Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 13
Текст из файла (страница 13)
A) (1) sFORMULIROWATX WARIACIONNU@ POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE S NEODNORODNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI.B) (1) dOKAZATX OGRANI^ENNOSTX FUNKCIONALA SNIZU.W) (3) wY^ISLITXZ;infw;(jxj;1)2H 1 () jrwj2 ; 2wdxESLI = fx = (x1 x2) : 1 < jxj < 2g:kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 11 BALLOW \HOROO" |8 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | 5 BALLOW PRI MAKSIMALXNOWOZMOVNOJ SUMME 14 BALLOW. wREMQ NAPISANIQ | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.2003 GOD, POTOKg.a.~E^KINMEHANIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORpERWAQ ^ASTX.1.
A) (1) dAJTE OPREDELENIEOBOB]ENNOGO REENIQ URAWNENIQ u3 ut + 3 = 0:x(25)B) (2) pUSTX u(t x) | KUSO^NO GLADKOE FINITNOE OBOB]ENNOEREENIE URAWNENIQ (25) S LINIEJ RAZRYWA x = x(t). oBOZNA^IMZ1S(t) =116;1u(t x) dx:dOKAVITE, ^TO S(t) NE ZAWISIT OT t:2. A) (1) dAJTE OPREDELENIE GARMONI^ESKOJ FUNKCIIB) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU lIUWILLQ DLQ GARMONI^ESKIHFUNKCIJ.W) (3B) nAJDITE WSE GARMONI^ESKIE W R2 FUNKCII, DLQ KOTORYHuy (x y) = i xy + i e(x+iy) :3. A) (1) dAJTE OPREDELENIEKORREKTNOSTI POSTANOWKI ZADA^I.B) (2B) kORREKTNA LI ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQut = ;uxx?oTWET OBOSNOWATX.kRITERIJ OCENOK:pERWAQ ^ASTX4{7 | \UDOWLETWORITELXNO",8{11 | \DOPUSK" KO WTOROJ ^ASTI \KZAMENA.wREMQ NAPISANIQ | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.wTORAQ ^ASTX.4.
(2) pUSTX G(x y) | FUNKCIQ gRINA ZADA^I dIRIHLE DLQ OPERATORA lAPLASA. dOKAVITE, ^TO G(x y) = G(y x):5. rASSMOTRIM ZADA^U u = f W (26)@u = NA @:@A) (1) dAJTE WARIACIONNU@ POSTANOWKU ZADA^I (26).B) (3) dOKAVITE IMPLIKACI@kLASSI^ESKOE REENIE (26)+oBOB]ENNOE REENIE (26)mrEENIE WARIACIONNOJ ZADA^I, SOOTWETSTWU@]EJ (26).6. pUSTX Q = (0l) (0 T ).117rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U8 @ 2u @ ;@u x>W Q2 = @x (cos x + 2) @x ; (sin l )u@t< u = sin x PRI t = 0 0 6 x 6 ll>u=0PRI t = 0 0 6 x 6 lt: u = 0 PRIx = 0 l 0 6 t 6 T:A) (2) nAPIITE SHEMU METODA fURXE DLQ TAKOJ ZADA^IB) (3) dOKAVITE, ^TOZl hix 222(27)E (t) =(cos x + 2)(ux ) + (sin l )u + (ut ) dx0NE ZAWISIT OT WREMENI.kRITERIJ OCENOK:wTORAQ ^ASTX0{4 | \UDOWLETWORITELXNO",5{8 | \HOROO",9{11 | \OTLI^NO"wREMQ NAPISANIQ | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.2003 GOD,g.a.~E^KINPOTOK MEHANIKOW, PERESDA^A, LEKTORpERWAQ ^ASTX.1.
