2. (2) rEITE ZADA^U dIRIHLE W KOLXCE K = 1 < jxj < 3 @u @uu = 0 W K@r + u r=1 = 1 @r r=3 = 2r | RADIALXNAQ KOORDINATA.3. (2) dANA ZADA^A kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQR3t>0137;ut=0 = 1 + jxj2 ;1nAJDITE WELI^INU u(10 0 0 0):utt=0 = sin jxj:wARIANT 1 (WTORAQ ^ASTX).A) (1) sFORMULIRUJTE PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQTEPLOPROWODNOSTI.B) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMY O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIHFUNKCIJ.2. (2) nAJDITE HOTQ BY ODNO REENIE URAWNENIQ1.u00 + u = 00W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ.3.
(2) oPREDELITE POTENCIAL PROSTOGO SLOQ I DOKAVITE, ^TO ONUBYWAET NA BESKONE^NOSTI KAK jCxj :4. (3) eDINSTWENNO LI REENIE SLEDU@]EJ WNENEJ ZADA^I dIRIHLE:u = 0 W 3 n u@ = '(x) '(x) 2 C(@)RZ ;Rn1 + jxj u2(x) dx < 1?3oTWET OBOSNUJTE.5. (3) dOKAVITE NERAWENSTWO fRIDRIHSA. pUSTX 1 I 2 | DWEOGRANI^ENNYE OBLASTI I OB_EM 1 BOLXE OB_EMA 2 : mOVNO LINA OSNOWANII \TOGO SRAWNITX POSTOQNNYE W NERAWENSTWAH fRIDRIHSA DLQ DWUH OBLASTEJ? oTWET OBOSNUJTE.1. (2) rEITEwARIANT 2 (PERWAQ ^ASTX).KRAEWU@ ZADA^Uutt ; uxx = 0x>0 t>0 = sin t t > 0+2uu=utt=0t=0 = 0:@xx=02.
(2) rEITE KRAEWU@ ZADA^Uut = uxx PRI 0 < x < t > 0 @u138@u = 0 @u = 1ut=0 = 0:@x x=0@x x=3. (2) pUSTX u(t x) x 2 3 t > 0 | REENIE ZADA^I kOIutt = uRRut=0 = 0t>0utt=0 = '(x)RGDE '(x) = 0 PRI 9 6 jxj 6 10 I '(x) > 0 DLQ DRUGIH ZNA^ENIJ x 2 3: pRI KAKIH ZNA^ENIQH PEREMENNOJ t > 0 WOZMOVNORAWENSTWO u(t x) = 0 DLQ NEKOTOROGO x 2 3? oTWET OBOSNUJTE.wARIANT 2 (WTORAQ ^ASTX).1. A) (1) dAJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTIDLQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WTOROGO PORQDKA.B) (1) ~TO TAKOE KORREKTNO POSTAWLENNAQ KRAEWAQ ZADA^A?2. (2) nAJDITE HOTQ BY ODNO REENIE URAWNENIQu000 + u = (t)W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ.3.
(2) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJ POWERHNOSTX@ S W TO^KE x I IME@]IJ EDINI^NU@ PLOTNOSTX, RAWENTELESNOMU UGLU, POD KOTORYM POWERHNOSTX S WIDNA IZ TO^KI x:4. (3) sFORMULIRUJTE I DOKAVITE TEOREMU lIUWILLQ DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. wERNA LI \TA TEOREMA, ESLI ISHODNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ ZADANA NE WO WSEM PROSTRANSTWE 3 A WPOLUPROSTRANSTWE fx1 > 0g? a ESLI E]E DOPOLNITELXNO IZWESTNO, ^TO u(0 x2 x3) = 0? oTWETY OBOSNUJTE.5. (3) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTW H 1 () I H 1(): dOKAVITE, ^TO \TI PROSTRANSTWA NE SOWPADA@T. pUSTX u(x) 2C 1 () \ C() I u(x) = 0 NA @: wERNO LI, ^TO u 2 H 1 ()?oTWET OBOSNUJTE.R1. (2) rEITEwARIANT 3 (PERWAQ ^ASTX).KRAEWU@ ZADA^Uutt ; uxx = 0ut=0 = utt=0 = 0;x>0 t>0ux + (sin t)u x=0 = sin tt > 0:1392.
