Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 7
Текст из файла (страница 7)
pUSTX = (x y) 2 2 1 6 x2 + 2y2 6 2 u 2 C 2()Ru(x y) = 0u(x y) = x + y@u(x y) + (1 ; x)u(x y) = 0@nAJTI max u(x y):pUSTX 1 :=(x y) 2 x2 + 2y2 = 2x2 + 2y2 = 1:Ruk 2 C 2(1 ) \ C(1 )uk(x) = 0 x 2 1 (k = 1 2) u1(x) < u2(x) 8x 2 @1 :sLEDUET LI OTS@DA, ^TO u1 (x) < u2 (x) 8x 2 1 ?5.14. pUSTX u 2 C 2 () \ C 1()@u(x) = (x) x 2 @:u(x) = 0 x 2 @dOKAZATX, ^TO (x) OBRA]AETSQ W NULX NE MENEE ^EM W DWUH TO^KAH NA @:5.13.3nB 3 (0)153pUSTX B+ := x = (x1 x2 x3) 2 B13 (0) x3 > 0 FUNKCIQu(x) OPREDELENA I NEPRERYWNA W B + , RAWNA NUL@ PRI x3 = 0 IQWLQETSQ GARMONI^ESKOJ W B+ . wERNO LI, ^TO u(x) MOVNO PRODOLVITX DO FUNKCII, GARMONI^ESKOJ WS@DU W B13 (0)?5.16. A) pUSTX 2 1 = 2n u 2 C 2(1 ) \ C(1 ) \5.15.L1 (1 )R Ru(x) = 0x = (x1 x2) 2 1 :dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET jxlimu(x):j!1B) nAJTI \TOT PREDEL W SLU^AE, KOGDA = B12 (0) IZ20u(cos sin) d = 0:RpUSTXQ:=x=(xxx)2 3 x21 + x22 < 1 jx3j < 1 123L := (0 0 x3) jx3j < 12 FUNKCIQ u(x) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ I OGRANI^ENNOJ W QnL: dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u(x) MOVETBYTX PRODOLVENA DO FUNKCII, GARMONI^ESKOJ WS@DU W Q:5.18.
sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ5.17.@2 + @2 = @x2 @y2u + ux + u = 0W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q NA PLOSKOSTI W TOJ VE FORME, KAKDLQ URAWNENIQ lAPLASA?5.19. pUSTX u(x) | GARMONI^ESKAQ W 3 FUNKCIQ IZZ Z u2(x) dxR3R(1 + jxj)3 < 1:RwERNO LI, ^TO u(x) const W 3?5.20. sU]ESTWUET LI POLOVITELXNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQW ARE B13 (0) TAKAQ, ^TOu(0 0 0) = 154u(0 0 1=2) = 10?5.21. pUSTX FUNKCIQ u(x) ZADANNAQ W ARE B13 (0) UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u ( = const < 0)I u(x) 0 W ARE B3 (0) RADIUSA = const 0 < < 1:dOKAVITE, ^TO u 0 W B13 (0):5.22.
pUSTX K = (r ')j 0 < r < 1 0 < ' < =6 | KRUGOWOJSEKTOR RASTWOROM 30 u(r ') | GARMONI^ESKAQ W K FUNKCIQ,PRINADLEVA]AQ C 1(K): dOKAVITE, ^TOu(r ') 6 Cr6GDE C = const > 0:pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ W ARE B13 (0) GARMONI^ESKOJ FUNKCII u(x) TAKOJ, ^TO jruj NEOGRANI^EN W B13 (0):5.24. pUSTX FUNKCIQ u(x) x 2 3 UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u(x) W 3A TAKVE OCENKE u(x) 6 C x 2 3:dOKAVITE, ^TO u 0 W 3:5.25. pUSTX u(x y) | REENIE URAWNENIQ lAPLASA W POLUPOLOSE = (0 1) + NA PLOSKOSTI (x y) + fy > 0gu 2 C 2 () \ C() UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM5.23.RRRRRRu x=0 = u x=1 = 0y>0PRI^EM u(x y) ! 0 PRI y ! +1 RAWNOMERNO PO x: dOKAVITE,^TOu(x y) 6 Ce;3:14 yGDE C = const > 0:5.26. pUSTX u(x y) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W POLUPLOSKOSTI P = fy > 0g u 2 C(P)u(x y) 6 Mx2y2 + Iuy=0 = 0 8x 2 1xRR RGDE M | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.
