Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.2. dA | DLQ GIPERBOLI^ESKOGO I \LLIPTI^ESKOGONET | DLQ PARABOLI^ESKOGO. 2.3. tOLXKO U utt = uxx,PRIMER: u = x2 +t2 . 2.4. z 6= y 3x. 2.5 a) y = 2e(x;1) B) y = 0.2.6. a) x = C1, x + y = C2 B) u = ey f(x) + g(x + y).2.7. a) gIPERBOLI^ESKOE B) x ; 2y = C1, y = C2W) u = xy + f(x ; 2y) + g(y).2.8. A) gIPERBOLI^ESKOE PRI 6= 0, PARABOLI^ESKOE PRI = 0.B) 162u ; 4u = 0 PRI 6= 0 uxx + ux = 0 PRI = 0.W) u(x y) = F (y + 3x) exp y ;4x + G(y ; x) PRI 6= 0u(x y) = F (y) + G(y)e;x PRI = 0. 2.9. A) > ;4 2 B) = 0 = ;4 W) NET G) DA. 2.11.
A) x + t = C B) = 1W) x + t = C PRI = 1 x t = C PRI = ;1G) PRIMER: u = t(x + t) PRI = 1 u = x ; t PRI = ;1D) PRIMER: u =psin(x ; t) PRI = ;1 PRI = 1 REENIJ NET.2.12. x ; y t 2 = 0. 2.13. z = C PRI = 0PRI 6= 0 DEJSTWITELXNYH HARAKTERISTIK NET.?2.14. u = ex f(x ; y x ; z) + e;x g(x ; y x ; z).2.15. a) = x + y, = 2x ; y Zu + u + u = 0ih2x;yB) u = e(x+y)(y;2x) f(x + y) +g(s)e;(x+y)s ds .02.16. + 3 2 6= 0. 2.17. a) = 0 B) = ;2. 2.18. nET.2.19.
dA. 2.20. dA. 2.21. nET. 2.22. a) dA B) NET.kONTRPRIMER: u = um (x t) = Re expf;pm+i m2 t+ 1p+ i mxg =2109;pexpf; m + pm xg cos m2 t + pm x . 2.23. > 0.22p12+1x :n2.24 nET. pRIMER: un(x y) = 2 eny sinnp3.1. nET. 3.2. jx1 x2j 6 2. 3.3. pRIMER: '(x) = 1 (x) = x.3.4. A) '(x) = 7x2 (x) = 2x NET B) '(x) = x2 (x) = x.3.5. nET.3.6. < 0, | L@BOE = 0, < ;1=2.3.7.
= 0, | L@BOE 6=Z 0, < ;5=2. 3.8. ???1 + jx0j , c = 1 1 (x) dx.3.10. t0 =a2a ;123.11. 1=a. 3.12. > =2 + 1. 3.13. u(x y t) = e;(x+t) +2e;(x;t) + arctg(y + t) + arctg(y ; t) + (cos x + sin y) sin t =2.1 (t + jxj)9 ; t ; jxj9 , jxj 6= 0 u(0 t) = t8.3.14. u(x t) =18jxjpp3); arctg(x1 + x2 + x3 ; t 3)arctg(x+x+x+t123p.3.15.
u =22z 33.16. A) u(t x y z) = sin x cos 2t + e ch 4tB) u(t x y z) = (yz)2 + 4t2(y2 + z 2 ) + 16t43hppW) u(t x y z) = 21 (3x ; y +z +2 11 t) exp(3x ; y +z + 2 11 t)+ipp(3x ; y + z ; 2 11 t) exp(3x ; y + z ; 2 11 t) .3.17. 1=2: 3.18. a) x21 + x22 > (t + 1)2 B) 1=8.3.19. a) 0 6 t 6 minfx1 x2 1 ; x1 2 ; x2g.3.20. 0 6 t 6 0:05, 0:9 + t 6 jxj 6 1 ; t0:9 6 t 6 1, jxj 6 min(1 ; t t ; 0:9).
