Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 91
Текст из файла (страница 91)
101 и Елистратов [31. Рациональность дзета-функции эллиптической кривой можно установить довольно ' просто (см., например, КоЬег1 [1, сЬ. 41). История эллиптических уравнений восходит к Гауссу (Саацзз: [3]), который рассмотрел уравнение ув = аха + Ь над полем [рр. 409 Комментарнн В последней записи своего дневника Гаусс поставил вопрос об определении числа решений уравнения х'-'у' + х' + у' = 1 в Ер. Эта задача впервые была решена в статье Негр]01х [! ], но позднее было замечено, что указанное уравнение легко преобразуется в уравнениеу' = 1 — х', см., например, [ге!апс[, Козеп (1, с[т.
11]. Особое внимание привлекли эллиптические уравнения у' = ахв + + Ь и у' = ах4+ Ь; см. Рачепрог[, Наззе [11, Ега!Ип! [11, Наззе 1!5, с[т. [О], Зо]у [51, 1.е1ппег Е. [4], Иешпапп О. [[1, Ка]тчас[е (21, 13] и 5[пп[т, Ка]тчас[е [! ]. Случай у' = ахв + Ьх рассматривается в работах Рачепрог[, Наззе ([1, Наззе [!5, сй. 101, До1у [51, 1е1ппег Е, [4], Мог!ауе [2], Ка]тчаде (41 и 3[пц[т, Ка]вгаде (11 '). Некоторые другие частные случаи эллиптического уравнения с кубическим многочленом г рассмотрены в статьях Ва]б[ззегг! [[1, О[зон [! ], Ка]тчас[е ([1, [9], Ка]час[е, Рагпат! ! ! ], Ж[!1[вша К. 3. (38]„Абдуллаев [11, [21 и Тушкина 1! ].
Ввиду очевидного тождества йГ = Е (1 + т[ Д (с))) <ЕГц для числа йГ решений уравнения ут = ['(х) в Гет нахождение числа У равносильно вычислению сумм значений характеров, содержащих квадратичный характер т[. В соответствии с этим мы отсылаем читателя также к $ 5 гл. 5 и соответствующим комментариям. Вопрос об условиях положительности числа л! был рассмотрен в статьях Сйа!е!е! [ ! 1, [21, Ега!!!п! [ [1 и Яс1пп[б! Е, К. [31; см. также Ло1у [51.
В статье Огоо!е, Н[гзс]т!е!д [11 определены возможные значения числа йГ для случая эллиптических кубических кривых над полями (Ге, д < 13. В статье В[ге[4 [21 изучается поведение величины У для уравнения ут = хв — ах — Ь над простым конечным полем (Гр, когда а и Ь пробегают это поле. Есида (Упав[с[а 1!1) рассмотрел все эллиптические кривые над полем г рм и нашел предельное распределение чисел й! при т — оо для фиксированного простого числа р; обобщение этого результата см.
в статье Ре![йпе [6]. Некоторые результаты о поведении числа У, когда эллиптические кривые пробегают определенное семейство, можно найти в статье М[!пе 121. По поводу поведения числа й! решений сравнения у' = хв — Ах — В (глод р) при фиксированных А, В Р к, и изменяющемся простом р Тейтом (Та1е 11]), а также Берчем и Свиннертоном-Дайером (В[гс[т, Бтч[ппег1оп-Руег 121) были выдвинуты важные гипотезы; о гипотезе Тейта см. также 3 иппег1оп-Руег [1] и Та1е [21, а кроме того, Уаташо10, Иадаппша, Ро1 !1].
Множество (Гр-рациональных точек на некоторой эллиптической кривой можно наделить ') См. также Постникова [1*1, — Прим. нерее. 4!О Гл. 6. Уравнения над конечнынн нолямн групповой структурой; см., например, Вес)оссЫ [11 и Вогозп, ' Могепо, Рог[а [1), [2], где установлены некоторые свойства этой группы. В статье ВедоссЫ [21 изучаются классы изоморфиз- ', мов эллиптических кривых над К». Важные результаты по общей;,' теории полей эллиптических функций содержатся в работах:, Репг!пя [21 и Жа!ег!юпзе [11. Обзоры по теории эллиптиче-,'; ских уравнений имеются в работах Савве!з 111 и 2)пипег [2, сЫ 11]. Уравнение вида ун = [ (х) иад полем 1» нечетной характе. ристики с произвольным многочлеиом 7" назйвается гиперэллип- )[~с тическим ураенением.