dOKAVITE, ^TO u 0 W P:55kLASSI^ESKAQ POSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^fORMULY gRINAeSLI u v 2 C 2() \ C 1(), TOZZ @uZvu dx =@v @ ds ;(vu ; uv) dx =ZrurvdxZ @u @v v @ ; u @ ds@(10)GDE | WEKTOR EDINI^NOJ WNENEJ NORMALI K GRANICE OBLASTI@:RwNUTRENNQQ ZADA^A dIRIHLEpUSTX 2C 2:n { OGRANI^ENNAQ OBLASTX, @ { POWERHNOSTX KLASSAkLASSI^ESKOJ ZADA^EJ dIRIHLE NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C 2() \ C() : u = f(x)x2ux2@ = '(x)GDE f(x) 2 C() '(x) 2 C(@) { ZADANNYE FUNKCII.rEENIE WNUTRENNEJ ZADA^I dIRIHLE SU]ESTWUET I EDINSTWENNO.wNUTRENNQQ ZADA^A nEJMANAkLASSI^ESKOJ ZADA^EJ nEJMANA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C 2() \ C 1 () :8 u = f(x)x2< @u (11): @ = '(x)x 2@ GDE f(x) 2 C() '(x) 2 C(@) { ZADANNYE FUNKCII, | WEKTORWNENEJ NORMALI K @:56uSLOWIEM RAZREIMOSTI ZADA^I nEJMANA (11) QWLQETSQ RAWENSTWO NA FUNKCII f(x) I '(x)ZZZ @uZf(x) dx =u dx =@@ dS =@'(x) dS(KOTOROE SLEDUET IZ FORMULY gRINA (10) PRI v(x) 1).
rEENIE ZADA^I (11) NE EDINSTWENNO, A OPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DOPROIZWOLXNOJ ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ: ESLI u1(x) I u2 (x) { REENIQ (11), TO u1 (x) ; u2(x) const :RRwNENQQ ZADA^A dIRIHLEn { OGRANI^ENNAQn1 n :pUSTX 2C2OBLASTX S GRANICEJ @ KLASSAkLASSI^ESKOJ WNENEJ ZADA^EJ dIRIHLE W NEOGRANI^ENNOJOBLASTI 1 NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2C 2(1 ) \ C(1 ) UDOWLETWORQ@]EJ SISTEMEu = f(x) x 2 1ux2@ 1 = '(x)I USLOWI@ NA BESKONE^NOSTIu(x)! 0 PRI jxj ! 1 (n > 3)(12)u(x) 6 C PRI jxj ! 1 (n = 2)GDE f(x) 2 C(1 ) \ L1 (1 ) '(x) 2 C(@) { ZADANNYE FUNKCII,C { NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.rEENIE WNENEJ ZADA^I dIRIHLE SU]ESTWUET I EDINSTWENNO.wNENQQ ZADA^A nEJMANAkLASSI^ESKOJ WNENEJ ZADA^EJ nEJMANA W NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI 1 NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2C 2(1 ) \ C 1(1 ) UDOWLETWORQ@]EJ@uu = f(x) x 2 1@ x2@ 1 = '(x)57I USLOWI@ (12) NA BESKONE^NOSTI ZDESX f(x) 2 C(1 ) \ L1(1 )'(x) 2 C(@) { ZADANNYE FUNKCII, | WEKTOR WNENEJ NORMALI K @1 :pRI n > 3 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE REENIE WNENEJ ZADA^I nEJMANA.pRI n = 2 WNENQQ ZADA^A nEJMANA RAZREIMA TOLXKO PRIDOPOLNITELXNOM USLOWIIZZ1f(x) dx =@ 1'(x) dSEE REENIE OPREDELQETSQ NEODNOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO PROIZWOLXNOJ ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ.kRAEWYE ZADA^I NA PLOSKOSTIrEENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA u = 0 W KRUGEILI KOLXCE MOVNO POLU^ITX, ESLI PEREJTI W POLQRNYE KOORDINATY221 @uu( ) = @@u2 + 1 @u@ + 2 @2 = 0I PRIMENITX METOD RAZDELENIQ PEREMENNYH.