3.21. q > 1=2 + m.3.22. A) n = 1 2 KONTRPRIMER DLQ n = 3 SM. ZADA^U 3.20.3.23. nET. 3.24. a) t 2 ( ; x 2 + x), 0 6 x 6 =2t 2 (( ; x)+ 2 ; x) ( + x 2 + x), =2 < x < 3=2t 2 ((x ; 2)+ x ; ) ( + x 2 + x), x > 3=2.3.25. I) (6= 1, ' 2 C 2( + ), '0 (0) = 0, '00 (0) = 01; t)]x>tu(x t) = 21 '(x + t) + '(x+122 '(x + t) + ;1 '(t ; x) ; (;1 '(0)] x < tx>tII) = 1, '(x) K = const u(x t) = KK + f(t ; x) x < t110RRGDE f 2 C 2( + ), f(0) = f 0 (0) = f 00(0) = 0.
p3.26. '0 (x)= C. 3.27. A = 1, ! = 2( 1; 2(x)2;(x+t);(x;t)2e+ex>t2pu(x t) = 1 ;(x+t)2 ;(x;t)2 ;e+ cos 2(x ; t) x < t:2 e3.28. B) > 2 (0) = 1=2 0 (0) = 1: 3.29. = 0, k | L@BYE 6= 0, > 2, k < 1 REENIE EDINSTWENNO PRI k > ;1 I NEEDINSTWENNO PRI k < ;1.3.30. a) 0 6 t + x 6 2, 0 6 t ; x 6 1=2W) u(x t) = '((t + x)=2) ; '(3(t ; x)=2) + (t ; x).N3.32. = = = 0 u(x t) = sin x cos t.3.33. a) 30 + 362 B) 4 sin3 x. 3.34. nET. 3.35. 1=105.3.36. 1=1260. 3.37. ! 2= f4 6g. 3.38. 6= k k 2 .3.39. A) k > 1= B) SM. REENIE.
3.40. dA.4.1. dA. 4.2. nET. 4.3. a) nET B) DA W) NETZ. 4.4. nET. 4.5. nET.1'(x)dx = 0:4.6. dA. 4.8. 0. 4.9. A) pRI L@BOJ '(x): B)0Z4.10. < 2 . 4.11.'(x) sin x dx = 0.0Z 34.12. a) '(x) | L@BAQ. B)'(x) sin kx3 dx = 0 PRI k = 1 20W) '(x) 0. 4.13. 1 + 6x=. 4.14. x1 x2. 4.15.Z 1 1. 4.16. < 4=3.4.17. 3x ; 2. 4.18. +1. 4.19. A) l > 1=3 B)'(x) sh(!x)dx = 00GDE ! > 0 { REENIE URAWNENIQ ! = 3 th !:4.20. W) ??? 4.21. B) nET. 4.23. mOVNO.4.25. nEOGRANI^ENO. 4.26. a(1 ; x) + bx. 4.27. nET.4.29. t < 1=4K.
4.31. nET. 4.32. u(x t) = C. 4.33. 1=2.4.34. =2. 4.35. A=2. 4.36. A) 1=2 B) 1=2 Wp) 1=4.4.37. A), B) u(t x) = e;(x1 +x2 +x3 ) 4.38. . 4.39. A = 1=2.4.40. dA.5.1. u(x y) = xy3 ; x3 y + C1 x + C2. 5.2. u(x) 0.5.3. u(x y) = C1x + C2 y + C3, GDE C1 < C2.5.4.
nET. 5.5. sUMMA RAWNA NUL@. 5.6. 0. 5.7. =16 ; 1=4.5.8. wTOROJ INTEGRAL. 5.9. u2 (x0). 5.10. a) nET B) DA.5.11. a)p nET B) DA W) NET G) DA.5.12. 3. 5.13. nET. 5.15. dAp . 5.16. (B) 0.5.18. nET. pRIMER: Q = 0 2] 0 2]111pu(x y) = exp(;x=2) sin(x= 2) sin(y=2):5.19. wERNO, u 0: 5.20. nET.5.23. fUNKCIQ u(x) POLU^ENNAQ PO FORMULE DLQ REENIQ ZADA^IdIRIHLE S RAZRYWNOJ GRANI^NOJ FUNKCIEJ, NAPRIMER:0u = 0 jxj < 1 u jxj=1 = 01 xx1 ><1 0:5.28.
