Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 16
Текст из файла (страница 16)
nAJDITE ~v (x):8. (6) pUSTX u(t x) { REENIE ZADA^Iutt = uxx W 0 ] 0 1)u x=0 = u x= = 0 8 t > 0ut=0 = '(x) utt=0 = (x)(x) '(x) 2 C01 0 ]: mY NABL@DAEM DWIVENIE STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI W TO^KE 1 TO ESTX NAM IZWESTNA FUNKCIQu(t 1) PRI t > 0 NO NE ABSOL@TNO TO^NO, A S TO^NOSTX@ GDE { L@BOE POLOVITELXNOE (NO NE RAWNOE NUL@) ^ISLO. mOVNO LIPO TAKOMU NABL@DENI@ WOSSTANOWITX S L@BOJ NAPERED ZADANNOJTO^NOSTX@ " > 0 FUNKCII (x) '(x)? oTWET OBOSNUJTE.R2004RGOD, oLIMPIADA, LEKTOR a.s.{AMAEW1.
() rASSMOTRIM ZADA^U kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = u ut=0 = '(x)GDE '(x) = 10 PRIPRI144u0tt=0 = 0jxj 6 1jxj > 1:WR3({AR "WZRYWAETSQ"). nARISUJTE u(t r) W MOMENTY WREMENI t =1 t = 3 (REENIE, RAZUMEETSQ, ZAWISIT TOLXKO OT r = jxj).2. () fUNKCIQ u(x t) QWLQETSQ REENIEM KRAEWOJ ZADA^Iu + u_ = u00 NA 0 ] 0 1)u x=0 = ux= = 0ut=0 = '(x) u0tt=0 = (x):wERNO LI, ^TO u(x t) ! 0 PRI t ! 1? oTWET OBOSNUJTE.3. () pUSTX u(x t) { GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W CILINDRE c = 0 1) | OBLASTX W n I u = 0 NA @ 0 1): pUSTXTAKVE u(x t) 6 M: dOKAVITE, ^TO u(x t) ! 0 PRI t ! 1:4. () pUSTX A1 I A2 | PODMNOVESTWA FUNKCIJ W C 1 (K) K| EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI, TAKIE, ^TO 'x1 =0 = 0 I'0x1 x1 =0 = 0 SOOTWETSTWENNO. nAJDITE KORAZMERNOSTI ZAMYKANIJ A1 I A2 \TIH MNOVESTW W PROSTRANSTWE H 1(K):5.
() pUSTX K | EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI (x1 x2) l1 I l2 | DWA OTREZKA GLADKIH KRIWYH, PERESEKA@]IHSQ W TO^KE O PODl1 lNENULEWYM UGLOM. mOVET LI KRIWAQ l1 l22BYTX LINIEJ UROWNQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII? oTWET OBOSNUJTE.6. () pUSTX | OBLASTX NA PLOSKOSTI, M | ZAMKNUTOE MNOVESTWO W I PROSTRANSTWA H 1 () I H 1( n M) SOWPADA@T NA n M: dOKAVITE, ^TO (M) = 0:7. () rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^Uu = u00 + f(x t) W 0 ] 0 1)f(x t) 6 Mux=0 = ux= = 0 ut=0 = '(x) u0tt=0 = (x):mOVNO LI WYBRATX f(x t) TAK, ^TOBY u(x t) 0 DLQ WSEH t > T0 ?oTWET OBOSNUJTE.uPRO]ENNYJ WARIANT: tOT VE WOPROS, ESLI f(x t) =f(t):8. () pUSTX u(x) { GARMONI^ESKAQ W ARE { jxj < 1 FUNKCIQ,Rlim u(x) = 0x!x08 x0 2 @ { n x145x | NEKOTORAQ FIKSIROWANNAQ TO^KA NA @ { I u(x) < M WARE {: wERNO LI, ^TO u(x) 0 W { ? oTWET OBOSNUJTE.9.