oB]EE REENIEURAWNENIQ lAPLASA IMEET WIDu( ) = A0 + B0 ln ++1Xn=11Xn=1An n + Bnn cos n +Cn n + Dnn sin n:tAK KAK FUNKCIQ u( ) DOLVNA BYTX OGRANI^ENA W RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI, TO| DLQ ZADA^I W KOLXCE (R1 < < R2) NENULEWYMI MOGUT BYTXWSE KO\FFICIENTY,| DLQ ZADA^I W KRUGE ( < R) B0 = Bn = Dn = 0 (n = 1 2 ::: )| DLQ ZADA^I WO WNENOSTI KRUGA ( > R) B0 = An = Cn = 0(n = 1 2 ::: ):oSTAWIESQ KO\FFICIENTY OPREDELQ@TSQ IZ GRANI^NOGOUSLOWIQ. nAPRIMER, DLQ REENIQ WNUTRENNEJ ZADA^I dIRIHLEu = 0 < Ru=R = f()58RAZLOVIWFUNKCI@ f() W RQD fURXE PO BAZISU1 cos n sin n n = 1 2 ::: POLU^IMZ1A0 = 2 f() dZ1An = Rn f() cos n d2200Z1Cn = Rn f() sin n d:20pOTENCIALYrASSMOTRIM OBLASTX GRANICA KOTOROJ UDOWLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@ lQPUNOWA (QWLQETSQ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA,T.E.):1) w KAVDOJ TO^KE GRANICY SU]ESTWUET OPREDELENNAQ NORMALX(KASATELXNAQ PLOSKOSTX).2) sU]ESTWUET TAKOE ^ISLO d > 0, ^TO PRQMYE, PARALLELXNYENORMALI W KAKOJ-LIBO TO^KE P GRANICY, PERESEKA@T NE BOLEEODNOGO RAZA ^ASTX GRANICY, LEVA]U@ WNUTRI SFERY RADIUSA dS CENTROM P.3) uGOL, OBRAZOWANNYJ NORMALQMI W TO^KAH A I B, UDOWLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@:\na nB < constjA ; B jGDE jA ; B j | RASSTOQNIE OT A DO B, 0 < 6 1:nX@TONOW POTENCIALu1(x) =ZEn (x ; y)f(y)dy:tAKOJ POTENCIAL NAZYWA@T E]E PROSTRANSTWENNYM (n > 3) ILIPLO]ADNYM (LOGARIFMI^ESKIM) (n = 2).59pOTENCIAL PROSTOGOZ SLOQu2(x) =@En (x ; y)q(y)dsy :pOTENCIAL DWOJNOGOSLOQZu3 (x) =@@ En (x ; y) m(y) ds :y@ytEOREMAO TREH POTENCIALAH.
l@BAQ FUNKCIQ u21C () \ C () PREDSTAWLQETSQ W SUMMUu(x) = u1(x) + u2(x) + u3(x)GDE f(y) = u(y) q(y) = ; @u(y)@ A m(y) = u(y):R2tEOREMA O POTENCIALEPROSTOGO SLOQ. pOTENCIAL PROSnTOGO SLOQ NEPRERYWEN W:RRtEOREMA O SKA^KE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ. sU]ESTWU@T FUNKCII u;3 2 C() I u+3 2 C( nn) TAKIE, ^TO1) u;3 = u3 W u+3 = u3 W nn;+2) u3 +2 u3 = u3 NA @3) u+3 ; u;3 = ;2m NA @:aNALOGI^NOE UTWERVDENIE WERNO PRO NORMALXNU@ PROIZWODNU@ POTENCIALA PROSTOGO SLOQ.tEOREMA O SKA^KE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ POTENCIALA PROSTOGO SLOQ.zDESX@u2 (x0 ) = @u2 (x0) q(x ):0@x0@x0@u2 (x0) = lim u2(x0 ) ; u2 (x00 ) : pRI \TOM x0 2 (x x00 ):0jx0 ; x00j@x;0x0 0x0000!x0x x 2x0 x00 2xo@u2 (x0) = lim u2 (x0) ; u2(x00 ) : pRI \TOM x00 2 (x x0):0jx0 ; x00 j@x+0x0 0 x0000 !nx0Rx 0x 200 nx x 2xo60fUNKCIQ gRINAfUNKCIEJ gRINA PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I W OBLASTI NAZYWAETSQFUNKCIQ WIDA:G(x y) = E (x ; y) + g(x y)GDE x 2 , y 2 , A g(x y) PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM x 2 QWLQETSQ REENIEM SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I:( g(x y) = 0y2y g(x y)y2@ = ;E (x ; y):tEOREMA.
fUNKCIQ gRINA UDOWLETWORQET SLEDU@]IM SWOJ-STWAM:G(x y) = G(y x) | PRINCIP WZAIMNOSTIG(x y) 6 0 DLQ WSEH x 2 y 2 | NEPOLOVITELXNOSTX.5.27. nAPISATX FORMULU, DA@]U@ REENIE ZADA^I dIRIHLEDLQ URAWNENIQ lAPLASA W Ban (0), I DOKAZATX, ^TO FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ \TOJ FORMULOJ, NEPRERYWNA NA San (0):5.28. sU]ESTWUET LI FUNKCIQ G(x x0), OPREDELENIE KOTOROJOTLI^AETSQ OT OPREDELENIQ FUNKCII gRINA ZADA^I dIRIHLE DLQOBLASTI 3 ZAMENOJ USLOWIQG(x x0) = 0 PRI x 2 @USLOWIEM@G(x x0) = 0 PRI x 2 @?@R5.29.
