Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 3
Текст из файла (страница 3)
pRI KAKIH 2 FUNKCIQ f(x) = ln jxj cos( jxj), GDEx = (x1 : : : xn), PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 (B1n=2 (0))?1.17. pUSTX1.13.RRD = f(x1 : : : xn) 2 n j x21 + + x2n;1 < ax2n 0 < xn < +1g:dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ POSTOQNNOJ C > 0 NAJDUTSQTAKAQ1OGRANI^ENNAQ OBLASTX D I TAKAQ FUNKCIQ f 2 H (), ^TOZ1.18.f 2 (x) dx > CZjrf(x)j2dx:RsPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE 2 = (x y) j 0 < x < 1;1 < y< +1?pUSTX Q = B1n (0).
sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TOju(0)j 6 C kukH 1(Q) 8u(x) 2 C 1(Q) ?;1.20. rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H 1 (;1 1) MNOVESTWO AGLADKIH FINITNYH FUNKCIJ '(x), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@'0 (0) + '(0) = 0, 2 . nAJDITE KORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ A;MNOVESTWA A W H 1 (;1 1) .1.21. pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ OBLASTI NA PLOSKOSTI 2, TAKOJ ^TO FUNKCII C 1() NE SOSTAWLQ@T WS@DU PLOTNOGOMNOVESTWA W PROSTRANSTWE H 1 (), T. E. C 1() 6= H 1():1.19.RR152 oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S^ASTNYMI PROIZWODNYMIkLASSIFIKACIQ URAWNENIJ.
hARAKTERISTIKIRlINEJNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA IMEET WIDnnXXni j =1aij uxi xj +i=1ai uxi + au = g(x)x2aij = aji: (1)wEKTOR = (1 : : : n ) IMEET HARAKTERISTI^ESKOE NAPRAWLENIE, ESLInXi j =1aij i j = 0:pOWERHNOSTX (x) = 0 NAZYWAETSQ HARAKTERISTIKOJ URAWNENIQ (1), ESLI NORMALX K \TOJ POWERHNOSTI = r IMEET HARAKTERISTI^ESKOE NAPRAWLENIE W KAVDOJ TO^KE, T.E.nX@ @i j =1aij @x @x = 0:i j; eSLI MATRICU aij PRIWESTI K DIAGONALXNOMU WIDU, TO WSOOTWETSTWII SO ZNAKAMI DIAGONALXNYH \LEMENTOW, URAWNENIQPODRAZDELQ@TSQ NA \LLIPTI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENULEWYE I ODNOGO ZNAKA), GIPERBOLI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENULEWYE I ROWNO ODIN OTLI^AETSQ PO ZNAKU OT OSTALXNYH), PARABOLI^ESKIE (KOGDA SU]ESTWUET ROWNO ODIN NULEWOJ,A OSTALXNYE \LEMENTY ODNOGO ZNAKA).
oSTALXNYE TIPY MY NENAZYWAEM.u URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMIa11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2 uy + cu = g(x y)HARAKTERISTIKAMI QWLQ@TSQ KRIWYE, KOTORYE NAHODQTSQ IZURAWNENIQa11(dy)2 ; 2a12dx dy + a22(dx)2 = 016NAZYWAEMOGO HARAKTERISTI^ESKIM. eSLI a11 =6 0, TO I]EMREENIE W WIDE y = y(x), GDEpdy = a12 Ddxa11D = a212 ; a11a22 |DISKRIMINANT.w ZAWISIMOSTI OT ZNAKA DISKRIMINANTA WOZNIKA@T TRI SLU^AQ.gIPERBOLI^ESKIJ SLU^AJ: D > 0, DWA SEMEJSTWA HARAKTERISTIK (x y) = C I (x y) = C.
