Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(3) pUSTX u(t x) 2 C 2 () \ C 1() | KLASSI^ESKOE REENIEURAWNENIQut = uxx + 3u W POLOSE = (0 +1) (0 1)UDOWLETWORQ@]EE KRAEWYM USLOWIQMux=0 = ux=1 = 0 t > 0:dOKAVITE, ^TO DLQ u(t x) IMEET MESTO NERAWENSTWOu(t x) 6 Ce;6tGDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.wSEGO 31 BALL2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTORa.s.{AMAEW1. A) (2) sFORMULIRUJTE TEOREMU kOI|kOWALEWSKOJ.B) (3) pRI KAKIH WE]ESTWENNYH SU]ESTWUET REENIEu(x t) 2 C 2 (K) \ C 1(K) K = (0 +1) (0 +1)125SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I:utt = uxx W K;ut=0 = '(x) utt=0 = (x)'(x) (x) 2 C01 (0 +1);ux + u x=0 = 0 DLQ t > 0?oTWET OBOSNUJTE.2. A) (1) pRIWEDITE FORMULIROWKU STROGOGO PRINCIPA MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ lAPLASA.B) (2) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQutt = uxx?eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJPRIMER.3.
(3) pUSTX u(x t) | REENIE ZADA^Iutt = uxx W = (0 ) (0 +1)ut=0 = '(x) ut t=0 = (x)'(x) (x) 2 C01 (0 )ux=0 = ux= = 0 DLQ t > 0u(x t) 2 C 2() \ C 1() I u(x t) = 0 DLQ WSEH t > t t = const >0 I x | IRRACIONALXNOE ^ISLO. wERNO LI, ^TO u(x t) 0 W ?oTWET OBOSNUJTE.4. A) (1) nAPIITE FORMULU pUASSONA DLQ REENIQ ZADA^I kO-I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W SLU^AE DWUH PROSTRANSTWENNYHPEREMENNYH.B) (2) dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ FORMULOJ pUASSONA, UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM PRI t = 0:5.
(3) pUSTX FUNKCIQ u(x) ZADANNAQ W ARE Q1 = x 2 3 jxj <1 UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u( = const < 0)I u(x) 0 W ARE RADIUSA Q = x 20 < < 1: dOKAVITE, ^TO u 0 W Q1:126RR3 jxj < = const6. (2) pUSTX Q | OGRANI^ENNAQ OBLASTX SC 1: mOVET LI REENIE KRAEWOJ ZADA^I:u ; u = 1 W QGRANICEJ @Q KLASSAu 2 C 2 (Q) \ C 1(Q)R@u = 0@n @Q(~n | WNENQQ NORMALX K @Q) BYTX STROGO POLOVITELXNYM W Q?oTWET OBOSNUJTE.
7. (3) pUSTX Q = x = (x1 x2) 2 2 jxj < 1 | EDINI^NYJKRUG,Q+ Q \ fx1 > 0g Q; Q \ fx1 < 0gI FUNKCIQ u(x) 2 H 1(Q) PRINADLEVIT KLASSAM C 1 (Q+ ) IC 1 (Q; ): dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ u(x) NEPRERYWNA W Q:8. (3) pUSTX POLOVITELXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ UDOWLETWO-RQET URAWNENI@RW SLOE (0 1) 3 IW KUBE (0 1) (0 1) (0 1) (0 1):wERNO LI, ^TO u 0 W SLOE (0 1) 3? oTWET OBOSNUJTE.wSEGO 25 BALLOWut = uu(t x) 0R2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTORa.s.{AMAEW1.