pRI KAKIH SU]ESTWUET REENIE u( ) ZADA^I nEJMANADLQ URAWNENIQ lAPLASA W KRUGE B12 (0) S GRANI^NYM USLOWIEM@u = cos4 + 2 cos2 ?@ =1615.30. pRI KAKIH SU]ESTWUET REENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQURAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE B22 (0)nB12 (0) S GRANI^NYMI USLOWIQMI @u@u = 1 = ?+u@ =1@=2nAJTI REENIE WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONO SU]ESTWUET.5.31. sU]ESTWUET LI GARMONI^ESKAQ W B12 (0)nf0g FUNKCIQu(x y), UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@@u = x ; y2 ?@ =1nAJTI REENIE u(x y) SLEDU@]EJ ZADA^I:@uu = 0 > 1inf u(x y) = 0:>1@ =1 = x(1 ; y)5.32.5.33. A) eDINSTWENNO LI REENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: uC 2(), GDE = B23 (0)nB13 (0)u(x) = 0@u(x) ; u(x) = f (x)11@@u(x) + u(x) = f (x)22@2x 2 x 2 S13 (0)x 2 S23 (0)k = const > 0 (k = 1 2)?B) tOT VE WOPROS PRI k = const < 0 (k = 1 2):RR5.34.
nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO REENIE u(x y) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W POLUPLOSKOSTI + UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWU;u(x y) 6 M 1 + x + jyj GDE M = const > 0, EDINSTWENNO.62R5.35. nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO REENIE u(x y) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI (x y) 2 2 jyj < px3UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWU;u(x y) 6 M 1 + x2 + y2 GDE M = const > 0 EDINSTWENNO.5.36. nAJTI ZNA^ENIQ W TO^KAH OTRICATELXNOJ POLUOSI OyLOGARIFMI^ESKOGO POTENCIALA PROSTOGO SLOQ u(x y) RASPREDELENNOGO NA OTREZKE x = 0 0 6 y 6 2 S PLOTNOSTX@, RAWNOJEDINICE.Z ;2 ; 22 ln (x ; )2 + (y ; )2ds:5.37. nAJTI 2 lim2x +y !12 +2 =15.38. pUSTX B = B12 (0): sU]ESTWU@T LI DWE RAZLI^NYECII ui (x y) co cLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: ui 2 C 2(B)@ui ; u = 3x NA @B (i = 1 2)?i@yui = 0 W BRFUNK-5.39. A) pUSTX K = 1 < jxj < 2 | "KOLXCEWAQ" OBLASTX W2: eDINSTWENNO LI REENIE u 2 C 2(K) \ C 1 (K) SLEDU@]EJKRAEWOJ ZADA^I:u = 0 W K@u @n jxj=1 = '1(x1 x2)ujxj=2 = '2 (x1 x2)' 1 '2 {PROIZWOLXNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQHjxj = 1 I jxj = 2 SOOTWETSTWENNO?B) nAJDITE REENIE POSTAWLENNOJ W P.
(a) ZADA^I, ESLI'1 = cos '2 = sin ( | POLQRNYJ UGOL NA PLOSKOSTI).63dIRIHLE W POLOSE =5.40. A) dOKAVITE, ^TO REENIE ZADA^I(x y) : 0 < x < 1 ;1 < y < +1u = 0 W ux=0 = '1 (y)ux=1 = '2(y)'1 '2 2 C( 1) NEEDINSTWENNO.B) eDINSTWENNO LI REENIE PREDYDU]EJ ZADA^I S DOPOLNITELXNYM USLOWIEMu(x y) ! 0 PRI jyj ! 1?R5.41. pUSTX Q | OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @Q KLASSAC 1: mOVET LI REENIE u 2 C 2(Q) \ C 1(Q) KRAEWOJ ZADA^I@uu ; u = 1 W Q@n @Q = 0(~n | WNENQQ NORMALX K @Q) BYTX STROGO POLOVITELXNYM W Q?5.42.pUSTX K = B12 (0) u(x y) | REENIE ZADA^Iu = x2yu@K = 0:nAJDITE u(0 0):5.43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