() mOVET LI REE6tNIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = uxx IMETXTAKU@ LINI@ UROWNQ:x2001 GOD, POTOK MATEMATIKOW,t.a.{APONIKOWAOSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORpERWAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)1. a) (2) nAJTI OB]EEREENIE URAWNENIQ5uxx ; 4uxy ; uyy = 0:()B) (2) nAJTI REENIE URAWNENIQ () UDOWLETWORQ@]EE USLO-WIQMu(x 0) = 7x22. (2) rEITERZADA^U kOIutt = u ; jxj x 23 u x x8 = x2:t > 0ut=0 = 0 ut t=0 = sin jxj:x2 + y2 + 2x < 0 REITE ZADA^U dIRIHLEu = 0 W Qu@Q = 4x3 + 6x ; 1:3. (2) w KRUGE Q =R4. A) (2) nAJDITE REENIEZADA^I kOIut = u x 2 n t > 0ut=0 = e;jxj2 :B) (2) nAJTI jxlimu(x t): oTWET OBOSNOWATX.j!15.
A) (2) nAJTI REENIE ZADA^I146 ut = uxx ; 7 x 2 (0 ) t > 0ux=0 = 1 ux x= = 0 ut=0 = 0:B) (2) nAJTI tlim!1 u(x t): oTWET OBOSNOWATX.wTORAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)1. (3) pUSTX =(x t) 0 < x < 0 < t < +1 u 2 C 2() utt = a2uxx W u x=0 = 0 ux x= = f(t)ut=0 = utt=0 = 0 ;f 2 C 1 0 +1) f(0) = 0 sup f(t) < +1: wERNO LI, ^TO0 1)sup u(x t) < +1?oTWET OBOSNOWATX.2. a) (3) pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ 0(x) RAWENNUL@, KOGDA x LEVIT WNE ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI ; = @ TOESTX PRI x 2 n n : wERNO LI, ^TO 0 (x) 0 NA ;? oTWETOBOSNOWATX.B) (3) pOTENCIAL PROSTOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ 0(x) RAWENNUL@, KOGDA x LEVIT WNE ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI ;: wERNO LI,^TO 0 (x) 0 NA ;?3.
(2) nAJTI KAKOE{NIBUDX REENIE W D0 2 SISTEMY Ry_ = Ay + b(x)y = yy12R??A = 23 ;;??b = 02 :(3) pUSTX u(x y) | OGRANI^ENNAQ , GARMONI^ESKAQ NA POLUPLOSKOSTI = (x y) 2 2 y > 0 FUNKCIQ, u 2 C(): dOKAZATX, ^TO4.Rsup u = sup1 u(x 0):kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 21 BALLA \HOROO" |> 16 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 8 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 30 BALLOW.1472002 GOD, POTOK MATEMATIKOW,t.a.{APONIKOWAOSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORpERWAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)1. (2) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQutt = uxx + uyyPERESEKA@]IESQ S PLOSKOSTX@ t = 0 PO PRQMOJ (l x) = 0 GDEl = (l1 l2) 6= 0:2.
(2) rEITE KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ lAPLASA W PRQMOUGOLXNIKE 0 6 x 6 a 0 6 y 6 b SO SLEDU@]IMI GRANI^NYMIUSLOWIQMIu = @u x=0uy=0 = 0@x x=a = 03. (2) pUSTX u(tRuy=b = sin 5x2a :Rx) | REENIE ZADA^I kOIutt = ux = (x1 x2 ) 2 2 t > 0ut=0 = '(x)ut t=0 = (x):fUNKCII ' I IZWESTNY TOLXKO W PRQMOUGOLXNIKE x1 2 0 a]x2 2 0 b]: gDE MOVNO OPREDELITX u(t x) t > 0? nARISUJTE W3t x1 x2 \TU OBLASTX.4. (2) rEITE ZADA^U ut = uxx x 2 (0 l) t > 0ut=0 = 0 ux=0 = A1 = const ux=l = A2 = const t > 0:nAJDITE tlim!1 u(t x):wTORAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)(4) pUSTX = (x1 x2) 0 < xj < 1 j = 1 2 : dOKAVITE,^TO DLQ L@BOJ FUNKCII v 2 H 1 () UDOWLETWORQ@]EJ USLOWI@1.Z148sin x1 sin x2 v(x1 x2) dx1 dx2 = 0SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO 2 v L2 () 6 51 2 rv2L2 () :2. (3) nAJDITE POTENCIAL PROSTOGO SLOQ , RASPREDELENNOGO S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ NA CILINDRE x21+x22 = R2 0 6 x3 6 HW TO^KAH, LEVA]IH NA OSI x3:3.