(2) pUSTX u(tut = u(t x)x) x 2RREENIE ZADA^I kOI2|ut=0 = 10jxj < Ljxj > LL = const > 0:nAJDITE u(10 0 0):KRAEWU@ ZADA^U3. (2) rEITEutt = uxx0<x< t>0ut=0 = utt=0 = 0:ux=0 = 0 ux x= = sin twARIANT 3 (WTORAQ ^ASTX).1. A) (1) sFORMULIRUJTE STROGIJ PRINCIP MAKSIMUMA DLQ GAR-MONI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI.B) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU EDINSTWENNOSTI ZADA^I kOIDLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI.2. (2) nAJDITE HOTQ BY ODNO REENIE URAWNENIQu0 + sin t u = 0W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ.3. (2) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ POWERHNOSTI SOPREDELEN DLQ x 2 S ESLI S | POWERHNOSTX lQPUNOWA.4. (3) gARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u(x1 x2 x3) OPREDELENA W POLU-CILINDREc x21 + x22 < 1 fx3 > 0gI u = 0 PRI x21 + x22 = 1: iZWESTNO TAKVE, ^TO u 2 C 1(c) Iu(x) ! 0 PRI x3 ! +1 RAWNOMERNO PO x1 I x2: dOKAVITE, ^TOTOGDA IMEET MESTO OCENKA u(x) 6 C exp ; p x32RGDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.5.
(3) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTW H 1() I DOKAVITE EGOPOLNOTU. pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W n C 1 () |MNOVESTWO GLADKIH W FUNKCIJ, IME@]IH WSE PROIZWODNYE,NEPRERYWNO PRODOLVA@]IESQ NA : wSEGDA LI \TO MNOVESTWOFUNKCIJ PLOTNO W H 1 ()? oTWET OBOSNUJTE.1402002GOD, oLIMPIADA, LEKTOR a.s.{AMAEW1.
(2) dOKAVITE, ^TOR; 2 jxj = C0 (x)I NAJDITE POSTOQNNU@ C0: zDESX x = (x1 x2 x3) 2 3 I jxj2 =x21 + x22 + x23 :2. (3) pUSTX u(x t) | REENIE KRAEWOJ ZADA^I:utt = uxx W (0 ) (0 +1)u x=0 = f(t) ux= = 0ut=0 = utt=0 = 02;f(t) | GLADKAQ 1 ; FUNKCIQ I f(t) ! 0 PRI t ! 1 u 2 C (0 ) (0 +1) \ C 0 ] 0 +1) : mOVET LI REENIE \TOJ ZADA^INEOGRANI^ENNO WOZRASTATX PO WREMENI, TO ESTX PO PEREMENNOJ t?oTWET OBOSNUJTE.3. (2) pUSTX u(t x) | REENIE ZADA^I kOI DLQ URAWNENIQ TEP-LOPROWODNOSTIR Rut = uxxut=0 = '(x)'(x) 2 C( ) \ B( ): qWLQETSQ LI FUNKCIQ u(t x) WE]ESTWENNOANALITI^ESKOJ PO PEREMENNOJ x PRI FIKSIROWANNOM t? oTWETOBOSNUJTE.4.
(3) dOKAVITE TOVDESTWO1 1 Z1X = G(x x) dxi=1 i0GDE fi g | POSLEDOWATELXNOSTX SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ ZADA^I{TURMA{lIUWILLQ NA OTREZKE 0 1] G(x y) | EE FUNKCIQ gRINA.5. (3) pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2C 2()u = 0 W '(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ Ixlim!x0 u(x) = '(x0 )x2141DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @: nAZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "REENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0u@ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNOLI REENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE? oTWET OBOSNUJTE.6. (2) kORREKTNA LI ZADA^A kOI NA PLOSKOSTI@2 + @2 = @x2 @y2@u = 0u + @xRuy=0 = '(x)x2Ry>0uy y=0 = (x)?RzDESX '(x) (x) | NEPRERYWNYE OGRANI^ENNYE FUNKCII;0 y ] , REE \NIE; u(x y) RASSMATRIWAETSQWPROSTRANSTWEC0xB 0 y0] x : oTWET OBOSNUJTE.7. (3) pUSTX u(t x) | REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI WPOLUPLOSKOSTI S ODNOJ "WYKOLOTOJ" TO^KOJR ft > 0g x n f(1 0)gI u(t x) < M W : dOKAVITE, ^TO OSOBENNOSTX W TO^KE (1 0)USTRANIMA, T.E.
