Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 98
Текст из файла (страница 98)
~рупие всех перестановок на множестве из д элементов. Таким образом, симметрическую группу Б» и ее подгруппы можно представлять в виде групп перестаиовочных многочленов. 2 з.. ыз 450 Гл 7. Перестнновочние иногочлени 7.18. Теорема. Если д ) 2, то многочлен х» — » вместе со всеми линейными многочленами над полем сч порождает группу 5». Доказательство. Заметим, во-первых, что в силу теоремы 7.8 все указанные многочлены являются перестаиовочиыми много- членами поля Т . Известно, что каждую перестановку элементов множества 1т» можно разложить в произведение транспозиций. На самом деле достаточно рассматривать лишь транспозиции вида (О а), а е Ц, так как любую транспозицию (Ь с) ~ 5 можно представить в виде (Ь с) = (О Ь) (О с) (О Ь).
С другой стороны, многочлен ),(х) =- — а'1((х — а)»" ра — ')»-'-' а1»-' является представлением транспозиции (О а) и при этом является композицией линейных многочленов и многочлена х» — ». 11 Выбор укаэанных в теореме миогочленов в качестве образующих элементов группы 5» основывается на том, что они являются достаточно простыми по форме миогочленами. Из выражения для ), (х) становится очевидным, что простая форма записи много- члена и простота соответствующей перестановки — понятия не эквивалентные.
7.19. Теорема. Если о > 2, и с — фиксированный примитивный элемент поля Кч, то симметрическая группа 5„порождается многочленами сх, х --' 1 и х» — '. Доказательство. Пусть а, Ь Е ~7,; тогда а — с', Ь = с', где з и à — некоторые натуральные числа, э - Г',. !.
Утверждение теоремы следует теперь из равенств (ах) =(с'х) = (сх)', (ах '-Ь) = (сх)' — '(х--1)(сх)' и теоремы 7.18. п Развивая дальше этот подход, мы можем найти образующие элементы знакоперемеиной группы А», которая является подгруппой группы 5», образованной всемй четными перестановками. Далее будем называть перестановочный многочлен поля четным, если соответствующая ему перестановка элементов рч является четной. 7.20.
Лемма. Пусть а е 1'», где у > 2. Тогда многочлены х + а и (х» ' + а)» — ' всегда являются четными перестановочными много- членами, а многочлен ах является четным перестановочным много- членом тогда и только тогда, когда элемент а является квадратом некоторого элемента из К . Кроме того, много лен х» является четным пересп»ановочным многочленом тогда и только тогда, когда о: — 3 (гпоб 4). й 3. Группы переотэновочных ыногочленов 451 докозительство. Перестановка, соответствующая многочлену а, разлагается на р' — ' циклов длины р, где о == р', а р— характеристика поля 1Г . Тогда если либо р нечетно, либо о =- 2' ;, е -: 1, то многочлен х '- а является четным перестановочным многочленом. Так как ((х» —" + а)» — ') =.
(х»-э) (х -1- а) (х» — э), ~о мпогочлен (х» — -' + а)' э является четным перестановочным многочленом. Далее. многочлен ах индуцирует перестановку элементов поля К» тогда и только тогда, когда а ~ 0; в этом случае (ах) = (сх)', где с — - примитивный элемент поля г», а и с". Перестановка, соответствующая многочлену сх, является циклом длины а — 1. Тогда условие четности многочлена ах следует из сказанного выше и того, что каждый элемент поля г, является квадратом. Если взять многочлен х» — э и рассмотреть соответствующую перестановку, то ее можно разложить на непересекающиеся транс- позиции, содержащие все элементы поля К», кроме О, 1 и — 1. Таким образом, эта перестановка разлагается на (о — 3)/2 транс- позиций, если д нечетно, и на (д — 2)/2, если д четно. П Определим теперь следующие классы перестановочных много- планов поля $» для в ) 2: й»= (ах+ Ь)аЕЦ, ЬЕГ»», А Е„, =.— (а'х -( Ь» а Е Ц, Ь Е 1Г»), (;1» = ((х» — '+ а)» — '~1а С К»».