(3) fUNKCIQ u(x t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWOD-NOSTIRut = uW CILINDRE Q1 = (0 1) x 2 n t > 0 jxj j < 8j = 1 ::: n u = 0 NA @ (0 1)u 2 C 2 1(Q1 ) \ C(Q1 ): dOKAVITE, ^TO u 6 C0 e;4nt C0 = const > 0:R4. (2) nAJDITE W D0 ( 1) KAKOE{NIBUDX REENIEx_ = x ; ySISTEMYy_ = y ; 4x + 3(t):kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 15 BALLOW \HOROO" |> 10 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 6 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.2002 GOD, POTOK MATEMATIKOW,t.a.{APONIKOWAROSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORpERWAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)1. (2) pRI KAKIH ZNA^ENIQH a 2 1 PLOSKOSTX y + z = C = constQWLQETSQ HARAKTERISTIKOJ DLQ URAWNENIQuxx ; 2auxy + uyy ; a2 uzz + u = 0?(oTWET OBOSNOWATX).1492.
(2) rEITEZADA^Uutt = u 0 <x y < 1 t > 0x=0 = ux=1 = uy=0 = uy=1 = 0uu t=0 = sin 3x sin 7yut t=0 = ;2 sin x sin 4y:3. (2) pUSTX u(tRx) | REENIE ZADA^I kOIutt = u x = (x1 x2 x3) x 2 3 t > 0ut=0 = '(x)ut t=0 = (x):fUNKCII ' I IZWESTNY TOLXKO W AROWOM SLOE 1 6 jxj 6 2:gDE IZWESTNO REENIE u(t x)? (oTWET OBOSNOWATX).4. (2) rEITE ZADA^U kOIut = 41 uxx x 2 1 t > 0ut=0 = e;x2 +2x x 2 1:RRwTORAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)1. (4) nAJDITEZ ; Z22infjruj + 2u dx +u dSMjxj=1RGDE = 1 < jxj < 2 x = (x1 x2 x3) 2 3 M = v 2H 1 () v = 0 PRI jxj = 2 :2.
(3) nAJTI POTENCIAL PROSTOGO SLOQ, RASPREDELENNOGO S PLOTNOSTX@ = sin2 ' NA CILINDRE x21 + x22 = R2 0 6 x3 6 H WTO^KE, LEVA]EJ NA OSI x3:3. (3) pUSTX u(x) x 2 3 UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u W 3A TAKVE OCENKEjuj 6 C x 2 3:dOKAVITE, ^TO u 0 W 3:R150RRR4. (2) nAJDITE KAKOE{NIBUDX REENIERIZ D0 ( 1) URAWNENIQy00 + 4y0 + 3y = ;(x):kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 15 BALLOW \HOROO" |> 10 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 6 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORw.a.kONDRATXEW1.
A) sFORMULIROWATX TEOREMU kOI{kOWALEWSKOJ.B) dOKAZATX, ^TO WSQKOE LINEJNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKAS POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI MOVNO PRIWESTI K KANONI^ESKOMU WIDU.W) w KAKOJ OBLASTI URAWNENIEuxy + (3x + y ; z)uxz + (3x ; y + z)uyz = 0QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM?2. A) kAK STAWITSQ WNENQQ ZADA^A dIRIHLE DLQ URAWNENIQlAPLASA?B) dOKAZATX EDINSTWENNOSTX REENIQ WNENEJ ZADA^I nEJMANA DLQ URAWNENIQ lAPLASA W 3:W) nAJTI REENIE WNENEJ ZADA^I nEJMANAu = 0 x2 + y2 > 1ux2 +y2 =1 = x4:R3.
