Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 92
Текст из файла (страница 92)
4). Оценки числа,";.'~~~1 решений системы уравнений 1 (х,) = 1 (х,) = ... = 1 (х„), где 1 ~,.~4~ Е [[' [х), при различных значениях х; были получены в статьях",',;,:.~~ В!гсп„БМппег1оп-Руег [1) и Ж!!1[атз К. Ь. [24). Теорию дзета-функций, имеющую такое значение для вопроса,'~~~~' о числе решений уравнений, можно обобщить и на многообразия Пусть У вЂ” многообразие, определенное в и-мерном аффинном или проективном пространстве над конечным полем г,, и пусть 4 йГ, — число точек из Ц (соответственно число [[еГРациональных точек в случае проективного пространства), принадлежащих многообразию $'.
Определим дзетп-функцию на многообразии )Г равенством Комментеряя где ряд сходится при [ г ] < (г-". Вейль (%е(! [61) сформулировал некоторые предположения об этой дзета-функции, в частности, что 2 (У; () является рациональной функцией от переменной 1, что она удовлетворяет некоторому функциональному уравнению и что ее нули и полюсы имеют некоторые заранее заданные абсолютные величины. Рациональность дзета-функции Е (1'1 г) была доказана Дворком ([)вот[4 [21) с помощью р-адической техники; см. также работу 0ичогк 111, где устанавливаются подготовительные результаты. Позднее Гротендик (Ого!Ьепе]!есй [2]) доказал тот же результат средствами алгебраической геометрии. О рациональности дзета-функции Л (У; () см. также работы ВгпЬа! 1! 1, Эч2огй [91, )о]у [5], КоЬИг [2, сЬ.
5], [41, М1!пе [1, сЬ. 61, Мопзку 111 и Ке!сЬ 111. Метод Дворка был обобщен в статье К[е[е [[1, и с его помощью было доказано, что логарифмическая производная от дзета-функции не только на многообразии, но и на более общем множестве У является рациональной функцией. Тот факт, что дзета-функция гиперповерхности, определяемой диагональным уравнением, является рациональной функцией, был отмечен еще Вейлем (%е!! [6!); ср. также с (6.!5) и с примером 6.49, а также с разбором этого случая в книге !ге!апе[, Козел [1, сЬ. 11]. Для некоторых других частных случаев предположение Вейля о рациональности дзета-функции 2 (У; г) было доказано еще до Дворка в работах Саг[[!г [42], [561, Ое!заг!е ).
[!1, Рпг(або бого[бе [1], Багпрзоп, ФазЬп!(хег [1] и Фе[! [81. Если У вЂ” невырожденное абсолютно неприводимое проективное многообразие размерности г, то Вейль (Фе[! [61) высказал, далее, предположение, что рациональная функция Л (1', 1) имеет вид Р, 69 Р, (1) ... Р„, (1) Р,(1) Р,(1) ... Р,„(С) где каждое Є— многочлен с целыми коэффициентами и постоянным членом 1.
Более того, Р, (() = ! — (, Рое (() = 1— — д'Ч н ви Риф = П(! — аи2() для О (й (2г, 2=! гДе аи, — Целое алгебРаическое число, ДлЯ котоРого [аи; [ = ди/2. Он предположил также, что степень В„многочлена Р„можно интерпретировать как число Бетти. Указанный вид дзета-функции Л (У; () ведет к следующему представлению числа й(, Го,-рациональных точек на У, справедливому для любого натурального числа гп 2г ви й(, = ~~ ( — 1)" ~ аио и=о 1=1 4!4 Гл. 6. Уравнения нвд конечнымн поляки Критический разбор предположений Вейля с различных точек зрения был проделан в следующих работах: Пецг!пй 131, Яо!у [51, К1е1гпап [11, Магцг В. [1), М!1пе [1, сЬ. 6), Мопзку [1], $«ч!ипег1оп-Пуег 131 и Та(е [11. Первая брешь была пробита Дворком (ожог(г [31, (51, (8]), который установил для случая гиперпространств указанные выше разложение функции 2 (У; 1) и интерпретацию чисел В„, а также показал, что эта функция удовлетворяет функциональному уравнению 2~У; — '']=+у Ч«г(У;11, й= '); ( — !) В,, 'Ъ че! 1 «=о о чем тоже говорилось в предположениях Вейля; см.
также П«чог(с (61, [71, 1ге!апг( (1) и Мопзку (11. Предположения же Вейля )~ о коэффициентах многочленов Р„и об абсолютных величинах чисел а„, (так называемая гипотеза Римана — Вгйлл) до снх пор остаются недоказанными. Указанные результаты Дворка для гиперповерхностей были распространены на общий случай Гро- тендиком (Ого(Ьепб!ес(г [21, [3)). Другие доказательства были',:~й даны в статьях (.цЬЫп [11, [21, а в статье (.цЬЫп (3] было пока; тг вано, что многочлены Р«(а «~'г), 0 ( а ( 2г, являются квази- „",! самовозвратными.
Гипотеза Римана — Вейля была доказана длн ':"~.' некоторых кубических гиперповерхностей в статьях ВошЬ|ег(, ";в!-" 5«ч!ппег1оп-Пуег [1) (см. также ВошЬ|ег! [21) и Перельмутер 15), для некоторых гиперповерхностей четвертой степени в статьях,.':;, Ре!(япе [1] и П«чог(г [10], для абелевых многообразий в статьяк;.',-':! Же(! [3], [4] и для некоторых других типов многообразий в " ' статьях Ре!!дпе [1), [2), Нагдег [1), 'чв"е!! [91, Исковских [2) и ~'", Манин [31. И наконец, общая гипотеза Римана — Вейля была,.'!'„:; доказана Делинем (Ое!!дпе 131), который также отметил вы- ":,.