Каждое из этих множеств образует группу относительно операции композиции многочленов с последующим приведением по модулю х' — х. Эти группы имеют следующие порядки: » Е ) = — в (д — 1», '~АЕ») == а(о — 1)!2 для нечетных о, »АЕ»( =- о(о — 1) для четных о и»(Ц = д. Группа ф, изоморфна аддитивиой группе поля К». Нетрудно доказать следующую теорему. 7.21.
Теорема. 1»усть д > 2, и пусть с — Фиксированный ц»имитивный элемент поля 1Е». Тогда (1) группа э*. порождается многочленами сх и х+ 1; (11) группа М1. порождается многочленами свх и х + 1; (и) знакоперемейная группа А» порождается своими подгруппами АЕ» и (с» (гм) зйакопеременная группа А» порождается многочленами сэх, х+1 и (х» — з 1-1)» — г Если дан класс перестановочных многочленов поля 11», замк- нутый относительно операции композиции, то можно задаться "оправам, какую подгруппу симметрической группы 5» представ- Гл. 7. Переотаоовочиые многочлены 452 ляет данный класс. Сначала изучим множество Р (а) (а — фикси- рованный элемент поля 1Гч) всех многочленов Диксона д»(х, а), которые являются перестаиовочными многочленами поля г"ч.
Тогда Р (О) = ( у» (х, О) ( й Е 1ч, НОД (1, у — 1) =- 1), Р (а) =- (д'»(х, а) ( й р1ц, НОД(й, д» вЂ” 1) .=-!1 для а „-ьО. 7.22. Теорема. Множество Р (а) замкнуто олсносительно операции композиции многочленов тогда и только тогда. когда а = — — О, 1 или — 1. Доказательство. Если а Е г'ч, к. т Е 1»). то ,(а„.(у-(+, а), -) =-а,~у + — "'.", ')= »м == у' -(- —,,„=- у»„,(уц —, а) по (7.8), а тогда у (х, а)=у (уы(х а), а"') (7.10) Когда а ~ 0 и Р (а) замкнуто относительно операции композиции многочленов, то а» (а (х, а), а) Е Р (а), если НОД (и, ໠— 1) = == НОД (т, д — 1) = 1. Таким образом, д» (д (х, а), а) =- — Ь» (х, а), и в силу (7.10) К»(ф„(х, а), а'") = — у»(я (х, а), а). Так как многочлеи д (х, а) не является постоянным, то д»(х, а'") = и»(х, а).
Сравнивая коэффициенты при х" — ' для всех н > 1, получаем, что а = а для всех т, удовлетворяющих соотношению НОД (т, ໠— 1) =- 1. Следовательно, а ' = а, откуда вытекает, что а = -~- 1. Обратно, если а = О, 1 или — 1, то в силу (7.10) множество Р (а) замкнуто относительно операции композиции многочленов.! ) Таким образом, в трех случаях, когда а = 1, а --- — ! и а == О, множество 6 (а) всех перестановок элементов го представимых с помощью многочленов из Р (а), является абелевой подгруппой симметрической группы Яч, Изучим теперь строение группы 6 (а). Пусть а =- ~ 1, Для любого сЕ !'ч можно найти такой элемент у Е Ц, что с = — у + ау '. Тогда для й:= т (шос1 (д» вЂ” 1)) из (?.8) получаем у»(с, а) =-а»(?+ау ', а) = у»-(-а»у» = у +а у = у„, (у + ау — ', а) + а' (с, а). 4 3, Группы переегаповочпых ыпогочлепов 453 Следовательно, если НОД (й, д' — 1) .= 1, то йгл (х, а) и д (х, а) индуциру!от одну и ту же перестановку элементов поля 1'ч.
Таким губразом, если каждому классу вычетов числа й по модулю Ч' — 1 сог!останить перестановку элементов поля 1'ч, индуцированную многочленом дл (х, а), то мы получим эпиморфизм ег' (де — 1) на группу 6 (а), где )ч (ае — 1) — приведенная группа классов выче- т! "ов по модулю де — 1, или, иначе говоря, группа обратимых е элементов кольца ЕУ(д' — 1). Теперь в силу теоремы 1.23 доста- точно найти ядро К (а) этого эпиморфизма.