pRI ZAMENE = (x y) = (x y):URAWNENIE PRIWODITSQ KO WTOROJ KANONI^ESKOJ FORMEu + MLADIE ^LENY = 0:w SLU^AE ZAMENY = + = ;URAWNENIE PRIWODITSQ K PERWOJ KANONI^ESKOJ FORMEu ; u + MLADIE ^LENY = 0:pARABOLI^ESKIJ SLU^AJ: D = 0, ODNO SEMEJSTWA HARAKTERISTIK (x y) = C. l@BOJ NEWYROVDENNOJ ZAMENOJ WIDA = (x y) = (x y)GDE (x y) | NEKOTORAQ FUNKCIQ OT DWUH PEREMENNYH, URAWNENIEPRIWODITSQ K KANONI^ESKOJ FORMEu + MLADIE ^LENY = 0:|LLIPTI^ESKIJ SLU^AJ: D < 0, DEJSTWITELXNYH HARAKTERISTIK NET, NO ESTX DWA SEMEJSTWA KOMPLEKSNO SOPRQVENNYHHARAKTERISTIK (x y) i(x y) = C.
dLQ PRIWEDENIQ K KANONI^ESKOJ FORME (TOLXKO K PERWOJ) NEOBHODIMO SDELATX ZAMENU = (x y) = (x y):17w \TOM SLU^AE URAWNENIQ PRIWODITSQ K WIDUu + u + MLADIE ^LENY = 0:2.1.sU]ESTWUET LI URAWNENIE WIDAnXRi j =1aij (x1 : : : xn) uxixj = 0Raij 2 C( n)RQWLQ@]EESQ \LLIPTI^ESKIM NA NEPUSTOM MNOVESTWE D D 6= n, I GIPERBOLI^ESKIM NA EGO DOPOLNENII nnD?2.2.
wERNY LI SLEDU@]IE UTWERVDENIQ: ESLI URAWNENIEnXni j =1aij (x1 : : : xn) uxixj = 0RRn,aij 2 C( )| GIPERBOLI^ESKOE (\LLIPTI^ESKOE, PARABOLI^ESKOE) W TO^KE(x1 : : : xn), TO ONO QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM (SOOTWETSTWENNO\LLIPTI^ESKIM, PARABOLI^ESKIM) TAKVE W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI?2.3. dLQ KAKIH IZ TREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTIut = uxxutt = uxxutt = ;uxxSU]ESTWUET NEPOSTOQNNOE REENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMKNUTYMI LINIQMI UROWNQ?2.4. pRI KAKIH (x y z) 2 3 URAWNENIEuxy + (3x + y ; z)uxz + (3x ; y + z)uyz = 0QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM?2.5. nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx ; y2 uyy = 0, PROHODQ]IE ^EREZ:A) TO^KU (1 2)B) TO^KU (1 0).18R2.6.A) nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQuxy ; uyy ; ux + uy = 0:B) nAJTI EGO OB]EE REENIE.2.7.
A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ 2uxx + uxy = 1.B) nAJTI EGO HARAKTERISTIKI.W) nAJTI EGO OB]EE REENIE.2.8. A) oPREDELITX TIP URAWNENIQuxx ; 2uxy ; 32uyy + uy + ux = 0(2)W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA .B) pRIWESTI URAWNENIE (2) K KANONI^ESKOJ FORME.W) nAJTI OB]EE REENIE \TOGO URAWNENIQ.2.9. A) nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET LINEJNAQ ZAMENAPEREMENNYH (x y) ! (t z), PEREWODQ]AQ URAWNENIEuxx + 4uxy ; uyy = 0(3)| W URAWNENIE STRUNY utt = uzz | W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = uzz .B) tE VE WOPROSY OB URAWNENIIuxx + 4uxy ; uyy ; ux + 2uy = 0:W) pUSTX FUNKCIQ u(x y) 2 C 2(B12 (0)) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (3) PRI NEKOTOROM ZNA^ENII < ;10.
wOZMOVNO LI PRI\TOM u 2= C 1(B12 (0))?G) tOT VE WOPROS DLQ > 10.2.10. pUSTX = f(x y) 2 2 j x2 + (y ; 2l)2 < l2 g, FUNKCIQu 2 C 2 () UDOWLETWORQET URAWNENI@y2uxx + sign2 uyy = 0 W OBLASTI .A) wOZMOVNO LI, ^TO u 2= C 3() W SLU^AE l > 0?B) tOT VE WOPROS W SLU^AE l < 0.19R2.11.nA PLOSKOSTI (x t) 2R2 RASSMATRIWA@TSQ URAWNENIQut ; ux = 02utt ; ( + 1)2 utx + 2uxx = 0:(4)(5)A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4).B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE REENIE u(x t) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I REENIEM URAWNENIQ (5)?dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P.
