Решённые экзаменационные задачи (1127869), страница 6
Текст из файла (страница 6)
dOKAZATX, ^TO PRI FIKSIROWANNOM x0 2 FUNKCIQ u(x0 t) QWLQETSQ NEWOZRASTA@]EJ PO t 2 (0 T).4.23. pUSTX u(x t) 2 C 2 (Q) \ C(Q) | KLASSI^ESKOE REENIE WQ := Q1(0 1) KRAEWOJ ZADA^I; ut = uxx+v(x t) ux=0 = ux=1 = 0 ut=0 = '(x) 2 C 1 0 1]v(x t) | OGRANI^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQOCENKE jvj 6 C, C > 0 | ZADANNAQ POSTOQNNAQ.mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ v(x t) ^TO u(x t) 0 PRIWSEH t > t , t | NEKOTORAQ POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ?4.24.
pUSTX u(x t) 2 C 2 (Q) \ C 1 (Q) | KLASSI^ESKOE REENIEW Q := Q1(0 1) KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx + 3uux=0 = ux=1 = 0dOKAZATX, ^TO DLQ u(x t) IMEET MESTO NERAWENSTWOu(x t) 6 Ce;6tC = const > 0:pUSTX u(x t) 2 C 2(Q) \ C 1 (Q) | REENIE W Q := Q1(0 1)KRAEWOJ ZADA^I1;4.25.ut = uxxux x=0 = 1 ux x=1 = ;1 u t=0 = '(x) 2 C0 (0 1) :oGRANI^ENO LI \TO REENIE NA Q? (T.E.
RASTET LI TEMPERATURA?)44pUSTX u(x t) | REENIE W Q := Q1(0 1) ZADA^Iut = uxxux=0 = f(t) ux=1 = g(t)ut=0 = '(x)4.26.f g ' | GLADKIE FUNKCII, PRI^EMf(t) ! a PRI t ! 1g(t) ! b PRI t ! 1:kAKOJ PREDEL PRI t ! 1 W PROSTRANSTWE C0 1] (ESLI TAKOWOJWOOB]E ESTX) IMEET REENIE u(x t) \TOJ ZADA^I?zADA^A kOIRRkLASSI^ESKIM REENIEM ZADA^I kOI 2DLQURAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ u 2 Cx t1(T ) \ C(T ), OPREDELENNAQ W SLOE T = f(x t) 2 n+1 j x 2 n 0 < t 6 T g IUDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ut = a2 xu + f(x t) (a > 0)I KRAEWYM USLOWIQMR(x t) 2 Tut=0 = '(x) 2 Cb ( n)GDE '(x) f(x t) | ZADANNYE NEPRERYWNYE OGRANI^ENNYE FUNKCII.rEENIE ZADA^I kOI W KLASSE OGRANI^ENNYH FUNKCIJ SU]ESTWUET, EDINSTWENNO I WYRAVAETSQ INTEGRALOM pUASSONAZ 2u(x t) = ; p1 n exp ; jx4a;2tj '() d +2a t+Zt ZR0 nRn jx ; j21; p exp ; 4a2 (t ; ) f( ) d d:2a (t ; ) nRRzAME^ANIE.
pUSTX u(x t) | REENIE ZADA^I kOI(ut = u W n +ut=0 = '1(x1 ) : : : 'n(xn )Rx2 n45R RQn'k (xk ) 2 C( ) \ L1( ) k = 1 : : : n. tOGDA u(x t) = uk (x t),k=1GDE uk (x t) | REENIQ ZADA^ kOI((uk )t = (uk )xxuk t=0 = 'k (x)RR RWx2+k = 1 : : : n:dLQ OGRANI^ENNYH REENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTISPRAWEDLIW PRINCIP MAKSIMUMA W SLOE:ESLI FUNKCIQ u(x t) 2 C 2(T ) \ Cb (T ) UDOWLETWORQET W SLOET ODNORODNOMU URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2uxx , TOinf u(x 0) 6 u(x t) 6 supn u(x 0) 8(x t) 2 T :x2 nRRx2dLQ OGRANI^ENNYH REENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTISPRAWEDLIWY TEOREMY O STABILIZACII:pUSTX u(x t) | OGRANI^ENNOE REENIE ZADA^I kOI(ut = uxxW +u t=0 = '(x)x2R RRR R'(x) 2 C( ) \ L1 ( ): tOGDAA + A; :1.
eSLI lim '(x) = A TO lim u(x t) = +x!1t!+12Z12. eSLI lim'(x)dx = A TO t!limu(x t) = A2 :+1l!+1 l;l3. eSLI '(x) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO lim u(x t) = '0t!+1GDE '0 | NULEWOJ KO\FFICIENT RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) W RQDfURXE, PROSTRANSTWENNOE SREDNEE.l464.27.sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA W SLOE DLQ URAWNENIQut +x u = 0 W TOM VE WIDE, W KAKOM ON SPRAWEDLIW DLQ URAWNENIQTEPLOPROWODNOSTI?4.28.