A) (1) sFORMULIRUJTE NERAWENSTWO fRIDRIHSA.B) (3) sPRAWEDLIWO LIDLQ NEOGRANI NERAWENSTWO fRIDRIHSA^ENNOJ OBLASTI = (x y) : x > 0 y > 0 NA PLOSKOSTI? eSLI"DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER.2.SLEDU@]U@KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI = (3) rASSMOTRIM(x y) : 0 < x2 + y2 < 1 NA PLOSKOSTI:u(x y) = 0 W u(x y) = '(x y) PRI x2 + y2 = 1GDE '(x y) | ZADANNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ,lim (x2 + y2 ) u(x y) = axy!!00127GDE a | ZADANNOE WE]ESTWENNOE ^ISLO. sU]ESTWUET LI REENIETAKOJ ZADA^I? eSLI "DA", TO EDINSTWENNO LI ONO? oTWET OBOSNUJTE.3.
(3) pUSTX u(t x) | REENIE ZADA^I:utt = uxxW POLOSE 0 +1) 0 1] NA PLOSKOSTI, x 2 0 1] t 2 0 +1)u 2 C 2 ()ux=0 = '(t) ux=0 = 0 ut=0 = ut t=0 = 0 DLQ x 2 0 1]j'(t)j < " " | ZADANNOE ^ISLO, '(t) | GLADKAQ FUNKCIQ. mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ '(t) ^TOBY REENIE u(t x) DANNOJZADA^I BYLO BY NEOGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ NA ? oTWET OBOSNUJTE.4. (3) pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W n u(x) |FUNKCIQNA UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@u ; u = 0 W IZ KLASSA C 2 () \ C(): dOKAVITE, ^TO ESLI u = 0 NA @ TOu 0 W :5. A) (2) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H 1 0 1] NEPRERYWNA.B) (3) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE 0 1]TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0 PRINADLEVIT H 1 0 1]? oTWET OBOSNUJTE.6. (3) nAJDITE FUNDAMENTALXNOE REENIE OPERATORAd2 + 2 d ; 1Ldx2 dxT.E. FUNKCI@ u(x) TAKU@, ^TOu00 + 2u0 ; u = 0 (x) W 1GDE 0 (x) | "DELXTA{FUNKCIQ",0 (x) ' = '(0) 8'(x) 2 C01 ( 1):eDINSTWENNO LI TAKOE REENIE?128RRR7.
(3) pUSTXT@ ; @2@t @x2| OPERATOR URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. dOKAVITE, ^TO FUNK-CIQx2p e; 4tx) (t)2 tGDE (t) = 0 PRI t < 0 I (t) = 1 PRI t > 0 UDOWLETWORQETE (tURAWNENI@T E (t x) = 0 (t x)W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ.wSEGO 24 BALLA?? GOD, POTOK MATEMATIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTORa.s.{AMAEW1. A) (1) dAJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTIDLQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA WTOROGO PORQDKA.B) (1) pOSTROJTE MNOVESTWA HARAKTERISTI^ESKIH LINIJ NA PLOSKOSTI (x t) DLQ OPERATOROWLu utt + 3ux ; 2uxx2. A) (2) pUSTX u(tL ut ; 3uxx + xux:x) | REENIE ZADA^Iutt = uxxt>0x>0t>0x>0ux=0 = 0ut=0 = '(x) utt=0 = 0supp '(x) (0 +1) '(x) 2 C 2 (0 1): iZWESTNO, ^TO SU]ESTWUETT > 0 TAKOE, ^TO PRI t > T x 2 (0 1) u(t x) | BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ.
wERNO LI, ^TO '(x) | TAKVE BESKONE^NOGLADKAQFUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE.B) (2) pUSTX u(t x) | REENIE ZADA^Iut = uxxux=0 = 0ut=0 = '(x)129FUNKCIQ '(x) | TA VE, ^TO W P. (a) I j'j 6 M: iZWESTNO, ^TOSU]ESTWUET T > 0 TAKOE, ^TO PRI t > T x 2 (0 1) u(t x)| BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ.
