Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 96
Текст из файла (страница 96)
!=о Тогда, полагая 0' = 1, получаем, что у! (а!) = ! и д! (Ь) =- О для всех Ь Е !То, Ь чь а;, Следовательно, миогочлен е-! о †! со†! д (х) = Д у! (х) = — ~; ~ ~~ ач! ' ' ) х отображает каждый элемент поля Ко в 1 тогда и только тогда, когда (а„а!, ..., ао т) = Еч. Так как с(ед (д) ( д, нз леммы 7.2 следует, что многочлен у отображает каждый элемент поля Ко в ! тогда и только тогда, когда у (х) =- 1, что эквивалентно условию (й). П 7,4. Теорема (критерий Эрмита).
Пусть р — характеристика поля Ко, Тогда многочлен !' Е Го 1х ) является перестановочным многочленом поля Го в том и только том случае, если выполняюптся следующие два условия: (!) многочлен 7 имеет ровно один корень в Го; (й) для каждого целого т, такого, что 1;( ! ( у — 2 и ! че! 0 (и!од р), резульпитт приведения многочлена 7' (х)' по модулю хе — х имеет степень с( ( д — 2. Доказан!ельспьзо. Пусть 7 — перестановочный многочлен поля Го Тогда необходимость условия (!) очевидна. Приводя много- член ) (х)' по модулю хо — х, получаем некоторый многочлен д — ! л, Ь! 'х', где Ь!'!, = — ~~ 7 (с)' по (7.!). По лемме 7З Ь!"!, = 0 !-.о ' ' ' сбГ для всех г' = — 1, 2, ..., д — 2, откуда следует условие (й), Обратно, пусть выполняются условия (1) и (й).
Тогда из условия (!) следует, что ~~ ~7(с)е — ' = — 1, в то время как из условия сЕГ Гл. ?. Перестан»но»вы» многочлены 440 (й) получаем, что ~~ 1(с)' = О для всех 1, 1Ф О (тоб р), 1 < »60» ~~ ! ... д — 2. Из равенства !(с)'ы = ! ~ !(су)» »Ег с т»Е!Г» получаем, что ~" ! (с)' — О дли всех 1 ~ы ! с,' д — 2; в то же время »ЕГ„ для ! — О это равенство очевидно. Тогда из леммы 7.3 следует, что !' является перестановочным многочленом поля Т».
7.5. Следствие. Если число И > 1 является делителем числа у — 1, то над полем Г не существует перестановочного много»лена степени д. Доказательство, Если ! Е г»!х! и бед !' .== д, то дед (~и пг") =. = д — 1, и тогда для ! -- (у — 1)!д условие (й) теоремы 7.4 не выполняется. П Из доказательства теоремы ?.4 очевидно, что если многочлен ! Е К !х ! является перестановочным многочленом поля !!'», то условие (й) теоремы 7.4 выполняется и без ограничения ! Ф О (шоб р). Условие же (!) может быть заменено другими, например, как в следующей теореме.
7.6. Теорема. Пусть поле К ч имеет характериппику р. Тогда многочлен )' р г !х ! является перестановочным многочленом поля Г в том и тогько том случае, если выполняются следующие два условия; (!) многочлен ) (х)» — ' (топ (х» — х)) имеет степень у —,1; (й) для любого целого 1, где 1» !.г в — 2 и ! ~ О (той р), многочлен !" (х)' (юоб (х» -- х)) имеет степень д = д — 2. Доказательство. Необходимость условия (й) следует из теоремы 7.4.
В обозначениях, используемых прн доказательстве этой теоремы, получаем, что о»!»:,о .=-. — ~„~ (с)»-'. » Е К'» Тогда если ? — перестановочный многочлен поля К , то 6» :1 =- 1, (»-~) и, таким образом, условие (!) выполняется. Обратно, пусть условия (!) и (й) выполняются. Тогда, как и в доказательстве теоремы 7.4, из условия (й) следует, что ? (с)' == О для всех О ., ! ~~ д — 2, в то время как из условия »е!Г» 4 2. Примеры перестаиовочиых миогочлеиов 44! (1) вытекает, что ~ 1 (с)» — ' ~ О.