dOKAZATX, ^TO REENIE u(x t) ZADA^I kOI DLQ URAWNENIQ ut = uxx BUDET NE^ETNYM PO x, ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQu(x 0) | NE^ETNAQ.4.29. pRI KAKIH t > 0 SU]ESTWUET INTEGRAL, WHODQ]IJ W FORMULU, KOTORAQ DAET REENIE ZADA^I kOIut = uxxut=0 = '(x)ESLI TREBOWANIE OGRANI^ENNOSTI '(x) ZAMENQETSQ PREDPOLOVE-NIEMj'(x)j 6 MeKx2M >0K > 0?R R R RRRRRR RR RRR4.30. dOKAVITE (ISPOLXZUQ INTEGRAL pUASSONA), ^TO SU]ESTWUET REENIE u(x t) 2 C 2 ( +) W + SLEDU@]EJ ZADA^I:ut = uxxu(x t) ! '(x) W L2 ( ) PRI t ! 0GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ IZ L2( x) (NE OBQZATELXNO NEPRERYWNAQ!)4.31. eDINSTWENNA LI FUNKCIQ u(x t) SO SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: u 2 Cx2 t1( (0 h])ut = uxx (x t) 2 (0 h]lim u(x t) = 0 8x 2 sup ju(x t)j < +1t!0x28t 2 (0h]?4.32.
pUSTX G = f(x t) j x 2 t 2 ; g. nAJTI WSE FUNKCIIu(x t), PRINADLEVA]IE Cx2 t1(G) OGRANI^ENNYE W G I UDOWLETWORQ@]IE W G URAWNENI@ ut = uxx .4.33. pUSTX u(x t) | REENIE W + ZADA^I kOI2 + sin xut = 4uxxut=0 = x1 +2x2 :nAJTI t!limu(x t):+1474.34.RRpUSTX u(x t) | REENIE W + ZADA^I kOIut = uxxut=0 = arcctg x:RRR RnAJTI t!limu(x t):+14.35.kOIpUSTX u(x t) | OGRANI^ENNOE REENIE Wut = uxx+ ZADA^Iut=0 = '(x) 2 C( ) \ L1 ( ):Zl1nAJTI t!limu(0 t), ESLI l!lim'(x) dx = A:+1+1 l ;lnAJTI t!limu(x y t) GDE u(x y t) | REENIE W+1ZADA^I kOIut = uxx + uyyut=0 = '(x y)4.36.RR2 +PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH:22A) '(x y) = 1 +x 2x2 B) '(x y) = sin2 y W) '(x y) = (x1 +sin2xy)2 :4.37.RRA) rEITX ZADA^U kOI W 3 +ut = u ; 3uut=0 = e;(x1 +x2 +x3 ) :B) nAJTI tlim!1 u(x t):4.38.nAJTI tlim!148RRpUSTX u(x t) | REENIE W + ZADA^I kOI:ut = uxxut=0 = e;x2 :Z10u(x t) dx:RR4.39.
pUSTX u(x t) | REENIE W + ZADA^I kOI URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S \POTENCIALOM":ut = uxx ; uut=0 = sin2 x:dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A, TAKAQ, ^TOu(x t) ; Ae;t 6 (t)e;tGDE FUNKCIQ (t) ! 0 PRI t ! 1. nAJTI POSTOQNNU@ A.4.40. pUSTX POLOVITELXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ut = uW SLOE 3 (0 1) Iu0W KUBE (0 1) (0 1) (0 1) (0 1):wERNO LI, ^TO u 0 W SLOE 3 (0 1)?4.41. pUSTX u 2 C 2 (QT ) \ C(Q T ) | REENIE W POLOSE QT ZADA^I kOIut = uxxut=0 = 0 I ju(x t)j 6 C jxj:RRRRRRRR R RRRRRdOKAZATX, ^TO u 0 W QT .4.42. pUSTX := + n f(0 1)g | POLUPLOSKOSTX S ODNOJ\WYKOLOTOJ" TO^KOJ u(x t) | REENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W I ju(x t)j < M PRI (x t) 2 . dOKAZATX, ^TO OSOBENNOSTX W TO^KE (0 1) USTRANIMA, T.E. MOVNO TAK DOOPREDELITXFUNKCI@ u(x t) W \TOJ TO^KE, ^TO ONA BUDET REENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W +.4.43.