B) ZNA^ENIJ PARAMETRA :W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5)G) UKAZATX NEKOTOROE REENIE u(x t) URAWNENIQ (5), KOTOROENE QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TO TAKOGOREENIQ NET.D) tOT VE WOPROS OB OGRANI^ENNOM REENII.2.12.nAJTI HARAKTERISTI^ESKIE PLOSKOSTI URAWNENIQutt = uxx + uyyPROHODQ]IE ^EREZ PRQMU@ t = 0, y = x.2.13.nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQRuxx + 2uyy + 2uyz + 2uzz + uz + u = 1PRI KAVDOM 2 .2.14. nAJTI OB]EE REENIE URAWNENIQuxx + 2uxy + 2uxz + uyy + 2uyz + uzz ; u = 0:2.15.
A) pRIWESTI K WIDU, NE SODERVA]EMU NESMEANNYH PROIZWODNYH WTOROGO PORQDKA, SLEDU@]EE URAWNENIE:uxx + uxy ; 2uyy + 3(x + y)ux + 6(x + y)uy + 9u = 0:B) nAJTI OB]EE REENIE ISHODNOGO URAWNENIQ.202.16. pRI KAKIH WE]ESTWENNYH I TEOREMA O SU]ESTWOWANIII EDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGO REENIQ NEHARAKTERISTI^ESKOJ OBOB]ENNOJ ZADA^I kOI PRIMENIMA K SLEDU@]EJ ZADA^E:uxy + 3uyy + u = xyuS = uxS = uy S = 0GDE S ZADAETSQ URAWNENIEM x + y = 1?2.17. A) nAJTI WSE ZNA^ENIQ , DLQ KOTORYH SU]ESTWUET FUNKCIQ u(x y), PRINADLEVA]AQ C 1( 2) \ C 2(fx > 0g) \ C 2(fx 6 0g),UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@uxx + uxy + uyy = 0 PRI x 6= 0I USLOWIQMux=0 = 1ux x=0 = 0NO NE PRINADLEVA]AQ C 2(Ba2 (0 y0)) NI PRI KAKIH y0 2 I a > 0.B) nAJTI WSE , DLQ KOTORYH PRI L@BOJ f 2 L1 loc( ) FUNKCIQ u(x y) = f(x + y) UDOWLETWORQET W D0( 2) URAWNENI@ IZPUNKTA A).RRRRkORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^oPREDELENIE KORREKTNOSTI.
pUSTX ZADANO URAWNENIE Lu = fc DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI Bj u = gj . |TA ZADA^A POSTAWLENAKORREKTNO W PARE LINEJNYH NORMIROWANNYH PROSTRANSTW E0 IE1, ESLI1) DLQ WSEH NABOROW DANNYH (f gj ) 2 E1 SU]ESTWUET REENIEu 2 E02) \TO REENIE EDINSTWENNO3) SU]ESTWUET TAKAQ POSTOQNNAQ K, NE ZAWISQ]AQ OT (f gj ),^TO kukE0 6 K k(f gj )kE1 :pOD^ERKNEM, ^TO PROSTRANSTWA E0 E1 NE OBQZANY BYTX BANAHOWYMI, T.E.