текающую из нее оценку для числа точек на многообразии. В ра-;"" боте Ка(х [3] дается великолепный разбор основных частей,;, доказательства Делиня; краткое изложение его можно найти,' в статье 5егге 12). См. обобщения этой теории в работах Пе!!япе,' [61 и 1.цЬЫп 141, [5!. Для некоторых полиномиальных уравнений с числом перемен- ных и )~ 3 можно гораздо более элементарными средствами полу- чить оценки для числа решений, которые ничуть не уступают оценкам, полученным с использованием гипотезы Римана— Вейля.
Так, помимо очевидных примеров линейных, квадратных и диагональных уравнений можно указать результаты Дэвенпорта и Льюиса (Рачепрог1, ].еж!з [41) и Морделла (Могг(е!! (111, 1171 [201, 1211), которые дают оценку й! = Р'+ О (Р) для числа решений ряда кубических уравнений 7' (х, у, г) = О над полем гн. В статье Пачепрог1, (.е«ч!з [4] получена оценка того же типа для й "« почти всех (за некоторыми тривиальными исключениями) уран й!$3 Комментарии 415 пений вида г = Р (х, у) + Ь над простым полем [[', где Р— однородный многочлен и Ь Е Ц.
В статье Могг[еИ [71 получена оценка У = р" — ' + О (р<" — п~а) для полиномиальных уравнений от л ~( 4 переменных над полем [['р, образованных линейными комбинациями элементарных симметрических многочленов. В статье МогдеИ [141 получена оценка тт' = р"-' + О (р"гт) для уравнений, близких к диагональным, над полем Гр с любым числом и переменных. Перельмутер и Постников [11 рассмотрели уравнение вида 1а (у) + Г; (у) х,' + ... + Г„(у) х„= 0 над простым полем [рр и показали, что при определенных условиях на Ге, Е,, ..., Е„имеет место оценка А1 = р" + О (р"/'); см. обобщение этого результата в книге Яс[ппЫ! %. М. [3, с[т. 41. Оценки Ленга — Вейля и Делиня для числа точек на многообразиях можно использовать для установлЕния некоторых результатов о распределении решений уравнения г (х„..., х„) = 0 или системы таких уравнений (см.
С[тайг, %ИИатз [11, Муегзоп [41,8ш!1[т К. А. [2]иФИИашз К. 3. [18]). Об общем принципе, лежащем в основе доказательств таких результатов см. МогдеИ [221 и С[та!1 [21. Дальнейшие результаты о дзета-функциях многообразий можно найти в следующих источниках: об абелевых многообразиях см. 3[шпига, Тагйуагпа [2, с[т. 41 и Жа1ег[топзе, МИпе [1]; о случае кубических поверхностей см. Ятч[ппег1оп-Руег [21 и Манин [4, гл. 4); о гиперповерхностях уравнений у' = 1 (х„..., х„) и уа — у = Е (х„..., х„) над гр см. Перельмутер [41; о гипера, и„ поверхностях уравнения уР— у = г (х) + Г, (х) х~'+ ...
+ г„(х) х„" над [[' см. Кузнецов В. Н. [11; см. также Вауег, ХепЫгс[т [Ц, Птчогк [41, [101, Вс]!пеЫег [1), Бтч!пнет!оп-Эуег [11 и Тап!уаша [11. Полезные сведения из теории дзета-функций можно найти в работах Мазпг В. [1] и Т[тошаз [11. Кац (Ка[х [21) и Коблиц (Ко[э[Их [11) изучали поведение дзета-функции на семействе многообразий. В статье Сцг1[з [1) обнаружена связь между дзетафункциями многообразий и теорией характеров некоторых конечных групп. В статье Врасйпап [11 дается элементарное доказательство предположений Вейля для многообразий, определяемых парой диагональных уравнений. В статье Наг!з [11 отмечена связь между результатами Дворка, касающимися предположений Вейля, и абстрактными формулами Пуассона. Ленг (Еапд [2]) изучает связь между точками на многообразиях над конечными полями и точками на многообразиях над полями алгебраических чисел.
Дальнейшую информацию об абсолютно неприводимых многочленах можно найти в работах Ргейпап [21, ЯсЬпЫ1 %. М, 13, с[т. 5] и %1П1ашз К. Б. [31. Теория дзета-функций многообразий может быть расширена до теории Е-функций. Эти функции играют ту же роль для оценки 4!б Гл. 6. Ураанення над конечными полями сумм значений характеров, какую играют дзета-функции для оценки числа точек на многообразиях. Пусть У вЂ” аффинное или проективное многообразие над полем Г,, и пусть )[~п — канони- '; ческий аддитивный характер расширейия Г,, поля Г .
Опре- делим сумму значений этого характера С, = Са('г', !') =- ~ )[ П(! (М,)), где Я, пробегает все точки многообразия и' с координатами из Г, ') (соответственно Г -рациональные точки многообразия ]г в про- ективном случае), а )' — регулярная функция на !', так что ~ ((~а) ~ ~ г, для всех точек [;!„например, )' — многочлен над Г„.
Соот- ветствующую Е-функцию определим равенством Л (У, ); г) = ехр ( ~ (С,,~з) Р ~ . 'а=~ Тот факт, что Е-функции тоже являются рациональными функ- циями, был впервые доказан Гротендиком (Ого!Ьепгйесй [21, [3]); см. также ВогпЬ1еП [3], [41, Оного [9), Ноо!еу [61 и Пе- 3 рельмутер [61. При подходящих ограничениях на и' и )' снова можно сформулировать предположения Вейля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