nAJTI REENIE u(x t) 2 C( + ) ZADA^I:ut = uxx (x t) 2 + ux=0 = cos 5t t 2 sup ju(x t)j < 1:R495 uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPAgARMONI^ESKIE FUNKCIIfUNKCIQ u 2 C 2() NAZYWAETSQ GARMONI^ESKOJ W OBLASTI ,ESLIu = 0:tEOREMA O SREDNEM. eSLI u | GARMONI^ESKAQ W OBLASTI FUNKCIQ, TOZu(x0) = jS n 1(x )ju(x) dsR 0 nSR (x0 )Zu(x0) = jB n1(x )ju(x) dx:R 0 nBR (x0 )pRINCIP MAKSIMUMA. pUSTX u GARMONI^ESKAQ W I NEPRERYWNAQ W FUNKCIQ I u(x0) = M max, x0 2 , TOGDA u MW :tEOREMA lIUWILLQ. eSLI u | GARMONI^ESKAQ W n OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ, TO u const.RlEMMA hOPFA{oLEJNIK O NORMALXNOJ PROIZWODNOJ.pUSTX GARMONI^ESKAQ W ARE B FUNKCIQ u(x) | OTLI^NA OTPOSTOQNNOJ, u 2 C(B) I PUSTX u PRINIMAET NAIMENXEE (NAIBOLXEE) ZNA^ENIE W TO^KE b 2 @B.
eSLI W TO^KE b SU]ESTWUET@u , GDE | NAPRAWLENIE, OBRAZU@]EE OSTRYJ UGOLPROIZWODNAQ @ S WNENEJ NORMALX@ K GRANICE ARA @B W TO^KE b, TO @u @u@ < 0@ > 0 :nERAWENSTWO hARNAKA. pUSTX u | GARMONI^ESKAQ W AREBRn (0) I NEPRERYWNAQ W B nR (0) NEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ, TOGDA50u(0)Rn;2 (RR+;jxjjx)nj ;1 6 u(x) 6 u(0)Rn;2 (RR;+jxjjx)nj ;1 :tEOREMA OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI. eSLI u | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W n f0g I u(x) 6 (x)En (x)GDE (x) ! 0 PRI x ! 0, A En | FUNDAMENTALXNOE REENIEOPERATORA lAPLASA, TO FUNKCI@ u MOVNO DOOPREDELITX W 0 TAK,^TOBY u BYLA GARMONI^ESKOJ WEZDE W :tEOREMA O POTOKE.
eSLI u | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W u 2 C 1 () TOZ @u@@ dS = 0GDE | WEKTOR WNENEJ NORMALI K @:5.1.RYHRnAJTI WSE GARMONI^ESKIE W2 FUNKCII u(xy) DLQ KOTO-uy (x y) = 3xy2 ; x3:5.2.nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W5.3.nAJTI WSE GARMONI^ESKIE WL2 ( n):RYHRRRRux (x y) < uy (x y)n FUNKCII, PRINADLEVA]IER2 FUNKCII u(x8 (xy) 2y) DLQ KOTO-2:pUSTX = (x y) 2 2 0 < x < 1 0 < y < 1 u 2 C 2()u = 0 W uy=0 = uy=1 = 0 PRI 0 6 x 6 1:5.4.Z1mOVET LI FUNKCIQ f(x) := u2 (x y) dy IMETX TO^KU PEREGIBAWNUTRI INTERWALA (0 1)?0515.5. pUSTX u(x) { GARMONI^ESKAQ W Ban (0) I NEPRERYWNAQ WBan (0) FUNKCIQ, u(0) = 0.
nAJTI SWQZX MEVDU ^ISLAMIZBu(x) dx I+ZBu(x) dx;GDE B + = x 2 Ban (0) u(x) > 0 B ; = x 2 Ban (0) u(x) < 0 :5.6.pUSTX u { GARMONI^ESKAQ W B12 (0) FUNKCIQ. nAJTIZ205.7.u (1 ) d:pUSTX u(x) 2 C 2(B12 (0)) \ C(B12 (0))nAJTIu(x) = 0u(x) = x22u(x) = x2ZB (0)x := (x1 x2) 2 B12 (0)x 2 S12 (0) x2 > 0x 2 S12 (0) x2 < 0:u(x) dx:21=25.8.pUSTX u(x) = 1 x 2 B22 (0)nB12 (0): ~TO BOLXE:Z @uZ @u()dsILI@@ ( ) ds?S12 (0)5.9.S22 (0)pUSTX 1 2 uk 2 C 2(k ) \ C(k )uk (x) = 0 x 2 k f1 (x1) < f2 (x2)uk (x) = fk (x) x 2 @k (k = 1 2)8x1 2 @1 8x2 2 @2 x0 2 1 { PROIZWOLXNAQ TO^KA.
~TO BOLXE: u1(x0 ) ILI u2(x0 )?525.10.pUSTX u 2 C 2 (B12 (0)) \ C(B12 (0))ux1 x1 + ux1 x2 + ux2 x2 = 1x := (x1 x2) 2 B12 (0):mOVET LI u(x) IMETX WNUTRI B12 (0)A) MAKSIMUMB) MINIMUM?5.11. pUSTX u 2 C 2 () \ C() q 2 C()u(x) + q(x) u(x) = 0 x 2 M = max u(x) m = maxu(x):@wOZMOVNO LI, ^TO M > m, ESLIA) q(x) 0B) q(x) > 0W) q(x) < 0 M > 0G) q(x) < 0 M < 0?5.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