POLNYMI.21rASSMATRIWAETSQ ZADA^Autt = uxx(x t) 2 := (x t) j 0 6 t 6 2x 0 6 x < +1 ut=0 = 0ut=2x = '(x)0 6 x < +12.18.R R' 2 C 2 ( + ) \ L1 ( + )'(0) = '0 (0) = '00(0) = 0: (6)kORREKTNA LI ONA W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDEE0 = C 2() \ L1 ()E1 = '(x) j ' UDOWLETWORQET (6)2.19.k'kE1= sup j'(x)j?E0 = u(x t) j u 2 Cx t (Q) \ C(Q)'(x) j ' 2 C 1(0kukE0R+= max ju(x t)jQ1]) '(0) = '(1) = 0k'kE1 = max j'(x)j?0 1]kORREKTNA LI ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQRutt = uxxW POLOSE Q := QT (0 < T < +1) S USLOWIQMI22(x t) 2 Q := (0 1) (0 2]0 6 x 6 106t62W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE212.20.= sup ju(x t)jkORREKTNA LI KRAEWAQ ZADA^A: ut = uxxu t=0 = '(x)ux=0 = ux=1 = 0E1 =kukE0u t=0 = '1 (x)ut t=0 = '2 (x)x2RW PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE2E0 = u(x t) j u 2 C (Q) sup ju(x t)j < +1kukE0Q= sup ju(x t)jRRQ;E1 = (x) = '1(x) '2 (x) j '1 2 C 2( ) '2 2 C 1( )Rsup j'j (x)j < +1 (j = 1 2)k kE12.21.RR= sup j'1(x)j + sup j'2(x)j?kORREKTNA LI ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQRut = ;uxxRW POLOSE Q := QT (0 < T < +1) S USLOWIEMut=0 = '(x)x2W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE21E0 = u(x t) j u 2 Cx t (Q) \ C(Q) \ L1 (Q)R Ron jE1 = '(x) ddx'j 2 C( ) \ L1 ( ) (j = 0 1 : : : p) dj '(x) pXkukE0 = sup ju(x t)jk'kE1 =sup dxj NQj =0Rp 2 FIKSIROWANO?2.22.rASSMATRIWAETSQ ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQutt = uxS USLOWIQMIut=0 = '1 (x)utt=0 = '2 (x):23A) pRIMENIMA LI K NEJ TEOREMA kOI - kOWALEWSKOJ W SLU^AEANALITI^ESKIH '1 I '2 ?B) kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDEE0 = u(x t) j u 2 Cx1 t2(Q) \ L1 (Q)Q := Q1 jnoE1 = =('1 '2) ddx'ji 2 C( ) \ L1 ( ) (i = 1 2 j = 0 1 2) dj ' (x ) 2 X2Xk kE1 =sup dxi j 1 ?kukE0 = sup ju(x t)jQR RRi=1 j =02.23.rASSMATRIWAETSQ KRAEWAQ ZADA^Au + u = 0R(x t) 2 Q :=RR RR++x tu t=0 = g1(x) x 2 + u x=0 = g2(t) t 2 + :nAJTI WSE , PRI KOTORYH \TA ZADA^A KORREKTNA W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDER RE0 = C 1(Q) \ L1 (Q)gkukE0= sup ju(x t)jQ1E1 = = (0 g1 g2) j gj 2 C ( + ) \ L1 ( + ) (j = 1 2)g1(0) = g2(0) g20 (0) + g10 (0) = 0k kE1 = sup jg1(x)j + sup jg2(t)j:R+2.24.RR+rASSMOTRIM ZADA^U kOI W POLOSE = 1x0 y0] Wu + u= 0 W u 2 C 2 () \ C 1()uy=0 = '(x)uy y=0 = (x)RR2xy'(x) (x) | OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA 1x: kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW u 2 E0 (' ) 2E1 GDEE0 = C()kukE0 = sup ju(x t)jR RE1 = C( 1x) C( 1x)24k kE1RR= sup j'(x)j + sup j(x)j?3 uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPAsU]ESTWUET LI FUNKCIQ u 2 C 2(B12 (0) nf0g), UDOWLETWORQ@]AQ W B12 (0) n f0g URAWNENI@ ux1x1 = ux2 x2 I NEOGRANI^ENNAQW B12 (0)nf0g?3.2.
pUSTX FUNKCIQ u(x) 2 C 2( 2) UDOWLETWORQET URAWNENI@ux1 x1 = ux2 x2 W 2, I u(x) = 0 PRI WSEH x 2 B12 (0). nAJTI NAIBOLXEE MNOVESTWO W 2, NA KOTOROM NEOBHODIMO u(x) = 0.3.3. rASSMOTRIM ZADA^U kOI NA PLOSKOSTI (x t) S DANNYMINA HARAKTERISTIKE ft = xg DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = uxxut=x = '(x) ux t=x = (x):3.1.R RRpRIDUMAJTE TAKIE GLADKIE FUNKCII '(x), (x), ^TOBY DANNAQZADA^A NE IMELA REENIQ.3.4. pRIWESTI PRIMER FUNKCIJ ' 2 C 2( ) TAKIH, ^TO ZADA^AkOIuxx + 5uxy ; 6uyy = 0uy=6x = '(x) uy y=6x = (x)RA) IMELA BY REENIE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