wERNO LI, ^TO '(x) | TAKVEBESKONE^NOGLADKAQFUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE.3. (3) pUSTX K = (x y) j x2 + y2 < 1 | EDINI^NYJ KRUG NAPLOSKOSTI (x y) u(x y) | REENIE ZADA^Iu = x2yu@K = 0:nAJDITE u(0 0):4. (2) dOKAVITE POLNOTU PROSTRANSTWA H 1():5. (4) rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H 1(;1 1) MNOVESTWO A GLADKIH FINITNYH FUNKCIJ '(x) UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@R'0 (0) + '(0) = 0 2 : nAJDITE KORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ A MNOVESTWA A WH 1 (;1 1):6. (4) pUSTX i (x) ui(x) (i = 1 2 : : :) | SOBSTWENNYE ZNA^ENIQI SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I {TURMA{lIUWILLQ:Lui = i uiui(0) = ui(1) = 0kuikL2 (0 1) = 1ddLdx p(x) dx ; q(x)p(x) q(x) | GLADKIE FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE OCENKEp(x) q(x) > > 0 = const > 0: dOKAVITE NERAWENSTWOp sup ui(x) 6 p1 ji j:x20 1]7.POSLEDOWATELXNOSTX GARMONI^ESKIH W n FUNKCIJ (3) pUSTXun (x) SLABO SHODITSQ PRI n ! 1 K FUNKCII u (x) 2 L2loc( n)T.E.
8' 2 D( n)RZRnun(x)'(x) dx ;;;!n!1ZRnR Ru (x)'(x) dx:wERNO LI, ^TO u(x) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE.130R R(3) pUSTX '(x) 2 L2 ( 1) \ C( 1): dOKAVITE, ^TO REENIEZADA^I kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTIut = uxx t > 0ut=0 = '(x)8.x 2 (;1 1) STREMITSQ K NUL@ PRI tx 2 (;1 1):wSEGO 25 BALLOW2001 GOD, POTOKa.s.{AMAEW1.RAWNOMERNO POMATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR(2) pUSTX u(t x) (x 2NOWOGO URAWNENIQ! 1R3) |REENIE ZADA^I kOI DLQ WOL-RRRRut = u W (0 +1) 3Iut=0 = 0utt=0 = '(x) 2 C01 ( 3);;u 2 C 2 (0 +1) 3 \ C 1 0 +1) 3 : mOVETLI NOSITELXFUNKCII u(t x) LEVATX W CILINDRE jxj < R 0 +1) ESLIZR'(x) dx 6= 0?3(3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S NEPRERYWNOJPLOTNOSTX@, SOZDAWAEMYJ OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ S 2 C 1UBYWAET NA BESKONE^NOSTI KAK r12 GDE r | RASSTOQNIE DO NEKOTOROJ FIKSIROWANNOJ TO^KI O 2 S:3. (3) pUSTX = (x y)j 0 < x < a 0 < y < b | PRQMOUGOLXNIK NA PLOSKOSTII C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ, TAKAQ ^TO18u(x y) 2 H () SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO fRIDRIHSAZZ2u dx dy 6 C jruj2dx dy:2.2 2dOKAVITE, ^TO C > 2(aa2 b+ b2) :1314.
(3) pUSTXRRRd2 + b d + cdx2 dx| DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR. pRI KAKIH a b c 2WUET NEPRERYWNOE NALaR1 REENIEURAWNENIQLu(x) = (x)1 SU]EST-RGDE (x) | {FUNKCIQ (T.E. h 'i = '(0) 8' 2 C01 ( 1))?5. (3) pUSTX u(x) 2 H 1 (;1 +1) T.E. u(x) 2 L2 ( 1) I SU]ESTWUET OBOB]ENNAQ PROIZWODNAQ PO sOBOLEWU ux (x) = v(x) 2 L2 ( 1):dOKAVITE, ^TO u(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ I u(x) ! 0 ESLIjxj ! 1:6. (3) pUSTX K = (r ')j 0 < r < 1 0 < ' < =6 | KRUGOWOJSEKTOR RASTWOROM 30 u(r ') | GARMONI^ESKAQ W K FUNKCIQ,PRINADLEVA]AQ C 1(K): dOKAVITE, ^TOu(r ') 6 Cr6GDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.7.