A)TO^KE.dATX OPREDELENIE INTEGRALA, RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ WB) dOKAZATX, ^TO POTENCIAL PROSTOGO SLOQ | NEPRERYWNAQFUNKCIQ.W) nAJTIZ22 22lim(x y)!12 +2 =1(; 2) ln (x ; ) + (y ; ) dS :4. A)kAK STAWITSQ SMEANNAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQKOLEBANIJ STRUNY?151B) nAPISATX FORMULU kIRHGOFA REENIQ ZADA^I kOI DLQWOLNOWOGO URAWNENIQ. dOKAZATX, ^TO REENIE, POSTROENNOE PO\TOJ FORMULE, UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM.W) pUSTX u(x y z t) | REENIE ZADA^I kOIutt = 4uut=0 = '(x) utt=0 = 0GDE '(x) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO WNUTRI PARALLELEPIPEDA;1 < x < 11;2< y < 1 0 < z < 1:pRI KAKIH t u(4 ;1 2 t) 6= 0?5.
A) dATX OPREDELENIE OBOB]ENNOJ PROIZWODNOJ PO sOBOLEWU@ jj u :@x1 1 ::: @xnnB) dOKAZATX POLNOTU PROSTRANSTWA H 1():W) pRI KAKIH FUNKCIQu(x y) = ln (x2 + xy + 2y2 )PRINADLEVIT H 1 () GDE | KWADRAT jxj < 1 jyj < 1?kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | TRI ZADANIQ POLNOSTX@\HOROO" | DWA ZADANIQ POLNOSTX@ \UDOWLETWORITELXNO" |ODNO ZADANIE POLNOSTX@. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.1998 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORY e.w.rADKEWI^, t.d.wENTCELX1. dLQ URAWNENIQ utt = 4uxxux=0 = ux=1 = 0RASSMATRIWAETSQ KRAEWAQ ZADA^Aut=0 = x(1 ; x) u0t t=0 = sin x:Z1 A) (1) nAJTI f(13) GDE f(t) = u2t + 4u2x dx:0B) (1) nAJTI FUNKCI@ u(x 2) I NARISOWATX EE GRAFIK.1522. A) (1) dATX OPREDELENIEXHARAKTERISTIKI DLQ URAWNENIQaij uxixj = 0:B) (1) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx ; y2uyy = 0PROHODQ]IE ^EREZ TO^KI (1 2) (1 0):3.
A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI.B) (2) dOKAZATX, ^TO W 2 DLQ FUNKCII u(x) GARMONI^ESKOJ W2RRRWn GDE | NEKOTORAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX, OGRANI^ENNOJ2 n SU]ESTWUET PREDEL lim u(x):x!1W) (2) nAJTI \TOT PREDEL W SLU^AE, KOGDA | EDINI^NYJKRUG,Z2ur=1 = f(')0f(') d' = 0:4. dLQ URAWNENIQ utt ; 4uxx = 0 STAWITSQ SLEDU@]AQ ZADA^A:ux=0 = 0 sin x x 2 2]u t=0 =u0tt=0 = 0:x 2= 2]A) (1) nARISOWATX GRAFIK REENIQ PRI t = 2:B) (1) tO VE PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII ux=2 = 0 x 20 2]:W) (2) tO VE PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII u0xx=2 = 0 x 20 2]:05. rASSMATRIWAETSQ REENIEURAWNENIQutt = u(^ISLO PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH RAWNO 2), UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM (x) W 0u t=0 = 0ut t=0 = 02nWGDE | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W 2:A) (1) gDE W PROSTRANSTWE (x t) FUNKCIQ u(x t) RAWNA NUL@NEZAWISIMO OT FUNKCII (x) ESLI | EDINI^NYJ KRUG x21 +Rx22 < 1?R153B) (2) pRI (x) = ;1 ; kxk22 = x21 + x22 < 1 NAJTIlim t u(x t):(1) kAK STAWITSQ ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI?B) (1) dOKAZATX, ^TO ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, TOREENIE u(x t) UDOWLETWORQET USLOWI@ u(0 t) 0:W) (2) dOKAZATX, ^TO ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, TOREENIE u(x t) NE^ETNO PO x:kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 16 BALLOW \HOROO" |> 13 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 9 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.t!16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