Таким образом, многочлен сег, й(х) ==- — ~~ ( Е )(с)» — '-г) хг г=о (сЕГ» является ненулевым и постоянным. Если бы многочлен 7 не являлся перестановочным многочленом поля Г», то, рассуждая аналогично тому, как мы рассуждали при доказательстве леммы 7.3, можно было бы показать, что н (Ь) =- О для некоторого Ь Е Е Е», что невозможно. () Еще один критерий того, что данный многочлен является перестановочным многочленом, можно получить, используя понятие аддитивного характера конечного поля (см. 2 1 гл, 5). 7.7. Теорема. Многочлен 7 Е Г (х! являетпсл перестановочным много»ленам поля Е» тогда и только тогда, когда !((7 (с)) -- О (7.2) с е !г» для любого нетривиального аддитивного характера 7 поля Доказательство.
Если 7 — перестановочный многочлен поля Е, а у — нетривиальный аддитивный характер этого поля, то по формуле (5.9) !( (7 (с)) =-. 2.,' 2 (с) =- О. сЕТ» гбао» Обратно, если через уо обозначить тривиальный аддитивный характер поля !1' и считать, что равенство (7.2) выполняется для всех Х 4= Х», то для любого а Е Е» число 7хг решений уравнения 1(х) -= а в поле Е определяется в силу (5.10) равенством Ж =-- — ~~! ~) !((!'(с))у(а) = — 1 т — ~ Х(а) ~ ХО(с)) =- 1. гор'» х х='х«г Е Е» Следовательно, многочлен 7 является перестановочным много- членом поля !г».
5 2. Примеры перестановочных миогочленов Несколько простых примеров перестановочных многочленов можно получить с помощью следующих элементарных результатов. 7.8. Теорема. (!) Каждый линейный многочлен над полем 1Р является перестановочным много»ленам полл г» (П) Одночлен хи является перестановочным много»ленам поля ~г» тогда и только тогда, когда НОД (и, д — 1) = 1.
Гл. 7. Перестановочиые ыногочлены Доказательство. (1) очевидно, (й) Одночлен х" является перестановочным многочленом поля (Г« тогда и только тогда, когда отображение 7: с» с", с Е Еч, является отображением «на», а это имеет место тогда и только тогда, когда НОД (п, у — !) = 1 (надо использовать теорему 1.15 (й)). 7,9.
Теорема, Пусть К вЂ” поле характеристики р. Тогда р-многочлен .С(х) =- Е а<х»< ~ 1Г (х) <=о является перестановочным многочленом поля г в там и только том случае, если многочлен 7. (х) имеет в поле Кч единственный корень, равный О. Доказан<ельство. Иэ рассуждений, приведенных после определения 3.49, следует, что функция 7.: с 7 (с), с Е Еч, является линейным оператором в К (рассматриваемом как векторное пространство над полем (рр). <'огда отображение 7 является взаимно однозначным в том и только том случае, если многочлен 7. (х) имеет в поле гч единственный корень, равный О. Другие примеры перестановочных многочленов можно получить иэ приведенных выше результатов, если воспользоваться тем, что множество перестановочных многочленов замкнуто относительно операции композиции (т. е.
если 1 (х) и у (х) — перестановочные многочлены поля Еч, то( (д (х)) также является перестановочным многочленом поля Кч). Получаемый при этом класс перестановочных многочленов описывается следующей теоремой 7.10. Теорема. Пусть Т'ч — конечное поле, г Е Т4, НОД (г, <7 — 1) =- 1, и пусть з — полоясительный делитель числа у — 1.
Пус<пь, далее, д (х) Е г (х) — такой многочлен над полем что многочлен д (х') не ймеет ненулевых корней в поле гч. Тогд<а многочлен 7 (х) = — х" (д (х'))<' — и" является перестановочным многочленом поля Кч. Доказательство. Покажем, что многочлен 7 (х) удовлетворяет условиям теоремы 7.4, Условие (<) выполняется очевидным образом.