если /г Е К (а), то дл (с, и) =- с для всех с с(Г , тогда если элене!гг у такой же, как и выше, то у" + а'у — ' == у + ау — '. Так как и" = и, то уе + ау — ' =- у + ау — ', следовательно, либо уе —.. 1, либо у" = ау ' и, таким образом, либо уе — ! =- 1, Либо у!+! = а для всех у ЕГ,"., таких, что у +ау — ! Е(Гч. (7,11) Этго же условие оказывается достаточным для того, чтобы й с К (а). Теперь у + ау — ' Р 1'ч тогда и только тогда, когда (у + ау — !)е —...
ау — !, а последнее эквивалентно тому, что уе ' = 1 или уе!' -== а. Пусть а = 1, и пусть ь — примитивный элемент поля Тогда или у — ь"!ге+!1, или у = ь" и '), где лг, п ~ 7., Таким образом, из (7.11) следует, что й Р К (а) тогда и только тогда, когда й является решением одной из следующих четырех систем сравнений: ! А = ! (шог((д — 1)), ( /г == ! (той (!) — 1)), и =- 1 (тог) (д -(- 1)), ~ й = — — ! (тоб (!7+ 1)), й = — 1 (шог) (!7 — 1)), )' Й: — — 1 (шод (!7 — 1)), й = 1(то!)(д +1)), 1 й = — 1(шог)(!7+1)). Решая эти системы по модулю г!е — 1, получаем, что К (1) =- [1, а, — и, — 1) для четного д К (1) =- (1, !1, — д, — 1, 1 + (дв — 1)!'2, д + (дв — 1)/2, — д + (!)е — 1)!2, — 1 + (де — 1)72) для нечетного д Случай а = — 1 исследуется аналогичным образом, и в этом случае получаем, что 1) = (1, д) при д: — 3 (то!) 4) 1) — (1, 1 1- (!)е 1)У2, !) -1- (де — 1)!2$ пРи д:— (1(шод 4).
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы: Гл. 7. Перестаноеочоые ыногочлены 454 Пользуясь равенством ре1 == р, и полагала, = а, для! == з(шос[г), получаем 51 55 51' 71 = Е [11а5 — 1 5=0 Если Л! и 532 — определители вида (3.13), образованные соответ- ственно элементами Це, Р1, " , [).
1 н 75 71 " 7.-1 то Ле =- Л, с$е1(А), где А — следующая матрица размера г к г: р- !Хс — 2 ,2 а, ! 2 р 55 — ! а! 5 — ! р 5 — ! Сез р ас †! ао аер а! р р р- р" ат-! а5-2 ат-з ао 7.23. Теорема. Если а = -~ 1, то группа 6 (а) изоморфна факторгруппе )!1 (де — 1))К (а), где К (а) определено выше. Гури этом [К (1)[ = 2 для д -' 2, [К (1) ! - — - 4 для четных д > 2, [К (1)[ -- — 4 для д .=-- 3, [К (!)[ == 8 для нечетных д > 3, [К ( — Ц! == 2, если д -.= 3 (шо!1 4), и [К ( — 1) ! = 4, если д --= : — 1 (шо5[ 4).
Группа 6 (О) изоморфна )55 (57 — !) — группе обратимых злелсентов кольца вычетов по л1одулю о — 1. Приведем еще один интересный класс перестановочных много- членов. Пусть Г, — расширение полн Ер. Рассмотрим лннеаризованные многочлены Е (х) вида 5 — ! Л(х) = ~~ а,х' Е[['р,[х!. (7.12) =о По теореме 7.9 многочлен Л (х) является перестановочным много- членом поля К, тогда и только тогда, когда он имеет в Е, един- О' р' ственный корень, равный О, т. е. тогда и только тогда, когда линейный оператор, индуцированный многочленом 1.
(х), в поле Е,„ рассматриваемом как векторное пространство над полем Е„ является невырожденным. В свою очередь этот линейный оператор является невырожденным тогда и только тогда, когда для любого набора элементов [)е, [11, ..., [1, ! Е Ер„линейно независимых над полем Ер, элементы 75 =- 7- (рр) 71 = 7- ([)1) ..., 7„, = Е (р, 1) также линейно независимы над полем Ер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