MOVNO TAK DOOPREDELITX FUNKCI@ u(t x) W \TOJTO^KE, ^TO ONA BUDET REENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI WRx ft > 0g:wSEGO 18 BALLOW2003GOD, oLIMPIADA, LEKTOR a.s.{AMAEW(2) rASSMOTRIM SMEANNU@ ZADA^U DLQ POLUOGRANI^ENNOJSTRUNY1.utt = uxxt>0 x>0u t=0 = '(x) ut t=0 = 0(ux + u)x=0 = 0:6'(x).1 ..........;...@; . @0 1 2 3-xiMEET LI OTRAVENNAQ WOLNA ZADNIJ FRONT, TO ESTX BUDET LI RASSTOQNIE OT NOSITELQ REENIQ DO PRQMOJ x = 0 NEOGRANI^ENNOWOZRASTATX PRI t ! 1?1422. (2) rASSMOTRIM ZADA^U kOIRRDLQ WOLNOWOGO URAWNENIQu (t x) = u(t x)t>0 x2 3ut t=0 = (x)u(t x) 6 0: ttu t=0 = '(x)mOVET LI supp u(t x) PRINADLEVATX CILINDRU f(t x) j t 2(0 1) x 2 Dg GDE D { OGRANI^ENNAQ OBLASTX PROSTRANSTWAR3?3. (3) pUSTX u(x) { GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W OKRESTNOSTI TO^KIf0g PROSTRANSTWA nu(x) =1 XXi=0 jj=i! x=0 x |D u RAZLOVENIE FUNKCII u(x) W RQDtEJLORA W TO^KE f0g: wERNO LI,X D u ^TO POLINOMY Pi(x) ! x { GARMONI^ESKIE FUNKjj=ix=0CII? oTWET OBOSNUJTE.4.
(3) pUSTX u(t x) { REENIE ZADA^I kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTIut = uxx PRI t > 0+ f(x t) t > 0gu(t x) 2 C 2(+ ) \ C(+ )u t=0 = '(x)'(x) { OGRANI^ENNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, NE RAWNAQ TOVDESTWENNO NUL@. dOKAVITE, ^TO NE SU]ESTWUET TAKOGO T > 0 PRIKOTOROM u(t x) 0 ESLI T 6 t: (iNA^E GOWORQ, NAGRETYJ STERVENX NE MOVET POLNOSTX@ "OSTYTX" ZA KONE^NOE WREMQ.)5.
(4) pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX W 2 u(x) { SOBSTWENNAQFUNKCIQ ZADA^I dIRIHLE, TO ESTXu(x) + u(x) = 0u(x) = 0 DLQ x 2 @ = const :mOVET LI MNOVESTWO = fx j u(x) = 0 x 2 g BYTX OTREZKOM` PRQMOJ LINII, NE IME@]IM OB]IH TO^EK S GRANICEJ OBLASTI? oTWET OBOSNUJTE.143R(6) pUSTX K { EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI S CENTROM WTO^KE f0g: dOKAVITE, ^TO SU]ESTWUET TAKAQ POSLEDOWATELXNOSTXGLADKIH FUNKCIJ f'n (x)g 'n (x) 2 C 1 (K) ^TO 'n H 1 (K ) ! 0 PRI n ! 16.RNO 'n (0) = 1 DLQ L@BYH n = 1 2 ::: (TO ESTX FUNKCII IZ H 1(K)NE IME@T "SLEDA" W TO^KE).7. (5) pUSTX { { EDINI^NYJ AR W 3 S CENTROM W NULE, ~v(x) {TAKAQ WEKTOR{FUNKCIQ W {, ^TO1) ~v(x) = ru(x) u(x) { GLADKAQ SKALQRNAQ FUNKCIQ W {2) div~v(x) = 0 W {3) ESLI PRODOLVITX ~v(x) NULEM W 3 TO POLU^ENNAQ W REZULXTATE TAKOGO PRODOLVENIQ WEKTOR{FUNKCIQ w~ (x) TAKVE UDOWLETWORQET RAWENSTWU div w~ (x) = 0 W 3 W SMYSLETEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