nET. 5.29. 2 f;3=4 0g.;15.30. I) 6= 0 8 u = 22+ ln 2 II) = 0 = 1=2 u =p ln + C.3 3 + cos ; sin 2 .5.31. dA. 5.32. u =4225.33. a) dA B) NET. 5.34. < 1. 5.35. < 3=2.5.36. u(0 y) = 2 + (y ; 2) ln(2 ; y) ; y ln(;y).5.37. ;1. 5.38. dA.5.39. A) dA B) u(r ) = 51 4r ; r cos + 52 1r + r sin :5.40. A) pRIMER: u(x y) = sin(x) exp(y): B) dA.5.41. nET. 5.42. ;1=25: 5.43. nET. 5.44 a = =2:5.45 nET. 5.46.
A) nET B) dA.1 ;p;1 kqP5.47. a) u( ) =k sin(kq ) B) q < 2p + 1.k=15.50. B) u(x) 0 W) u(x) 0. 5.51. u(x) 0:5.52. =2: 5.53. 2. 5.54. ;79=2520:112|KZAMENACIONNYE WARIANTY2003 GOD, POTOKa.`.gORICKIJ\KONOMISTOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR1. A) (1+1) nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUETLINEJNAQ ZAMENA PEREMENNYH (x y) ! (t z), PEREWODQ]AQ URAWNENIEuxx ; 2uxy + uyy = 0(1)| W URAWNENIE STRUNY utt = uzz | W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = uzz .B) (1+2) tE VE WOPROSY OB URAWNENIIuxx ; 2uxy + uyy + 2ux ; 2 uy = 0:W) (3) pUSTX OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ u(x y) 2 C 2 ( 2) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (1) S NEKOTORYM > 5.
mOVET LI PRI \TOMu 6 const? oTWET OBOSNOWATX.G) (2) tOT VE WOPROS DLQ < ;5.2. A) (1+1) oPISATX WSE -PERIODI^ESKIE FUNKCII '(x) I (x),PRI KOTORYH REENIE u(t x) ZADA^I kOI9utt = uxxut=0 = '(x) ut t=0 = (x)(2)QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ PO t. nAJTI \TOT PERIOD.B) (2+1) tE VE WOPROSY DLQ ZADA^I9utt = uxx + sin tut=0 = '(x) ut t=0 = (x):W) (3) mOVET LI PERIOD PO t U REENIQ u(t x) ZADA^I kOI (2)BYTX MENXE 2 PRI USLOWII, ^TO ' I | -PERIODI^NY I NEIME@T MENXIH PERIODOW?3. pUSTX u(t x) | REENIE W POLUPOLOSE (t x) 2 (0 +1) (0 )RKRAEWOJ ZADA^Iut = uxxux x=0 = ux= = 0 ut=0 = '(x):A) (3) dOKAZATX, ^TO sup ju(1 x)j 6 sup j'(x)j:0<x<0<x<B) (2) wERNO LI, ^TO DLQ L@BOGO NA^ALXNOGO USLOWIQ '(x) WYPOLNENOsup ju(1 x)j 6 12 sup j'(x)j ?0<x<0<x<113W) (3) nAJTI REENIE u(t x) POSTAWLENNOJ ZADA^I S NA^ALXNOJFUNKCIEJ '(x) = ( ; x)( + x).4.
A) (1+1) dATX OPREDELENIE PROIZWODNOJ W SMYSLE sOBOLEWA.dATX OPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1 ().B) (2) pRIWESTI PRIMER NIGDE NE DIFFERENCIRUEMOJ (W KLASSI^ESKOM SMYSLE) FUNKCII, PRINADLEVA]EJ PROSTRANSTWU H 1 (), 2. dOKAZATX EE PRINADLEVNOSTX \TOMU PROSTRANSTWU. oTWET OBOSNOWATX.;W) (3) rASSMATRIWAETSQ FUNKCIQ f(x) = jxj sin(!jxj) W EDINI^NOM ARE B1 = fx 2 3 j jxj < 1g. pRI KAKIH I ! WYPOLNENO f(x) 2 H 1(B1 )?kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 19 BALLOW \HOROO" |12 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | 5 BALLOW PRI MAKSIMALXNOWOZMOVNOJ SUMME 32 BALLA. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.R2000 GOD, POTOKa.`.gORICKIJRMEHANIKOW, PERESDA^A, LEKTORpERWAQ ^ASTX1.