(3) pRI KAVDOM LI 2 1 ZADA^Au = 1 W K = (r ')j 1 < r < 2 @u@u = sin ' = sin2 '+u@n r=1@nr=221u 2 C (K) \ C (K) IMEET HOTQ BY ODNO REENIE? (~n | WNENQQNORMALX K GRANICE KOLXCA K:)8. (4) pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ W ARE jxj < 1 x 23 GARMONI^ESKOJ FUNKCII u(x) TAKOJ, ^TO jruj NEOGRANI^ENW jxj < 1 :9. (4) dOKAVITE (ISPOLXZUQ INTEGRAL pUASSONA; ), ^TO SU]ESTWU ET REENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: u(t x) 2 C 2 ft > 0g 1xut = uxx W ft > 0g 1x Iu(t x) ! '(x) W L2 ( 1x) PRI t ! 0GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ IZ L2( 1x) (NE OBQZATELXNO NEPRERYWNAQ!)wSEGO 28 BALLOWRR132RRRR2001 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTORa.s.{AMAEWsTRUNA, BESKONE^NAQ W OBE STORONY, OTKLONENA W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI TAK, ^TO EE PROFILX IMEET WID1.
(2)(0,x) 61JuJ0J-0.5 1 xI NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA 0. fUNKCIQ u(t x) UDOWLETWORQETURAWNENI@utt = uxx: nARISUJTE GRAFIK FUNKCII u 41 x :2. (3) dOKAVITE, ^TO ESLI POTENCIAL PROSTOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJ ZAMKNUTOJ OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA, RAWENNUL@ WNE \TOJ POWERHNOSTI, TO PLOTNOSTX POTENCIALA | NULEWAQ (PLOTNOSTX PREDPOLAGAETSQ NEPRERYWNOJ).3. (3) rASSMOTRIM ZADA^U kOI W POLOSE = 0 y0] 1x W 2x y :u + u = 0 W uy=0 = '(x)u 2 C 2() \ C 1()uy y=0 = (x)RRR'(x) (x) | OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA 1x: kOR-R RREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTWE1 = C( 1x) C( 1x) E2 = C()(' ) 2 E1 u 2 E2?eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJPRIMER.4.
(3) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ GARMONI^ESKIHFUNKCIJ, ZADANNYH W POLOSE IZ PREDYDU]EJ ZADA^I? eSLI"DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER.5. (3) pRI KAKIH a 2 1 KRAEWAQ ZADA^ARu + 2u = x ; a W u@ = 0133 = (0 ) (0 ) IMEET HOTQ BY ODNO REENIE? oTWET OBOSNUJTE.6. (4) rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^Uutt = uxx W 0 1] (0 +1)ux=0 = 0 ux x=1 = f(t)ut=0 = '(x) utt=0 = (x)'(x) (x) | GLADKIE FINITNYE FUNKCII.
dOKAVITE, ^TO MOVNOTAK WYBRATX GLADKU@ FUNKCI@ f(t) ^TO REENIE \TOJ ZADA^Iu(t x) BUDET NEOGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ W POLOSE 0 1] (0 +1):7. (4) rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^Uut = uxx W 0 1] (0 +1)ux=0 = f(t)ux=1 = g(t)f g ' | GLADKIE FUNKCII, PRI^EMf(t) ! a PRI t ! 1ut=0 = '(x)g(t) ! b PRI t ! 1:kAKOJ PREDEL PRI t ! 1 W PROSTRANSTWE C0 1] (ESLI TAKOWOJWOOB]E ESTX) IMEET REENIE u(t x) \TOJ ZADA^I? oTWET OBOSNUJTE.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