Мы не будем здесь касаться отмеченных,;7' выше результатов об эллиптических уравнениях. Общая теория ';:.'' гиперэллиптических уравнений впервые была развита Артином','," (Агап [1)), который сформулировал также гипотезу Римана для этого класса уравнений и показал, что в случае простого числа д и «[ей (1) ь 3 имеет место неравенство 1,'2 ( 9 < 1, где 9 —,;;„ максимум действительных частей нулей конгруэнц-дзета-функции.
Морделл для некоторых частных случаев гиперэллиптиче- '; ских уравнений получил нетривиальные оценки числа АГ их решений (Мог«[е!1 [5]). Ввиду указанной выше связи между чис-:!г лом й! и суммами значений характеров, содержащими квадратичный характер «1, результаты Дэвеипорта (Рачепрог1 [1), 131),:; о таких суммах значений характеров тоже приводят к определен- ', ным оценкам для числа Ф. Непосредственно вслед за этими резуль- „ татами Дэвеипортом и Хассе (Рачепрог1, Наззе [11 была доказана " гипотеза Римана для уравнения у' = ах + Ь над полем Г» в случае, когда т делит число а — 1.
Элементарный метод Степанова [11, [61 для гиперэллиптических уравнений был до не- ': которой степени усовершенствован Коробовым [6), Митькиным [2] и Старком (8[аг)«[1]), что позволяет в определенных случаях внести небольшие улучшения в теорему 6.57. Возможное усиление " для случая у' = х + ах + Ь отмечено в статье Опо [71. Число решений некоторых специальных гиперэллиптических уравнений: было подсчитано в статьях 1.ейгпег Е.
[41 и Ка) чаде [31, [5],::, [61, )81. См. также материал э 5 гл. 5 о сумме значений характеров ~~ и (1 (с)) и комментарии к этому параграфу. В статье 'Е )Г» Митькина [4 ] изучалась разрешимость гиперэллиптических уравнений над простым полем [['р. В статье Рачепрог1, [.еа)з [21 изучался «дефект» А! (Ь) — р, когда элемент Ь пробегает поле Гр', здесь Ж (Ь) обозначает число решений уравнения у' --- ! (х) + Ь в Ц, где 7 Е Гр !х ] — фиксированный многочлен. В статье 8!ерпепз [11 доказана гипотеза из работы Спочч!а, Сйочч!а [11 о существовании малых решений (относительно х) уравнения у' = (х + а,) ...(х + а„) над Гр при различных а,. .. а„ Е Кр. Один частный случай был элементарными средствами разобран ;~.
Комментарии 41! в статье 5]пяй [61, В работе Вериге [41 рассматривается система нз двух гиперэллиптических уравнений. Что касается других частных случаев общего уравнения 1"(х, у) = О, то одним из них являются уравнения вида ум = = !' (х). Еще до Вейля такое уравнение рассматривалось в статьях Рачепрог1 121, 17], Рачепрог1, Наззе [1] и МогдеП [51. См.
также недавнюю работу Опо [81, в которой проводится элементарный разбор еще одного случая. В статье Рачепрог1, ] ечг!з [21, упоминавшейся в предыдущем абзаце, адефект» Ф (Ь) — р рассматривался также для уравнения у' == ) (х) + Ь над простым полем [Г, когда степень многочлена ) равна 3 илн 4. Елистратовым [11, [2] был развит элементарный подход к гипотезе Римана для уравнения уа = 1(х), бек (Г) = 3. Частный случай уравнения вида ур — у = = ) (х) появляется в статьях Рачепрог1, Наззе [11 и г'агпаг]а [1]. В статье СагИз [1251 определяется число регйений уравнения ур — у = ах»+' + Ьх в Ц.