A) (1) oPREDELITX TIP URAWNENIQRuxx ; 6uxy + uyy + 2ux + (3 ; )uy + ;4 5 u = 0 ()W ZAWISIMOSTI OT PARAMETRA 2 .B) (1) pRIWESTI URAWNENIE () K KANONI^ESKOMU WIDU PRI = 5.W) (1) tOT VE WOPROS DLQ = 9.G) (1) nAJTI OB]EE REENIE URAWNENIQ () PRI = 5.W) (1) tOT VE WOPROS DLQ = 9.2. A) (1) dATX OPREDELENIE FUNKCII gRINA ZADA^I dIRIHLE DLQURAWNENIQ lAPLASA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI 3.B) (2) w PREDPOLOVENII, ^TO SU]ESTWUET KLASSI^ESKOE REENIEZADA^IRux2@ = '(x)u(x) = f(x) x 2 WYWESTI FORMULU, DA@]EE \TO REENIE ^EREZ FUNKCI@ gRINA.W) (1) nAPISATX FORMULU pUASSONA, DA@]EE REENIE ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W ARE.1143.
A) (1) sFORMULIROWATX POSTANOWKU ZADA^I kOI DLQ URAWNE-NIQ TEPLOPROWODNOSTI.B) (2) sFORMULIROWATX I DOKAZATX PRINCIP MAKSIMUMA DLQURAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W SLOE I TEOREMU EDINSTWENNOSTIDLQ POSTAWLENNOJ ZADA^I kOI.wTORAQ ^ASTXnAJTI FUNKCI@ u(x y z t), QWLQ@]U@SQ REENIEM ZADA^IkOI8 @u@2u + @2u + @2u<=2 @y2 @z 2: u@t = e@x;x2 cos(2y ; z):t=02. nAJTI, PRI KAKIH a I b IMEET REENIE SLEDU@]AQ ZADA^A8 u = r3(a + cos2 ) u = u(r ) r < 1<: @u = bjj; < < :@r r=11.uSLOWIQ PROWEDENIQ \KZAMENA. wREMQ NAPISANIQ PERWOJ^ASTI RABOTY | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.
dLQ POLU^ENIQ OCENKI \UDOWLETWORITELXNO" NEOBHODIMO I DOSTATO^NO NABRATX NEMENEE 4 BALLOW IZ WOZMOVNYH 12. dLQ TOGO ^TOBY PRETENDOWATXNA OCENKI \HOROO" I \OTLI^NO" NEOBHODIMO NABRATX NE MENEESOOTWETSTWENNO 8 I 10 BALLOW, I TEM SAMYM PROJTI NA WTORU@^ASTX \KZAMENA.dALEE, DLQ POLU^ENIQ OCENKI \OTLI^NO" ILI \HOROO" POREZULXTATAM WTOROJ ^ASTI \KZAMENA NEOBHODIMO REITX, SOOTWETSTWENNO OBE ILI ODNU IZ PREDLOVENNYH ZADA^.2003 GOD, POTOKg.a.~E^KINMEHANIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR1. A) (2) dATX OPREDELENIE AWTOMODELXNOGO REENIQ I NAJTIAWTOMODELXNYE REENIQ URAWNENIQ u6 ut + 6 = 0x(1)115B) (2) pOSTROITX KAKOE{NIBUDX NETRIWIALXNOE NE\NTROPIJNOEOBOB]ENNOE REENIE ZADA^I kOI DLQ URAWNENIQ (1) S N.U.ut=0 = 02. A) (1) oPREDELITX TIP URAWNENIQuxx ; 2uxy ; 32uyy + uy + ux = 0(2)W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA .B) (2) pRIWESTI URAWNENIE (2) K KANONI^ESKOJ FORME.W) (2) nAJTI OB]EE REENIE \TOGO URAWNENIQ.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