rASSMATRIWAETSQ ZADA^A kOI( u + ln u u = 0tx(28)ut=0 = u0 (x):pOSTROITX REENIE (2+2 BALLA), PROWERITX WYPOLNENIEUSLOWIQ rANKINA-g@GONIO I USLOWIQ WOZRASTANIQ \NTROPII(1+1 BALL), ESLI 4 PRI x > 0 4 PRI x < 0a) u0 (x) = 1 PRI x < 0:B) u0(x) = 1 PRI x > 0:2. (2) nARISOWATX GRAFIK REENIQ u(t x) W MOMENT t = DLQNA^ALXNOJ ZADA^I1utt = 4 uxx u(0 x) = 0 ut(0 x) =118sin x x 2 2]0 x 2= 2]:pUSTX = f(x y) 2 IR2 1 < x2 + 4y2 < 4g ;1 = f(x y) 2IR2 x2 + 4y2 = 1g ;2 = f(x y) 2 IR2 x2 + 4y2 = 4g: rASSMOTRIMKRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI :8 u = 0 W <pxu+4yu; px2 + 16y2 u = 0;1(29)xy: xu + 4yu + x2 + 16y2 u = 0 NANA ;2xya) (2) eDINSTWENNO LI REENIE ZADA^I (29)?B) (1) nAJTI ZNA^ENIE REENIQ W TO^KE (1 0).W) (1) nAPISATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO REENIQ ZADA^I (29).G) (2 BALLA) nAPISATX WARIACIONNU@ POSTANOWKU ZADA^I (29).3.kRITERIJ OCENOK:pERWAQ ^ASTX4{10 | \UDOWLETWORITELXNO",11{14 | \DOPUSK" KO WTOROJ ^ASTI \KZAMENA.wREMQ NAPISANIQ | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.wTORAQ ^ASTX.4.
A) (1) nAJTI WSEHARAKTERISTIKI URAWNENIQuxy ; uyy ; ux + uy = 0:B) (2) nAJTI EGO OB]EE REENIE.5. (2) nAJTI 2maxU(x y), GDE U(x y) | REENIE ZADA^I kOIx +y2 =1@u + x2 = x @u + y2 y @x@y6. (3) nAJTI REENIEZADA^Iuxx ; utt = sin x + sin tu(0 y) = y12 :f0 < x < t > 0gux=0 = 0 ux= = 1 ut=0 = x @u@t t=0 = 0:7. iMEETSQ ZADA^A {TURMA-lIUWILLQ0p(x)X 0 + q(x)X + X = 0 x 2 0 l]119;;;p 2 C 1 0 l] q 2 C 0 l] p > p0 > 0 q 6 0 X 2 C 2 0 l] :A) (2) pOKAZATX, ^TO > 0B) (3) dOKAZATX, ^TO SOBSTWENNYE ^ISLA STREMQTSQ K +1.kRITERIJ OCENOK:wTORAQ ^ASTX0{5 | \UDOWLETWORITELXNO",6{9 | \HOROO",10{13 | \OTLI^NO"wREMQ NAPISANIQ | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.2001 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORe.w.rADKEWI^1.
A) (1) dATX OPREDELENIESLABOGO REENIQ (REENIQ W SMYSLEINTEGRALXNOGO TOVDESTWA) URAWNENIQ hOPFA.B) (2) pOSTROITX KUSO^NO{POSTOQNNOE REENIE S 5-TX@ LINIQMIRAZRYWA.W) (2) dOKAZATX, ^TO NE SU]ESTWUET KUSO^NO{POSTOQNNOGO REENIQ S 4-MQ LINIQMI RAZRYWA.2. A) (1) dATX OPREDELENIE AWTOMODELXNOGO REENIQ I NAJTIAWTOMODELXNYE REENIQ URAWNENIQut + u3 ux = 0B) (2) dOKAZATX EDINSTWENNOSTX REENIQ, UDOWLETWORQ@]EGOUSLOWI@ NEWOZRASTANIQ \NTROPII, W KLASSE AWTOMODELXNYH REENIJ.3. A) (1) sFORMULIROWATX USLOWIE SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGOREENIQ ZADA^I kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ.B) (3) pUSTX u | KLASSI^ESKOE REENIE ZADA^I kOIutt = uxxut=0 = '(x)0 < t < T x 2utt=0 = 0R1A uN | KLASSI^ESKOE REENIE SMEANOJ ZADA^IuNtt = uNxxuN t=0 = 'N (x)1200 < t < T x 2 ;N N]@uN = 0:uNt t=0 = 0@x x=NpRI \TOM'N = ''N = 0PRI x 2 (;M ; M + ) IPRI x 62 (;N + N ; )DLQ DOSTATO^NO MALYH FIKSIROWANNYH I TAKIH, ^TO M + <N ; .
dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET TAKOE N0 ^TO u uN NAOTREZKE ;M M] PRI N > N0 :4. (3) dLQ KAKIH IZ TREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTIut = uxxutt = uxxutt = ;uxxSU]ESTWUET NETRIWIALXNOE REENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMKNUTYMI LINIQMI UROWNQ?5. A) (1) sFORMULIROWATX LEMMU O NORMALXNOJ PROIZWODNOJ.B) (3) dOKAZATX, ^TO GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u 2 C 1()@u = 0 NA ;u = 0 NA ;21@;1 ;2 = @ mesn;1;2 6= 0 TOVDESTWENNO RAWNA NUL@.6.
A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ.B) (2) dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u 2 C 2(), UDOWLETWORQ@]AQ TEOREME O SREDNEM DLQ L@BOGO ARA K , QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ.7. (3) pUSTX C | KONUS (x y) 6 xy 6 : dOKAZATX, ^TONE SU]ESTWUET OB]EJ KONSTANTY W NERAWENSTWE fRIDRIHSA DLQWSEH OGRANI^ENNYH C:kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 16 BALLOW \HOROO" |13 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | 8 BALLOW PRI MAKSIMALXNOWOZMOVNOJ SUMME 25 BALLOW. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR a.s.{AMAEWR1.
A) (1) nAPIITE FORMULU dALAMBERA DLQ REENIQ URAWNENIQKOLEBANIJ STRUNY. B) (3) pUSTX K = (x y) 2 2 x2 + y2 < 1 | EDINI^NYJ121RKRUG W 2: kORREKTNA LI ZADA^A: NAJTI u(x y) 2 C 2(K) \ C(K)TAKU@ ^TOuxx ; uyy = 0 W Ku@K = '(x y)'(x y) 2 C(@K) | PROIZWOLXNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ?2. A) (1) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1(Q):B) (2) dOKAVITE POLNOTUPROSTRANSTWAH 1 (Q):3W) (3) pUSTX Q = jxj < 1 x 2 : sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EEUTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TO DLQL@BOJ u(x) 2 C 1 (Q) u(0) 6 C u H 1 (Q) ?RReSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJPRIMER.3. A) (3) pUSTX K = 1 < jxj < 2 | "KOLXCEWAQ" OBLASTX W 2:eDINSTWENNO LI REENIE SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I:u = 0 W Ku 2 C 2(K) \ C 1(K)@u ujxj=2 = '2 (x1 x2)@n jxj=1 = '1 (x1 x2)' 1 '2 | PROIZWOLXNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQHjxj = 1 I jxj = 2 SOOTWETSTWENNO? oTWET OBOSNUJTE.B) (2) nAJDITE REENIE POSTAWLENNOJ W P.
(a) ZADA^I, ESLI'1 = cos '2 = sin( | POLQRNYJ UGOL NA PLOSKOSTI).4. A) (1) sFORMULIRUJTE PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQlAPLASA.B) (3) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQu + ux + u = 0@2 + @2 = @x2 @y2W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q NA PLOSKOSTI W TOJ VE FORME, KAKDLQ URAWNENIQ lAPLASA? oTWET OBOSNUJTE.122R5. A) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU lIUWILLQ DLQ URAWNENIQ lAP-LASA.B) (3) pUSTX u(x) | GARMONI^ESKAQ WZZZ u2(x) dxR33 FUNKCIQ I(1 + jxj)3 < 1:RwERNO LI, ^TO u(x) const W 3? oTWET OBOSNUJTE.6.