Чтобы доказать (й), возьмем 1 Е с„ 1 -~ 1.4 д — 2, и предположим сначала, что 1 не делится на з. Заметим, что 7 (х)' представляет собой сумму членов, показатели степени которых имеют внд г1-", тз, где т Е 7., т ) О. Так как НОД (г, з) =- 1, эти показатели степени не делятся на з и, следовательно, не делятся на д — 1. Тогда степень многочлена 1(х)' (шод (хе — х)) не превышает д — 2.
Если 1делится на з, скажем 1 = яз, где й Е В, то 7(х)< = хн(д(х'))<« — «"-. $ 2. Примеры перестаиовочных многочленов т блнцл 7.7 Ноачаепэоеоппне перес попоеоепме ппоеоеиенн поня К, а любое в и О (вой 2) а эй ! (пэоб 3) д и 0 (юоб 3) а=-7 ч =- 0 (юоб 2) х хэ хз хэ— хе ~ хе+ (а — не квадрат) Зх а,хе + а,х (если он имеет в ге единственный корень, равный 0) е) чй ! (пюд 5) д и 0 (пюд 5) в=9 а== 7 — 7 д =- ~2 (пюд 5) а —.= 13 Ч и — 0 (пюд 5) хэ хам хэ + хэ э хе+ х'+ хе+ хэ— (а не нвлаетсн четвертой степенью) (ае =- 2) 2х ахэ ~ х'+ За'х ахэ+ 5-таех ах'+ За'х 2ахэ -1- а'х (а — не квадрат) (а — проиавольный элемент) (а — не квадрат) (а — не квадрат) Для нечетных э) мы можем охарактеризовать перестановочные многочлены поля !)'ч вида х(чч!!ее+ ах. Для этого обозначим через т) квадратичный характер полн Г,, удовлетворяющий стандартному условию т) (0) =-- О.
Если положить й (х) ==- х", то, так как й (с*) -ь 0 для всех с ~ 5 г,, мы получаем, что /'(с) == й (с)! кроме того, 1(0) = И (0). Тогда по лемме 7.2 7' (х)' = х" (шод (хе — х)), и так как г7 не делится на д — 1, многочлен 7' (х)' (шод (хе — х)) является много- членом степени, не большей чем д — 2. Г) Из замечания, сделанного после теоремы 7.9, следует, в частности, что если 7 5 !)'ч!х ) — перестановочный многочлен поля Кч и Ь, с, И 5 !) ч, с ~ О, то 7э (х) = с7(х + Ь) + с( также является перестановочным многочленом поля Гч. Выбирая соответствующим образом константы Ь, с, а, можно получить многочлен 7т (х) в нормализованной форме. Последнее означает, что )э (х) является нормированным многочленом и при этом 7э (0) =- 0 и, если степень и многочлена )э (х) не делится на характеристику поля К„, то коэффициент при х" -' равен О.
Таким образом, можно ограничйться изучением нормализованных перестановочных многочленов. Пользуясь критерием Эрмита, можно получить все нормализованные перестановочные многочлены произвольной фиксированной степени. Полный список таких многочленов степени ие выше 5 приводится в табл. 7.!. 444 Гл. 7. Перестнноночные нногочлены 7.! 1. Теорема. Для нечетного д многочлен х<»4'»н + ах Е Е г'» !х1 является пересгпановочным много ленам поля Е тогда и только тогда, когди т! (а' — 1) = — 1. Доказан>ельгпгво. Пусть > (х) .—. х<»< '>" -1 ах. Покажем, что соответствующее отображение 7' не является взаимно однозначным тогда и только тогда, когда >! (а' — 1) эь 1.
Если для некоторого с Е Г, выполняется равенство 1(с) =- 7 (0) =- О, то а -- — с" <>и и, следовательно, >) (ан — 1) -- О. Если найдутся элементы Ь, с Е р Це Ь Ф г, для которых > (Ь) -= 1 (с) чи О, то Ьс — > = (а ..>- с<» — >не) (а ; 'Ь<»-<>>е)- < Если >! (Ь) == т> (с), то Ь<» '>м —.-- с<» — '>/- 'и, следовательно, Ь = с, что противоречит выбору Ь чь с. Таким образом, т> (Ь) ~ >) (с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