Степанов в работе [41 доказал теорему 5.45 о суммах Клостермана, применив свой элементарный метод к уравнению ур — у = ах + 1!х; ср. также с примером 6.63 и работой Вс1пп]61 %. М. [3, сй. 21. Морделл (Могде!! [251) охарактеризовал квадратные и кубические многочлены ~ Кр [х, у1 с помощью свойства, что если одна из переменных принимает заранее заданное значение нз [Гр, то получающееся уравнение имеет по крайней мере одно решение в [Гр.
Гоппа в работе [2] применил теорию кривых над конечнымй полями для построения кодов; см. также Манш [5]. Первый имеющий важное значение общий результат об уравнениях 1 (х„..., х„) = О для а ) 3 н системах таких уравнений был получен Ленгом и Вейлем (].апя, Фе11 [11); его удобнее сформулировать в терминах проективных многообразий. Если некоторое абсолютно непрнводнмое многообразие в а-мерном проективном пространстве над конечным полем Гч размерности г и степени е(, то число ЬГ, Г -рациональных точек многообразия У удовлетворяет неравенству [ У, — д' [ ~( (й — 1) (г( — 2) 4' — Огм + А (и, г, И) д' — ', где постоянная А (и, г, г() зависит лишь от указанных параметров. Несколько более слабый результат примерно одновременно был установлен Нисневичем 11].
Для случая кривой (г = 1) отсюда легко получается указанная ранее оценка Вейля. Замечания по поводу результата Ленга и Вейля можно найти в статье Вериге [91. Для случая гнперповерхности (г = л — 1) следующая нижняя оценка была установлена Шмидтом (Бсйш]61 %. М. [2]) применением метода Степанова: если 1 ~ Еч [х„..., х„] — абсолютно 4!2 Гл. 6. Уравнения над нонечнммн нолямн неприводимый многочлен степени г[, то число йг решений уравне.; ния ) (х,, ..., хв) = 0 в Ц удовлетворяет неравенству [[1) пп — 1 (г[ 1) (1 2) у» — м~м 6 [едн — 2 'в"'~ ''ф при достаточно большом числе д. Подробнее о применении оценки 4) Ленга — Вейля к гиперповерхностям см. в книге ЯсптЫ1 %. М.
[3, с[з. 5). Случай произвольной размерности рассматривается .;,',. в статьях |о!у [5) и Ьс[зтЫ! %. М. [3, сп. 6). Оценки Ленга —; Вейля для специальных классов многообразий были получены в работах Саг[1[х, Юе!1з [1) и Же[!з [2). В статье В!гоп, [.ев[з [1! с помощью оценки Ленга — Вейля показывается, что если многочлен г Е Г [х„..., х„) абсолютно неприводим и однороден, то уравнение ) (х„..., х„) = 0 имеет ( более(1/2) д" ' невырожденных решений в Ц при достаточно большом числе д (вырожденным называется такое решение в 1'", для которого все частные производные функции 1 равны нулю). + дальнейшие результаты о невырожденных решениях таких урав- е! нений можно найти в статье ).еъйз, Яспццг [1), в частности для, 4,,-' случая кубического многочлена Г".
Этот случай рассмотрен также,,',"„ в статьях В!гс[з, [.еи!з [1) и м(а[зоп О. 1.. [1). Конечные мно;." ' жества однородных многочленов одной и той же степени и' > 1,. любая нетривиальная линейная комбинация которых имеет лишь. одну вырожденную точку, а именно (О, ..., О), были построены 'Карлицом (Саг!!1г [66)).
Однородные многочлены Г над 1я небольшой степени, для которых уравнение 1 (х,, ..., ха) = 0 ймеет." . лишь вырожденные решения в К,", были охарактеризованы Лью.,:.; псом ([.ев[з [1)). Формулы для числа точек многообразия опре-;::,; деленных типов были получены в работах Согзоп [1), Яъ[ппег1оп- '",~~ Руег [2) и Манин [2); см. также Манин [4, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