A) (1) dAJTE OPREDELENIE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ.B) (3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJZAMKNUTOJ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA S I IME@]IJ EDINI^NU@PLOTNOSTX, RAWEN 0 WNE S I 4 WNUTRI S:7. A) (1) nAPIITE FORMULU pUASSONA DLQ REENIQ ZADA^I kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI.B) (3) pUSTX u(x t) | REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S"POTENCIALOM":ut = uxx ; ut>0x2R1UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@ut=0 = sin2 x:dOKAVITE, ^TO SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A TAKAQ, ^TOu(t x) ; Ae;t 6 (t)e;tGDE FUNKCIQ (t) ! 0 PRI t ! 1: nAJDITE POSTOQNNU@ A:wSEGO 31 BALL2000 GOD, POTOKa.s.{AMAEWMATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR1. A) (1) sFORMULIRUJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTI DLQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA WTOROGO PORQDKA.B) (3) rASSMOTRIM ZADA^U: NAJTI W SEKTOREK = (x t)j x > 0 t > 0 t < 2xFUNKCI@ u(x t) 2 C 2 (K) \ C(K) UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@utt = uxx123I NA^ALXNYM I GRANI^NYM USLOWIQMut=0 = '(x) ut t=0 = (x)ut=2x = 0;'(x) (x) 2 C 1 0 1) : iMEET LI \TA ZADA^A REENIE I ESLI"DA" | EDINSTWENNO LI ONO? oTWET OBOSNUJTE.2.
A) (2) dOKAVITE NERAWENSTWO fRIDRIHSA.B) (3) sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE = (x y) : 0 < x < 1 ;1 < y < 1 ?eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJPRIMER.3. A) (2) pRIWEDITE KLASSI^ESKU@ POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE WOGRANI^ENNOJ OBLASTI Q I DOKAVITE EDINSTWENNOSTX REENIQ.B) (3) dOKAVITE, ^TO REENIE ZADA^I dIRIHLE W POLOSE =(x y) : 0 < x < 1 ;1 < y < +1u = 0 W ux=0 = '1 (y) ux=1 = '2 (y)'1 '2 2 C( 1) NEEDINSTWENNO.W) (2) eDINSTWENNO LI REENIE PREDYDU]EJ ZADA^I S DOPOLNI-RTELXNYM USLOWIEMu(x y) ! 0 PRI jyj ! 1?RRRoTWET OBOSNUJTE. 4. (3) pUSTX Q = x 2 4 jxj < 1 | AR W ^ETYREHMERNOMPROSTRANSTWE, ` = x 2 4 : x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 0 < x4 < 1=2| OTREZOK W 4 Q1 = Qn`: nAJDITE OBOB]ENNOE REENIE ZADA^IdIRIHLE u(x) :ZQ18v 2 H 1(Q1 )(ru rv) dx = 0u ; '(x) 2 H 1(Q1 )'(x) 2 C01 (Q) I '(x) = 1 PRI x 2 `:5.
(2) sU]ESTWUETGARMONI^ESKAQ FUNKCIQ LI POLOVITELXNAQW ARE Q = jxj < 1 x 2 3 TAKAQ, ^TO u(0 0 0) = 1u(0 0 1=2) = 10? oTWET OBOSNUJTE.124R6. (4) pUSTX u(t x) 2 C 2 () \ C() | KLASSI^ESKOE REENIEURAWNENIQut = uxx + v(t x)GDE = (0 +1)(0 1) v(t x) | OGRANI^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ OCENKE jvj 6 C C > 0 | ZADANNAQ POSTOQNNAQ.
pUSTX; ut=0 = '(x)GDE '(x) 2 C 1 0 1]ux=0 = ux=1 = 0 8t > 0:mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ v(t x) ^TO u(t x) 0 8t > tt | NEKOTORAQ POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ? oTWET OBOSNUJTE.7. (3) pRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 1 FUNKCIQ u(t x)RAWNAQ NUL@ PRI t > ax I EDINICE PRI t 6 ax (t x) 2 2QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQRRut = uxW SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ? oTWET OBOSNUJTE.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
